Concentration et loi des grands nombres Terminale : 8 exercices corrigés

L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev fournit une borne, pas une probabilité exacte. Ces exercices appliquent la concentration d’une moyenne en écrivant précisément l’événement et son complément.

La taille d’échantillon calculée est suffisante au regard de l’inégalité utilisée. Elle n’est pas présentée comme la taille minimale réelle, et la loi des grands nombres ne devient pas une garantie déterministe.

Événement, complément et borne

Exercice 1 : Un intervalle ouvert

Facile
On connaît E(X)=20E(X)=20 et V(X)=9V(X)=9.
  1. Majorer P(|X−20|≥6).
  2. En déduire une minoration de P(14<X<26).
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  1. Bienaymé-Tchebychev donne P(∣X−20∣≥6)≤9/36=1/4P(|X-20|\geq6)\leq9/36=1/4.
  2. Le complément est ∣X−20∣<6|X-20|\lt 6, soit 14<X<2614\lt X\lt 26. Sa probabilité est donc au moins 3/43/4. Les bornes 14 et 26 ne font pas partie de cet événement.

Exercice 2 : Comparer avec la probabilité exacte

Moyen
X prend les valeurs 0, 1 et 2 avec probabilités 1/4, 1/2 et 1/4.
  1. Calculer l’espérance et la variance de X.
  2. Calculer exactement P(|X−E(X)|≥1).
  3. Comparer avec la borne de Bienaymé-Tchebychev.
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  1. E(X)=1E(X)=1, E(X2)=3/2E(X^2)=3/2, donc V(X)=1/2V(X)=1/2.
  2. L’événement contient X=0 et X=2. Sa probabilité vaut 1/4+1/4=1/21/4+1/4=1/2.
  3. L’inégalité donne une borne (1/2)/12=1/2(1/2)/1^2=1/2. Ici la borne est atteinte, mais ce n’est pas une identité générale.

Dimensionner et interpréter un échantillon

Exercice 3 : Une fréquence à 0,05 près

Difficile
Les variables XiX_i sont indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre 0,3. On note Fn=(X1+⋯+Xn)/nF_n=(X_1+\cdots+X_n)/n.
  1. Donner l’espérance et la variance de F_n.
  2. Majorer P(|F_n−0,3|≥0,05).
  3. Trouver la plus petite taille qui garantit une borne au plus 0,02 avec cette inégalité. Est-ce nécessairement le minimum réel ?
Indication
Écrire la variance de la moyenne avant de choisir la taille.
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  1. E(Fn)=0,3E(F_n)=0,3 et V(Fn)=0,3(0,7)/n=0,21/nV(F_n)=0,3(0,7)/n=0,21/n.
  2. La probabilité est au plus 0,21/(n(0,05)2)=84/n0,21/(n(0,05)^2)=84/n, à plafonner par 1 si la borne dépasse 1.
  3. Il suffit que 84/n≤0,0284/n\leq0,02, soit n≥4200n\geq4200. 4200 est la plus petite taille satisfaisant cette borne, mais pas nécessairement la taille minimale pour la probabilité exacte.

Exercice 4 : Que garantit la loi des grands nombres ?

Moyen
Un élève affirme : « Si l’on effectue assez de lancers indépendants d’une pièce équilibrée, la fréquence de pile finit obligatoirement par être exactement 1/2. »
  1. Expliquer ce qui est incorrect dans cette affirmation.
  2. Énoncer la convergence en probabilité pertinente.
  3. Un grand échantillon rend-il un écart impossible ?
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  1. La loi ne garantit ni l’égalité exacte ni une stabilisation définitive de chaque suite de résultats. Pour une taille impaire, la fréquence ne peut même pas être exactement 1/2.
  2. Pour toute précision fixée ε>0\varepsilon\gt 0, P(∣Fn−1/2∣≥ε)→0P(|F_n-1/2|\geq\varepsilon)\to0 quand n→+∞n\to+\infty.
  3. Non. Pour chaque taille finie, un résultat extrême, par exemple uniquement des piles, a encore une probabilité positive (1/2)n(1/2)^n. Un écart devient peu probable, pas impossible.

Dimensionner une précision

La borne est transformée en condition sur la taille de l'échantillon ou sur la tolérance.

Exercice 5 : Une garantie valable pour toute proportion

Difficile
On répète n fois une épreuve de Bernoulli de paramètre p inconnu et F désigne la fréquence des succès.
  1. Montrer que V(F)=p(1−p)/n≤1/(4n)V(F)=p(1-p)/n\leq1/(4n).
  2. Majorer P(∣F−p∣≥0,03)P(|F-p|\geq0,03).
  3. Déterminer le plus petit entier n garantissant une borne inférieure ou égale à 0,05, quel que soit p.
Indication
La fonction p(1−p)p(1-p) atteint son maximum 1/4 en p=1/2p=1/2.
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  1. La fréquence est la moyenne de n variables de Bernoulli indépendantes, donc V(F)=p(1−p)/nV(F)=p(1-p)/n. Or p(1−p)≤1/4p(1-p)\leq1/4.
  2. Par Bienaymé-Tchebychev, P(∣F−p∣≥0,03)≤1/(4n×0,032)P(|F-p|\geq0,03)\leq1/(4n\times0,03^2).
  3. On exige 1/(4n×0,032)≤0,051/(4n\times0,03^2)\leq0,05, soit n≥5555,5‾n\geq5555,\overline5. Le plus petit entier convenable est 5556.

Exercice 6 : Choisir une tolérance

Moyen
Des mesures indépendantes ont une espérance μ\mu et une variance 25. On prend la moyenne de 500 mesures.
  1. Calculer la variance de la moyenne.
  2. Trouver la plus petite valeur positive a pour laquelle Tchebychev garantit P(∣X‾−μ∣<a)≥0,95P(|\overline X-\mu|<a)\geq0,95.
  3. Expliquer ce que cette garantie ne dit pas.
Indication
Passer par la probabilité de l'événement contraire.
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  1. V(X‾)=25/500=0,05V(\overline X)=25/500=0,05.
  2. Il suffit que 0,05/a2≤0,050,05/a^2\leq0,05, donc a2≥1a^2\geq1. La plus petite valeur positive fournie par cette borne est a=1a=1.
  3. La borne ne donne ni la probabilité exacte ni la certitude que chaque moyenne observée sera dans l'intervalle. Elle garantit seulement une probabilité d'au moins 0,95 sous les hypothèses du modèle.

De Tchebychev à la loi des grands nombres

La convergence en probabilité est obtenue en gardant une tolérance fixe et en faisant croître n.

Exercice 7 : Démontrer la convergence d’une moyenne

Difficile
Les variables X1,…,XnX_1,\ldots,X_n sont indépendantes, de même espérance μ\mu et de même variance σ2\sigma^2. On note Mn=(X1+⋯+Xn)/nM_n=(X_1+\cdots+X_n)/n.
  1. Calculer E(M_n) et V(M_n).
  2. Majorer P(∣Mn−μ∣≥ε)P(|M_n-\mu|\geq\varepsilon) pour ε>0\varepsilon>0.
  3. Montrer que cette probabilité tend vers 0 et nommer le résultat illustré.
Indication
L'indépendance permet d'additionner les variances avant de diviser par n2n^2.
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  1. Par linéarité, E(Mn)=μE(M_n)=\mu. Par indépendance, V(Mn)=nσ2/n2=σ2/nV(M_n)=n\sigma^2/n^2=\sigma^2/n.
  2. Tchebychev donne P(∣Mn−μ∣≥ε)≤σ2/(nε2)P(|M_n-\mu|\geq\varepsilon)\leq\sigma^2/(n\varepsilon^2).
  3. Pour une tolérance fixée, le majorant tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini. C'est la convergence en probabilité de la moyenne vers μ\mu, forme de la loi faible des grands nombres.

Exercice 8 : Une borne n’est pas une fréquence observée

Moyen
Une moyenne de 64 scores indépendants a pour espérance 50 et chaque score a pour variance 16.
  1. Minorer la probabilité que la moyenne soit dans ]49,51[]49,51[.
  2. Un échantillon donne une moyenne égale à 48,7. Cela contredit-il la borne ?
  3. La probabilité exacte est-elle nécessairement égale à la minoration obtenue ?
Indication
Calculer d'abord la variance de la moyenne, puis raisonner sur l'événement contraire.
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  1. La variance de la moyenne vaut 16/64=1/416/64=1/4. Ainsi P(∣M−50∣≥1)≤1/4P(|M-50|\geq1)\leq1/4, donc P(49<M<51)≥3/4P(49\lt M\lt 51)\geq3/4.
  2. Non. La borne autorise une probabilité pouvant aller jusqu'à 1/4 en dehors de l'intervalle. Une observation extérieure reste possible.
  3. Non. Tchebychev fournit une garantie, souvent prudente. La probabilité exacte dépend de la loi complète des scores.
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