Hauteurs, médianes et aire du triangle : 11 exercices 5ème

Ces exercices corrigés sur les hauteurs, les médianes et l’aire du triangle en 5ème apprennent à choisir la bonne droite avant de calculer. Le cours sur les hauteurs, médianes et aires rassemble les définitions et formules.

Les constructions prolongent le travail sur les triangles en 5ème et appartiennent au parcours de mathématiques de 5ème.

Distinguer hauteur, médiane et médiatrice

Une hauteur part d’un sommet et est perpendiculaire au côté opposé ; une médiane relie un sommet au milieu opposé.

Exercice 1 : Associer une description à une droite

Facile

Trois droites sont décrites : l’une passe par AA et est perpendiculaire à (BC)(BC) ; l’autre relie AA au milieu de [BC][BC] ; la troisième est perpendiculaire à [BC][BC] en son milieu.

  1. Nommer les trois droites.
  2. Laquelle doit obligatoirement passer par un sommet ?
  3. Dans quel cas deux descriptions peuvent-elles désigner la même droite ?
Indication

Repérez les mots « sommet », « milieu » et « perpendiculaire ».

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La première est la hauteur issue de AA, la deuxième la médiane issue de AA, la troisième la médiatrice de [BC][BC]. Hauteur et médiane partent d’un sommet. Dans un triangle isocèle en AA, la hauteur et la médiane issues de AA, ainsi que la médiatrice de la base, sont confondues.

Exercice 2 : Construire une hauteur extérieure

Moyen

Le triangle ABCABC est obtus en BB. On veut construire la hauteur issue de AA.

  1. Faut-il prolonger un côté ?
  2. Décrire la construction.
  3. Où se situe le pied de la hauteur ?
  4. Pourquoi la hauteur reste-t-elle valide hors du triangle ?
Indication

La hauteur est perpendiculaire à la droite support du côté opposé, pas nécessairement au segment.

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On prolonge la droite (BC)(BC) si nécessaire. Par AA, on trace la perpendiculaire à (BC)(BC) ; son intersection HH avec cette droite est le pied. Dans un triangle obtus, HH peut être extérieur au segment [BC][BC]. La définition vise la droite (BC)(BC), donc la construction reste correcte.

Exercice 3 : Corriger une confusion

Facile

Tom trace le segment joignant CC au milieu de [AB][AB] et l’appelle « hauteur issue de CC ».

  1. Quel est le vrai nom du segment ?
  2. Quelle vérification manque pour parler de hauteur ?
Indication

Le milieu suffit pour une médiane ; une hauteur exige un angle droit.

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Le segment est la médiane issue de CC. Pour être aussi une hauteur, il faudrait vérifier qu’il est perpendiculaire à (AB)(AB). Cette coïncidence existe dans certains triangles particuliers, mais pas dans un triangle quelconque.

Calculer une aire avec une base et sa hauteur

La formule A=base×hauteur2\mathcal A=\frac{\text{base}\times\text{hauteur}}{2} utilise des longueurs perpendiculaires exprimées dans la même unité.

Exercice 4 : Aire directe

Facile

Un triangle a une base de 99 cm et la hauteur associée mesure 66 cm.

  1. Calculer son aire.
Indication

Multipliez base et hauteur, puis divisez par 22.

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A=9×62=27 cm2\mathcal A=\frac{9\times6}{2}=27\ \text{cm}^2. L’unité est carrée, car on calcule une surface.

Exercice 5 : Choisir parmi plusieurs longueurs

Moyen

Dans ABCABC, BC=12BC=12 cm, AB=9AB=9 cm, AC=8AC=8 cm et la distance de AA à la droite (BC)(BC) vaut 55 cm.

  1. Identifier la base et la hauteur associée les plus commodes.
  2. Calculer l’aire.
  3. Expliquer pourquoi ABAB et ACAC ne forment pas automatiquement une paire base-hauteur.
Indication

La distance de AA à (BC)(BC) est mesurée perpendiculairement.

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On choisit BC=12BC=12 cm comme base et 55 cm comme hauteur associée. L’aire vaut 12×52=30 cm2\frac{12\times5}{2}=30\ \text{cm}^2. Les longueurs ABAB et ACAC ne sont pas annoncées perpendiculaires ; leur produit ne peut donc pas être utilisé directement.

Exercice 6 : Convertir avant de calculer

Moyen

Une base mesure 1,41{,}4 dm et sa hauteur 88 cm.

  1. Convertir la base en centimètres.
  2. Calculer l’aire en cm2\text{cm}^2.
  3. Exprimer le résultat en dm2\text{dm}^2.
  4. Contrôler la conversion finale.
  5. Expliquer l’erreur consistant à utiliser directement 1,4×81{,}4\times8.
Indication

Les deux longueurs doivent d’abord être dans la même unité ; 1 dm2=100 cm21\ \text{dm}^2=100\ \text{cm}^2.

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  1. 1,4 dm=14 cm1{,}4\ \text{dm}=14\ \text{cm}.
  2. A=14×82=56 cm2\mathcal A=\frac{14\times8}{2}=56\ \text{cm}^2.
  3. 56 cm2=0,56 dm256\ \text{cm}^2=0{,}56\ \text{dm}^2.
  4. 0,56×100=560{,}56\times100=56 confirme la conversion.
  5. Multiplier des nombres exprimés dans des unités différentes ne produit pas une aire interprétable.

Retrouver une base ou une hauteur

Dans un problème inverse, on part de 2A=base×hauteur2\mathcal A=\text{base}\times\text{hauteur}, puis on divise par la longueur connue.

Exercice 7 : Hauteur inconnue

Moyen

Un triangle d’aire 42 cm242\ \text{cm}^2 possède une base de 1212 cm.

  1. Écrire l’égalité adaptée.
  2. Calculer la hauteur.
Indication

Doublez l’aire avant de diviser par la base.

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42=12×h242=\frac{12\times h}{2}, donc 84=12h84=12h et h=84÷12=7h=84\div12=7 cm. Vérification : 12×72=42\frac{12\times7}{2}=42.

Exercice 8 : Base inconnue avec décimaux

Difficile

L’aire vaut 18,75 m218{,}75\ \text{m}^2 et la hauteur associée 2,52{,}5 m.

  1. Calculer la base.
  2. Vérifier par substitution.
  3. Donner un ordre de grandeur.
Indication

Utilisez b=2Ahb=\frac{2\mathcal A}{h}.

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b=2×18,752,5=37,52,5=15b=\frac{2\times18{,}75}{2{,}5}=\frac{37{,}5}{2{,}5}=15 m. En effet, 15×2,52=18,75\frac{15\times2{,}5}{2}=18{,}75. Comme 2,52{,}5 est proche de 22, une base de quelques dizaines de mètres est cohérente.

Exercice 9 : Détecter une formule mal inversée

Difficile

Pour une aire de 36 cm236\ \text{cm}^2 et une base de 99 cm, une élève calcule h=36÷9=4h=36\div9=4 cm.

  1. Expliquer le facteur oublié.
  2. Donner la bonne hauteur.
  3. Montrer que 44 cm ne convient pas.
  4. Proposer une phrase-mémoire.
Indication

L’aire du triangle est la moitié du produit, donc l’inversion commence par doubler l’aire.

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Elle a oublié le facteur 22. La hauteur correcte est h=2×36÷9=8h=2\times36\div9=8 cm. Avec 44 cm, l’aire serait 9×42=18 cm2\frac{9\times4}{2}=18\ \text{cm}^2, moitié de la valeur demandée. Phrase-mémoire : « pour retrouver une hauteur, je double l’aire puis je divise par la base ».

Raisonner avec une médiane et des aires

Une médiane partage le côté opposé en deux segments égaux ; les deux triangles obtenus ont la même hauteur.

Exercice 10 : Deux aires égales

Moyen

Dans ABCABC, MM est le milieu de [BC][BC]. L’aire de ABCABC vaut 54 cm254\ \text{cm}^2.

  1. Calculer les aires de ABMABM et ACMACM.
  2. Justifier sans mesurer une nouvelle hauteur.
Indication

Les bases BMBM et MCMC sont égales et les deux petits triangles ont la même hauteur issue de AA.

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La médiane [AM][AM] partage le triangle en deux triangles de même aire. Chacun vaut 54÷2=27 cm254\div2=27\ \text{cm}^2. Les bases sont égales et la hauteur relative à la droite (BC)(BC) est commune.

Exercice 11 : Synthèse : médiane, hauteur et aire

Difficile

Un triangle ABCABC a BC=14BC=14 cm et une aire de 49 cm249\ \text{cm}^2. MM est le milieu de [BC][BC] et HH le pied de la hauteur issue de AA.

  1. Calculer BMBM et MCMC.
  2. Calculer AHAH.
  3. Calculer les aires de ABMABM et ACMACM.
  4. La médiane [AM][AM] est-elle nécessairement perpendiculaire à (BC)(BC) ?
  5. Donner la condition particulière qui ferait coïncider MM et HH.
Indication

Utilisez d’abord le milieu, puis la formule inverse de l’aire. Ne confondez pas les définitions.

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  1. BM=MC=14÷2=7BM=MC=14\div2=7 cm.
  2. AH=2×49÷14=7AH=2\times49\div14=7 cm.
  3. Chaque petit triangle a une aire de 49÷2=24,5 cm249\div2=24{,}5\ \text{cm}^2.
  4. Une médiane n’est pas nécessairement perpendiculaire.
  5. Si le triangle est isocèle en AA, la médiane et la hauteur issues de AA coïncident, donc M=HM=H.
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