Les hauteurs, médianes et l’aire d’un triangle en 5ème utilisent deux informations différentes. Une hauteur dépend d’une perpendicularité ; une médiane dépend d’un milieu. Les deux droites peuvent se confondre dans un triangle isocèle, mais elles ne sont pas identiques en général.
Cette leçon construit chaque droite, montre où elle peut sortir du triangle et explique pourquoi l’aire utilise une hauteur tandis qu’une médiane partage le triangle en deux aires égales.
Hauteur : une droite perpendiculaire à un côté
Hauteur d’un triangle
Une hauteur d’un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé, ou à la droite qui porte ce côté. Le point d’intersection est le pied de la hauteur.
Un triangle possède trois hauteurs, une issue de chaque sommet. Dans un triangle aigu, elles traversent l’intérieur. Dans un triangle obtusangle, certaines rencontrent le prolongement d’un côté à l’extérieur.
Construire une hauteur à l’équerre
- Choisir le sommet, par exemple \(A\), et le côté opposé \([BC]\).
- Placer un bord de l’équerre sur la droite \((BC)\).
- Faire glisser l’équerre jusqu’à ce que l’autre bord passe par \(A\).
- Tracer la droite et coder l’angle droit à son pied \(H\).
Si nécessaire, on prolonge \((BC)\). La définition concerne la droite portant le côté, pas seulement le segment visible.
Erreur fréquente : une hauteur ne doit pas forcément passer par le milieu du côté opposé. Cette condition appartient à la médiane.
Médiane : rejoindre un sommet au milieu opposé
Médiane d’un triangle
Une médiane est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.
Pour construire la médiane issue de \(A\), on détermine le milieu \(M\) de \([BC]\), puis on trace \((AM)\). Le codage \(BM=MC\) justifie que \(M\) est bien le milieu.
La médiane n’est pas nécessairement perpendiculaire à \([BC]\). Dans un triangle isocèle en \(A\), la médiane issue de \(A\) est aussi hauteur, médiatrice et axe de symétrie ; ce cas particulier ne doit pas devenir une définition générale.
Deux concours différents
Points de concours
Les trois médianes d’un triangle se coupent en un même point appelé centre de gravité. Les trois hauteurs se coupent en un point appelé orthocentre.
Au niveau 5ème, l’objectif principal est de construire et distinguer ces droites. Les noms des points de concours aident à reconnaître une figure, mais aucune mesure approximative ne doit remplacer les conditions « milieu » ou « perpendiculaire ».
Pourquoi l’aire utilise base et hauteur
Aire d’un triangle
Deux copies d’un même triangle peuvent former un parallélogramme de même base et de même hauteur. L’aire d’un triangle est donc la moitié de l’aire de ce parallélogramme.
La hauteur choisie doit être perpendiculaire à la base choisie. Si l’on change de côté de référence, la hauteur correspondante change aussi, mais l’aire reste la même.
Calculer une aire même avec une hauteur extérieure
Un triangle obtusangle peut avoir une hauteur qui tombe hors du segment de base. La distance perpendiculaire entre le sommet et la droite portant la base reste pourtant la hauteur correcte.
Les deux longueurs doivent être exprimées dans la même unité avant le produit. Le résultat s’exprime dans une unité d’aire.
Une médiane partage l’aire en deux
Deux triangles de même aire
Une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire.
En effet, les triangles \(ABM\) et \(ACM\) ont la même hauteur issue de \(A\) relative à la droite \((BC)\). Leurs bases \(BM\) et \(MC\) sont égales puisque \(M\) est le milieu. Le produit base fois hauteur est donc le même.
Choisir la bonne droite à partir des mots
| Information de l’énoncé | Objet associé |
|---|---|
| Perpendiculaire au côté opposé | Hauteur |
| Passe par le milieu du côté opposé | Médiane |
| Points équidistants des extrémités | Médiatrice |
| Partage l’angle en deux angles égaux | Bissectrice |
Le choix doit venir des propriétés, pas de l’aspect du dessin. Les médiatrices et l’équidistance sont développées dans le cours sur le cercle circonscrit.
Résoudre une aire inconnue
Si l’aire d’un triangle vaut \(24\,\text{cm}^2\) et sa base \(8\) cm, la formule donne \(24=\frac{8\times h}{2}=4h\), donc \(h=6\) cm.
Ce calcul inverse illustre une équation simple. La méthode d’isolement de l’inconnue est présentée dans Équations simples 5ème.
Astuce : sur la figure, marquer toujours le petit carré d’angle droit pour la hauteur et les deux traits égaux pour le milieu utilisé par la médiane.
Même triangle, trois choix de base
Un triangle possède trois côtés, donc trois choix possibles de base. À chacun correspond une hauteur différente. Si les mesures sont \(b_1=8\) cm et \(h_1=6\) cm, l’aire vaut \(24\,\text{cm}^2\).
Avec un autre côté \(b_2=12\) cm, la hauteur correspondante doit satisfaire \(\frac{12h_2}{2}=24\), donc \(h_2=4\) cm. Une base plus longue peut être associée à une hauteur plus courte.
Cette compensation explique pourquoi l’aire ne dépend pas du côté choisi comme base, à condition d’utiliser la hauteur qui lui correspond.
Comparer quatre droites remarquables sans les confondre
La hauteur répond à « quelle droite est perpendiculaire au côté opposé ? ». La médiane répond à « quelle droite rejoint son milieu ? ». La médiatrice ne passe pas forcément par un sommet ; elle est perpendiculaire à un côté en son milieu. La bissectrice partage un angle.
Dans un triangle équilatéral, ces quatre droites peuvent se confondre pour un même sommet. Ce cas très symétrique explique les confusions : une propriété particulière est prise pour une définition.
Pour identifier une droite sur un dessin quelconque, on doit lire les codages : petit carré d’angle droit, traits de milieu ou arcs d’angles égaux.
Hauteurs, médianes et aire d’un triangle 5ème : l’essentiel à retenir
Pour distinguer les hauteurs, médianes et l’aire d’un triangle en 5ème, il suffit de regarder la donnée : angle droit pour la hauteur, milieu pour la médiane. L’aire utilise une base et sa hauteur correspondante ; la médiane partage cette aire en deux parts égales.
Le programme officiel de mathématiques du cycle 4 relie ainsi construction, propriétés et calcul de grandeurs dans une même progression géométrique.