Schéma de Bernoulli et loi binomiale Terminale : 8 exercices corrigés

Avant de calculer, il faut justifier le schéma de Bernoulli et définir le succès. Ces exercices distinguent modèle binomial, tirage sans remise et interprétation des paramètres.

Les probabilités exactes sont écrites avant les approximations. Une question de seuil demande de contrôler les deux entiers consécutifs, pas seulement de donner une valeur arrondie.

Valider ou refuser le modèle

Exercice 1 : Tirages avec remise

Facile
Un sac contient 4 jetons rouges et 16 bleus. On effectue six tirages indépendants avec remise. X compte les jetons rouges obtenus.
  1. Justifier la loi de X.
  2. Calculer P(X=3) et P(X≥1).
  3. Donner l’espérance et la variance.
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  1. Les six épreuves sont indépendantes, de même probabilité de succès p=4/20=0,2p=4/20=0,2. X compte les succès, donc X∼B(6;0,2)X\sim\mathcal B(6;0,2).
  2. P(X=3)=(63)(0,2)3(0,8)3=0,08192P(X=3)=\binom63(0,2)^3(0,8)^3=0,08192. Par le complément, P(X≥1)=1−(0,8)6=0,737856P(X\geq1)=1-(0,8)^6=0,737856.
  3. E(X)=6(0,2)=1,2E(X)=6(0,2)=1,2 et V(X)=6(0,2)(0,8)=0,96V(X)=6(0,2)(0,8)=0,96.

Exercice 2 : Même sac, sans remise

Moyen
On reprend le sac de 4 jetons rouges et 16 bleus, mais les six tirages ont lieu sans remise. Y compte les rouges.
  1. La probabilité de rouge au deuxième tirage sachant que le premier est rouge vaut-elle encore 0,2 ?
  2. Peut-on attribuer à Y la même loi binomiale que précédemment ?
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  1. Après un rouge, il reste 3 rouges parmi 19 jetons. La probabilité conditionnelle vaut 3/193/19, différente de 1/51/5.
  2. Non : les épreuves ne sont pas indépendantes. De plus Y ne peut pas dépasser 4, alors que B(6;0,2)\mathcal B(6;0,2) attribue une probabilité positive à 5 et 6. Le modèle précédent est donc impossible ici.

Complément et recherche de seuil

Exercice 3 : Au moins trois défauts

Moyen
On suppose que X∼B(20;0,1)X\sim\mathcal B(20;0,1).
  1. Exprimer P(X≥3) sous forme d’une somme courte.
  2. Donner une expression exacte sans symbole de somme.
Indication
Le complément contient combien de valeurs de X ?
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  1. P(X≥3)=1−P(X=0)−P(X=1)−P(X=2)P(X\geq3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2).
  2. On obtient 1−(0,9)20−20(0,1)(0,9)19−190(0,1)2(0,9)181-(0,9)^{20}-20(0,1)(0,9)^{19}-190(0,1)^2(0,9)^{18}, soit environ 0,32310,3231.

Exercice 4 : Obtenir au moins un succès

Difficile
Des essais indépendants ont chacun une probabilité de succès de 0,1. On veut une probabilité d’au moins un succès supérieure ou égale à 0,99.
  1. Écrire l’inégalité portant sur le nombre n d’essais.
  2. Déterminer le plus petit entier convenable.
  3. Contrôler n et n−1.
Indication
Passer par l’absence totale de succès avant d’utiliser le logarithme.
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  1. Il faut 1−(0,9)n≥0,991-(0,9)^n\geq0,99, soit (0,9)n≤0,01(0,9)^n\leq0,01.
  2. Comme ln⁡(0,9)<0\ln(0,9)\lt 0, n≥ln⁡(0,01)/ln⁡(0,9)≈43,71n\geq\ln(0,01)/\ln(0,9)\approx43,71. Le plus petit entier est 44.
  3. 1−(0,9)43≈0,98922<0,991-(0,9)^{43}\approx0,98922\lt 0,99, tandis que 1−(0,9)44≈0,99030≥0,991-(0,9)^{44}\approx0,99030\geq0,99.

Interpréter les paramètres

Exercice 5 : Retrouver p

Moyen
Une variable X∼B(60;p)X\sim\mathcal B(60;p) a pour espérance 12.
  1. Déterminer p et la variance.
  2. L’espérance signifie-t-elle que chaque série donne exactement 12 succès ?
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  1. 60p=1260p=12, donc p=0,2p=0,2. La variance est 60(0,2)(0,8)=9,660(0,2)(0,8)=9,6.
  2. Non. L’espérance décrit une moyenne théorique sur un grand nombre de séries. X reste aléatoire et peut prendre d’autres valeurs que 12.

Calculer puis interpréter la loi

Les probabilités ponctuelles, cumulées et les indicateurs répondent à trois questions différentes.

Exercice 6 : Exactement deux réussites

Moyen
Un joueur réussit indépendamment chaque tir avec la probabilité p=1/4p=1/4. Il effectue huit tirs et X désigne le nombre de réussites.
  1. Justifier la loi de X.
  2. Calculer la probabilité d'obtenir exactement deux réussites.
  3. Donner une valeur approchée au millième.
Indication
Distinguer la probabilité d'un ordre particulier du nombre de positions possibles pour les deux réussites.
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  1. Les huit épreuves sont identiques, indépendantes et possèdent deux issues. Ainsi X∼B(8,1/4)X\sim\mathcal B(8,1/4).
  2. P(X=2)=(82)(1/4)2(3/4)6=5103/16384P(X=2)=\binom82(1/4)^2(3/4)^6=5103/16384.
  3. On obtient P(X=2)≈0,311P(X=2)\approx0,311.

Exercice 7 : Espérance et dispersion

Moyen
Dans une production, la probabilité qu'une pièce nécessite une retouche est 0,12. On contrôle 50 pièces dans des conditions permettant un modèle binomial. X compte les pièces à retoucher.
  1. Donner la loi de X.
  2. Calculer son espérance, sa variance et son écart-type.
  3. Interpréter l'espérance sans en faire une valeur certaine.
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  1. X∼B(50;0,12)X\sim\mathcal B(50;0,12).
  2. E(X)=50×0,12=6E(X)=50\times0,12=6, V(X)=50×0,12×0,88=5,28V(X)=50\times0,12\times0,88=5,28, et σ(X)=5,28≈2,30\sigma(X)=\sqrt{5,28}\approx2,30.
  3. Sur un grand nombre de lots comparables, le nombre moyen de pièces à retoucher par lot se rapproche de 6. Un lot particulier ne contient pas nécessairement exactement 6 retouches.

Exercice 8 : Lire une probabilité cumulée

Difficile
On admet que X∼B(30;0,2)X\sim\mathcal B(30;0,2). Une calculatrice donne P(X≤4)≈0,25523P(X\leq4)\approx0,25523.
  1. Écrire cette probabilité sous la forme d'une somme.
  2. Déterminer P(X≥5)P(X\geq5).
  3. Interpréter le résultat dans le contexte de 30 essais dont le succès a pour probabilité 0,2.
Indication
Les événements X≤4X\leq4 et X≥5X\geq5 sont contraires.
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  1. P(X≤4)=∑k=04(30k)0,2k0,830−kP(X\leq4)=\sum_{k=0}^{4}\binom{30}{k}0,2^k0,8^{30-k}.
  2. P(X≥5)=1−P(X≤4)≈1−0,25523=0,74477P(X\geq5)=1-P(X\leq4)\approx1-0,25523=0,74477.
  3. La probabilité d'observer au moins cinq succès parmi les trente essais est d'environ 74,5 %. Il ne s'agit pas d'une certitude sur une série particulière.
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