Valeurs propres et vecteurs propres exercices corrigés

Travailler sur des valeurs propres et vecteurs propres exercices corrigés est la meilleure façon de consolider la théorie de la réduction des matrices avant un contrôle ou un concours. Cette page propose 11 exercices entièrement résolus, organisés du calcul direct le plus simple jusqu’aux situations les plus délicates : polynôme caractéristique, sous-espaces propres, multiplicité algébrique et géométrique, conditions de diagonalisabilité, calcul de la puissance d’une matrice, résolution de suites récurrentes linéaires et cas des valeurs propres complexes. Chaque exercice est accompagné d’une indication qui guide la démarche sans dévoiler le résultat, puis d’un corrigé détaillé étape par étape.

Valeurs propres et vecteurs propres : vérifier et lire une valeur propre

Cette première section s’adresse à ceux qui découvrent la notion de vecteur propre : on apprend ici à vérifier qu’un vecteur donné est propre pour une matrice, puis à lire directement les valeurs propres d’une matrice triangulaire sans aucun calcul de déterminant.

Exercice 1 : Vérifier qu’un vecteur est vecteur propre

Facile

On considère la matrice \( A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \).

  1. Vérifier que \( v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \) est un vecteur propre de \(A\) et préciser la valeur propre associée.
  2. Vérifier que \( v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \) est un vecteur propre de \(A\) et préciser la valeur propre associée.
Indication

Pour vérifier qu’un vecteur \(v\) non nul est vecteur propre de \(A\), il suffit de calculer le produit \(Av\) et de regarder s’il est colinéaire à \(v\). Le coefficient de colinéarité obtenu est alors la valeur propre associée.

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Solution de la question 1 : \[ Av_1 = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} = 4 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = 4 v_1 \]
Le vecteur \(v_1\) est donc bien vecteur propre de \(A\), associé à la valeur propre \(\lambda_1 = 4\).
Solution de la question 2 : \[ Av_2 = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = 2 v_2 \]
Le vecteur \(v_2\) est donc également vecteur propre de \(A\), associé à la valeur propre \(\lambda_2 = 2\). La matrice \(A\) admet ainsi deux valeurs propres distinctes, \(4\) et \(2\).

Exercice 2 : Lire les valeurs propres d’une matrice triangulaire

Facile

On considère la matrice triangulaire \( A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \).

  1. Justifier, sans calculer de déterminant, que les valeurs propres de \(A\) sont \(4\) et \(3\).
  2. Déterminer un vecteur propre associé à chacune de ces deux valeurs propres.
Indication

Pour une matrice triangulaire, les valeurs propres se lisent directement sur la diagonale. Pour trouver un vecteur propre associé à \(\lambda\), il reste à résoudre le système homogène \((A-\lambda I)X = 0\).

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Solution de la question 1 : \(A\) est triangulaire supérieure, donc \(A-\lambda I\) l’est aussi, et son déterminant est le produit des termes diagonaux : \[ \det(A-\lambda I) = (4-\lambda)(3-\lambda) \] Les valeurs propres sont les racines de ce produit, c’est-à-dire \(\lambda_1 = 4\) et \(\lambda_2 = 3\), exactement les coefficients diagonaux de \(A\).
Solution de la question 2 : Pour \(\lambda_1 = 4\) : \[ A – 4I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad y = 0 \Rightarrow v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \] Pour \(\lambda_2 = 3\) : \[ A – 3I = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad x + y = 0 \Rightarrow v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \] On vérifie bien que \(Av_1 = 4v_1\) et \(Av_2 = 3v_2\).

Calculer les valeurs propres avec le polynôme caractéristique

Lorsqu’aucun vecteur propre n’est donné, la méthode de référence consiste à calculer le polynôme caractéristique \(\det(A-\lambda I)\), à le factoriser, puis à résoudre un système linéaire pour chaque racine trouvée. Cette section traite le cas d’une matrice \(2\times 2\) puis d’une matrice \(3\times 3\).

Exercice 3 : Polynôme caractéristique d’une matrice 2×2

Facile

On considère la matrice \( A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \).

  1. Calculer le polynôme caractéristique de \(A\) et en déduire ses valeurs propres.
  2. Déterminer une base de chaque sous-espace propre de \(A\).
Indication

Pour une matrice \(2\times 2\), le polynôme caractéristique s’écrit \(\lambda^2 – \mathrm{tr}(A)\lambda + \det(A)\). Factorisez-le pour obtenir les racines, puis résolvez \((A-\lambda I)X = 0\) pour chaque valeur propre.

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Solution de la question 1 : \[ \chi_A(\lambda) = \det(A-\lambda I) = (1-\lambda)(3-\lambda) – 8 = \lambda^2 – 4\lambda – 5 = (\lambda-5)(\lambda+1) \] Les valeurs propres de \(A\) sont donc \(\lambda_1 = 5\) et \(\lambda_2 = -1\).
Solution de la question 2 : Pour \(\lambda_1 = 5\) : \[ A – 5I = \begin{pmatrix} -4 & 4 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \Rightarrow x = y \Rightarrow E_5 = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \] Pour \(\lambda_2 = -1\) : \[ A + I = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \Rightarrow x = -2y \Rightarrow E_{-1} = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \]

Exercice 4 : Polynôme caractéristique d’une matrice 3×3 et multiplicité algébrique

Moyen

On considère la matrice \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \).

  1. Calculer le polynôme caractéristique \(\chi_A(\lambda)\) de \(A\).
  2. En déduire les valeurs propres de \(A\) ainsi que leur multiplicité algébrique.
Indication

Développez \(\det(A-\lambda I)\) en regroupant les termes pour faire apparaître un facteur commun \((1-\lambda)\) avant de factoriser complètement le polynôme obtenu.

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Solution de la question 1 : \[ A – \lambda I = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 1 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} \] En développant ce déterminant suivant la première ligne, puis en factorisant les termes communs, on obtient : \[ \chi_A(\lambda) = (1-\lambda)\big[(2-\lambda)(3-\lambda) – 2\big] = (1-\lambda)^2(4-\lambda) \]
Solution de la question 2 : Les racines de \(\chi_A\) donnent les valeurs propres de \(A\) : \(\lambda_1 = 4\), de multiplicité algébrique \(1\), et \(\lambda_2 = 1\), de multiplicité algébrique \(2\).

Sous-espaces propres, multiplicité et diagonalisabilité : exercices corrigés

Le piège classique consiste à confondre la multiplicité algébrique d’une valeur propre avec la multiplicité géométrique, c’est-à-dire la dimension réelle du sous-espace propre associé. Cette section montre comment cette comparaison détermine si une matrice est diagonalisable.

Exercice 5 : Une matrice non diagonalisable

Moyen

On considère la matrice \( A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \).

  1. Montrer que \(\lambda = 3\) est l’unique valeur propre de \(A\), de multiplicité algébrique \(2\).
  2. Déterminer la dimension du sous-espace propre \(E_3\) et conclure sur la diagonalisabilité de \(A\).
Indication

Une valeur propre répétée n’entraîne pas automatiquement la diagonalisabilité : il faut comparer la dimension du sous-espace propre à la multiplicité algébrique trouvée à la question précédente.

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Solution de la question 1 : \(A\) est triangulaire, donc \(\chi_A(\lambda) = (3-\lambda)^2\). La seule valeur propre est \(\lambda = 3\), de multiplicité algébrique \(2\).
Solution de la question 2 : \[ A – 3I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow y = 0, \ x \text{ libre} \Rightarrow E_3 = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \] Le sous-espace propre \(E_3\) est de dimension \(1\), strictement inférieure à la multiplicité algébrique \(2\). La matrice \(A\) n’est donc pas diagonalisable.

Exercice 6 : Vérifier la diagonalisabilité d’une matrice 3×3

Moyen

On reprend la matrice \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \) de l’exercice 4, dont les valeurs propres sont \(\lambda_1 = 4\) (multiplicité \(1\)) et \(\lambda_2 = 1\) (multiplicité \(2\)).

  1. Déterminer le sous-espace propre \(E_1\) et calculer sa dimension.
  2. Conclure que \(A\) est diagonalisable et donner une base de \(\mathbb{R}^3\) constituée de vecteurs propres de \(A\).
Indication

Le sous-espace propre associé à \(\lambda = 1\) est le noyau de \(A – I\). Calculez le rang de cette matrice pour en déduire la dimension de son noyau, puis comparez-la à la multiplicité algébrique trouvée précédemment.

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Solution de la question 1 : \[ A – I = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \] Les trois lignes étant identiques, cette matrice est de rang \(1\), donc \(\dim E_1 = 3 – 1 = 2\). Le sous-espace propre est : \[ E_1 = \{(x,y,z) : x+y+z = 0\} = \mathrm{Vect}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \]
Solution de la question 2 : La dimension de \(E_1\) (égale à \(2\)) coïncide avec la multiplicité algébrique de \(\lambda_2 = 1\), et \(E_4 = \mathrm{Vect}(1,1,1)\) est de dimension \(1\). La somme des dimensions des sous-espaces propres vaut donc \(1+2=3=n\) : \(A\) est diagonalisable, avec pour base de vecteurs propres \(\left\{(1,1,1),\,(1,-1,0),\,(1,0,-1)\right\}\).

Diagonalisation appliquée : calcul de la puissance d’une matrice et suites récurrentes

La diagonalisation n’est pas qu’un exercice abstrait : elle permet de calculer simplement \(A^n\) pour tout entier \(n\), et donc de résoudre explicitement des suites définies par une relation de récurrence linéaire couplée. Ces deux exercices illustrent l’intérêt pratique des valeurs propres et vecteurs propres.

Exercice 7 : Diagonaliser une matrice pour calculer A puissance n

Moyen

On considère la matrice \( A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \).

  1. Diagonaliser \(A\), c’est-à-dire déterminer une matrice inversible \(P\) et une matrice diagonale \(D\) telles que \(A = PDP^{-1}\).
  2. En déduire l’expression de \(A^n\) pour tout entier naturel \(n\).
Indication

Une fois \(A = PDP^{-1}\) obtenue, utilisez la propriété \(A^n = PD^nP^{-1}\), où \(D^n\) s’obtient simplement en élevant chaque terme diagonal de \(D\) à la puissance \(n\).

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Solution de la question 1 : \[ \chi_A(\lambda) = \lambda^2 – 5\lambda + 6 = (\lambda-2)(\lambda-3) \] Pour \(\lambda_1=2\) : \(A-2I\) donne \(x=y\), soit \(v_1=(1,1)\). Pour \(\lambda_2=3\) : \(A-3I\) donne \(x=2y\), soit \(v_2=(2,1)\). On pose donc : \[ P = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \]
Solution de la question 2 : \[ A^n = PD^nP^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2^n & 0 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot 3^n – 2^n & 2^{n+1} – 2\cdot 3^n \\ 3^n – 2^n & 2^{n+1} – 3^n \end{pmatrix} \] On vérifie pour \(n=1\) que cette formule redonne bien \(A\).

Exercice 8 : Résoudre une suite récurrente couplée par diagonalisation

Moyen

On considère deux suites réelles \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par \(u_0 = 1\), \(v_0 = 0\), et pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \[ u_{n+1} = 2u_n + v_n, \qquad v_{n+1} = u_n + 2v_n \]

  1. Écrire cette relation sous forme matricielle \(X_{n+1} = MX_n\) et diagonaliser la matrice \(M\).
  2. En déduire les expressions explicites de \(u_n\) et \(v_n\) en fonction de \(n\).
Indication

Une fois \(M\) diagonalisée, décomposez le vecteur initial \(X_0\) dans la base de vecteurs propres de \(M\) : la formule \(X_n = M^nX_0\) devient alors immédiate à expliciter terme à terme.

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Solution de la question 1 : En posant \(X_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix}\), on a \(X_{n+1} = MX_n\) avec \(M = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\). Son polynôme caractéristique est \(\lambda^2-4\lambda+3=(\lambda-1)(\lambda-3)\), donc les valeurs propres sont \(1\) et \(3\), avec pour vecteurs propres respectifs \((1,-1)\) et \((1,1)\).
Solution de la question 2 : On décompose \(X_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Comme \(M^n\) multiplie chaque composante propre par \(\lambda^n\), on obtient : \[ X_n = \frac{1}{2}\cdot 1^n\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2}\cdot 3^n\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \] soit \[ u_n = \frac{1+3^n}{2}, \qquad v_n = \frac{3^n-1}{2} \]

Valeurs propres complexes et endomorphismes géométriques

Toutes les matrices réelles n’admettent pas de valeurs propres réelles : les rotations du plan et certaines matrices de permutation n’ont des valeurs propres que dans \(\mathbb{C}\). Ces deux exercices traitent ce cas, fréquemment source de blocage en classe préparatoire.

Exercice 9 : Valeurs propres complexes d’une matrice de rotation

Difficile

Soit \(\theta \in (0,\pi)\) et \( R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \) la matrice de la rotation d’angle \(\theta\) dans le plan.

  1. Montrer que \(R_\theta\) n’admet aucune valeur propre réelle.
  2. Déterminer les valeurs propres complexes de \(R_\theta\) et interpréter géométriquement ce résultat.
Indication

Calculez le discriminant du polynôme caractéristique en fonction de \(\theta\) : son signe permet de conclure immédiatement sur l’existence ou non de racines réelles.

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Solution de la question 1 : \[ \chi_{R_\theta}(\lambda) = \lambda^2 – 2\cos\theta\,\lambda + 1 \] Le discriminant vaut \(\Delta = 4\cos^2\theta – 4 = -4\sin^2\theta\). Pour \(\theta \in (0,\pi)\), on a \(\sin\theta \neq 0\), donc \(\Delta < 0\) : le polynôme caractéristique n'a pas de racine réelle, donc \(R_\theta\) n'a pas de valeur propre réelle. Solution de la question 2 : Les racines complexes sont \[ \lambda_{1,2} = \cos\theta \pm i\sin\theta = e^{\pm i\theta} \] Géométriquement, cela traduit le fait qu’une rotation d’angle non nul ne conserve aucune direction du plan réel : aucun vecteur réel non nul n’est envoyé sur un multiple réel de lui-même.

Exercice 10 : Valeurs propres d’une matrice de permutation cyclique

Difficile

On considère la matrice \( A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \).

  1. Vérifier que \(A^3 = I_3\) et en déduire une information sur la nature des valeurs propres de \(A\).
  2. Calculer le polynôme caractéristique de \(A\), déterminer toutes ses valeurs propres (réelles et complexes) ainsi qu’un vecteur propre réel.
Indication

La matrice \(A\) réalise une permutation cyclique des vecteurs de la base canonique : si \(\lambda\) est valeur propre de \(A\) et \(A^3=I\), que peut-on dire de \(\lambda^3\) ?

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Solution de la question 1 : Un calcul direct donne \(A^3 = I_3\). Si \(\lambda\) est valeur propre de \(A\) associée à un vecteur propre \(X\), alors \(A^3X = \lambda^3X = X\), donc \(\lambda^3 = 1\) : toutes les valeurs propres de \(A\) sont des racines cubiques de l’unité.
Solution de la question 2 : Le calcul du déterminant donne \[ \chi_A(\lambda) = -(\lambda^3-1) = -(\lambda-1)(\lambda^2+\lambda+1) \] Les valeurs propres sont donc \(\lambda_1 = 1\), \(\lambda_2 = j = e^{2i\pi/3}\) et \(\lambda_3 = \bar{j} = e^{-2i\pi/3}\). Pour \(\lambda_1=1\), la résolution de \((A-I)X=0\) donne le vecteur propre réel \(v_1 = (1,1,1)\).

Exercices de synthèse : trace, déterminant et propriétés du spectre

Pour conclure cette série, ce dernier exercice combine plusieurs propriétés essentielles du spectre d’une matrice : la trace égale à la somme des valeurs propres, le déterminant égal à leur produit, et le caractère diagonalisable garanti par la symétrie de la matrice.

Exercice 11 : Utiliser trace et déterminant pour déterminer le spectre complet

Difficile

On considère la matrice symétrique \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \).

  1. Vérifier que \(v = (1,1,1)\) est vecteur propre de \(A\) et donner la valeur propre associée.
  2. Sachant que \(A\) est symétrique, donc diagonalisable, et en utilisant \(\mathrm{tr}(A)\) et \(\det(A) = 5\), déterminer les deux autres valeurs propres de \(A\) (égales entre elles).
  3. En déduire si \(A\) est inversible et donner, le cas échéant, les valeurs propres de \(A^2\) et de \(A^{-1}\).
Indication

La trace est égale à la somme des valeurs propres et le déterminant à leur produit. Combinez ces deux relations avec la valeur propre déjà trouvée pour la direction \((1,1,1)\) afin de déterminer les deux valeurs propres restantes, qui sont égales par symétrie du problème.

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Solution de la question 1 : \[ Av = \begin{pmatrix} 1+2+2 \\ 2+1+2 \\ 2+2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} = 5v \] Le vecteur \(v=(1,1,1)\) est donc vecteur propre, associé à la valeur propre \(\lambda_1 = 5\).
Solution de la question 2 : On a \(\mathrm{tr}(A) = 1+1+1 = 3 = \lambda_1+\lambda_2+\lambda_3 = 5+2\lambda_2\) (en notant \(\lambda_2=\lambda_3\) par symétrie), d’où \(\lambda_2=\lambda_3=-1\). On vérifie avec le déterminant : \(\lambda_1\lambda_2\lambda_3 = 5\times(-1)\times(-1) = 5 = \det(A)\), ce qui confirme le résultat.
Solution de la question 3 : Le déterminant de \(A\) vaut \(5 \neq 0\), donc \(A\) est inversible. Les valeurs propres de \(A^2\) sont les carrés des valeurs propres de \(A\), soit \(25\), \(1\) et \(1\). Les valeurs propres de \(A^{-1}\) sont les inverses de celles de \(A\), soit \(\dfrac{1}{5}\), \(-1\) et \(-1\).

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