Les prismes droits et cylindres en 5ème sont des solides construits à partir de deux bases parallèles et superposables. Le prisme possède des bases polygonales et des faces latérales rectangulaires ; le cylindre possède deux disques et une surface latérale courbe.
Cette leçon privilégie la vision dans l’espace : reconnaître les éléments, interpréter une perspective cavalière et décider si une figure plane peut se replier en un patron sans chevauchement.
Reconnaître un prisme droit par ses bases
Prisme droit
Un prisme droit est un solide possédant deux bases polygonales parallèles et superposables. Ses faces latérales sont des rectangles perpendiculaires aux bases.
Le nom dépend de la forme des bases : prisme triangulaire, pentagonal, etc. Un pavé droit est un prisme droit à base rectangulaire ; un cube est un cas particulier de pavé droit.
Si la base possède \(n\) côtés, le prisme possède \(n\) faces latérales, \(2n\) sommets et \(3n\) arêtes. Ces relations peuvent contrôler un comptage fait sur un dessin.
Reconnaître un cylindre de révolution
Cylindre de révolution
Un cylindre de révolution possède deux bases qui sont des disques parallèles et superposables. La distance perpendiculaire entre leurs plans est la hauteur.
Le rayon est celui des disques de base. La surface latérale est courbe : elle n’est pas une face polygonale et ne possède pas d’arêtes verticales comme un prisme.
Une boîte de conserve peut modéliser un cylindre droit. La forme réelle possède une épaisseur et des détails, mais le modèle mathématique retient rayon et hauteur.
Lire une perspective cavalière
En perspective cavalière, les arêtes parallèles dans l’espace restent représentées parallèles. Les arêtes cachées sont souvent tracées en pointillés. Les longueurs fuyantes peuvent être réduites : le dessin n’est donc pas une reproduction à l’échelle dans toutes les directions.
Un cercle situé sur une face horizontale est représenté par une ellipse. Cela ne signifie pas que la base du cylindre est elliptique ; la déformation vient de la perspective.
Erreur fréquente : ne pas mesurer une arête fuyante sur la perspective pour retrouver sa longueur réelle, sauf indication explicite d’échelle.
Décrire faces, arêtes et sommets
| Solide | Bases | Faces latérales | Sommets | Arêtes |
|---|---|---|---|---|
| Prisme triangulaire | 2 triangles | 3 rectangles | \(6\) | \(9\) |
| Prisme quadrangulaire | 2 quadrilatères | 4 rectangles | \(8\) | \(12\) |
| Cylindre | 2 disques | 1 surface courbe | aucun | 2 cercles-limites |
Pour un prisme, on distingue les arêtes des bases et les arêtes latérales qui relient les sommets correspondants. Toutes les arêtes latérales ont la même longueur : la hauteur du prisme droit.
Déplier un prisme en patron
Le patron d’un prisme droit contient deux copies de la base et une bande de rectangles. Le nombre de rectangles est égal au nombre de côtés de la base, et la largeur de chaque rectangle correspond à un côté successif du polygone.
- Tracer une première base avec ses longueurs exactes.
- Accoler un rectangle à chaque côté selon un ordre compatible.
- Placer la seconde base sur un bord qui permettra le repliement.
- Imaginer le pliage et vérifier qu’aucune face ne se superpose.
Plusieurs patrons différents peuvent représenter le même solide. La validité dépend du pliage, pas de la ressemblance avec un patron mémorisé.
Comprendre le patron d’un cylindre
En déroulant la surface latérale d’un cylindre, on obtient un rectangle. Une dimension est la hauteur \(h\) ; l’autre est le périmètre du disque, \(2\pi r\). Deux disques de rayon \(r\) complètent le patron.
Si la longueur du rectangle ne correspond pas au périmètre du disque, les bords ne se rejoindront pas lors du pliage. Cette égalité est une condition géométrique, pas seulement une formule d’aire.
Sections parallèles aux bases
Couper un prisme par un plan parallèle aux bases produit une section superposable à la base. Pour un cylindre, une coupe parallèle aux bases produit un disque de même rayon.
Une coupe perpendiculaire aux bases d’un prisme droit donne souvent un rectangle. Pour un cylindre droit, une coupe passant par l’axe donne un rectangle de largeur égale au diamètre et de hauteur égale à celle du cylindre.
Ces observations aident à passer d’une représentation en trois dimensions à une figure plane calculable.
Choisir les informations nécessaires
| Objectif | Données utiles |
|---|---|
| Dessiner un patron de prisme | Forme et dimensions de la base, hauteur |
| Dessiner un patron de cylindre | Rayon et hauteur |
| Compter les faces d’un prisme | Nombre de côtés de la base |
| Calculer plus tard un volume | Aire d’une base et hauteur |
Les solides de base et les unités cubiques sont introduits dans Solides et volumes 6ème. Pour construire un patron aux bonnes dimensions, on réemploie les méthodes d’aires et de conversions en 5ème.
Astuce : colorier mentalement les deux bases avec la même couleur, puis suivre les faces latérales qui les relient.
Valider un patron sans le découper
Pour un prisme triangulaire, on vérifie d’abord la présence de deux triangles superposables et de trois rectangles. Les largeurs successives des rectangles doivent correspondre aux trois côtés du triangle.
On imagine ensuite une base fixe. Les rectangles se relèvent autour de ses côtés, puis la seconde base doit fermer le solide sans chevaucher une face. Deux faces qui cherchent à occuper la même position invalident le patron.
Pour un cylindre, le rectangle latéral doit avoir une longueur exactement égale au périmètre du disque. Si \(r=2\) cm, cette longueur vaut \(4\pi\) cm, environ \(12,57\) cm. Une approximation trop grossière peut empêcher le collage d’une maquette réelle.
Compter les éléments d’un prisme pentagonal
Une base pentagonale possède \(5\) sommets et \(5\) côtés. Avec deux bases, le prisme possède \(10\) sommets et \(10\) arêtes de base. Cinq arêtes latérales relient les sommets correspondants, soit \(15\) arêtes au total.
Il possède \(5\) faces latérales rectangulaires et \(2\) bases, soit \(7\) faces. Le comptage peut être contrôlé par les formules \(2n\) sommets, \(3n\) arêtes et \(n+2\) faces pour \(n=5\).
Ces relations ne s’appliquent pas directement au cylindre, dont la base n’est pas un polygone et qui n’a pas de sommets.
Prismes droits et cylindres 5ème : l’essentiel à retenir
Les prismes droits et cylindres en 5ème se reconnaissent par deux bases parallèles et superposables. La perspective représente le solide, tandis que le patron doit respecter le nombre et les dimensions des faces pour permettre un pliage réel.
Le programme officiel de mathématiques du cycle 4 relie ces représentations à la perception spatiale et aux calculs de mesure qui suivent.