Les Matrices : Résumé de cours

Imaginez que vous deviez gérer simultanément des dizaines d'équations avec des dizaines d'inconnues ; les prévoir à la main relèverait du cauchemar. C'est précisément pour cela qu'ont été inventées les matrices : des tableaux de nombres qui permettent de condenser, de manipuler et de résoudre des problèmes complexes d'algèbre linéaire de façon systématique et élégante.

Introduites formellement au XIX^e siècle par le mathématicien britannique Arthur Cayley, les matrices sont aujourd'hui omniprésentes : en physique, en informatique (rendu 3D, réseaux de neurones), en économie (modèles input-output) et bien sûr en mathématiques pures. Ce cours vous accompagne pas à pas, de la définition la plus simple jusqu'au calcul matriciel avancé, avec des exemples numériques détaillés et des pièges à éviter.

Table des Matières

Définition des matrices

Définition formelle

Une matrice de taille $m \times n$ est un tableau rectangulaire de $m \cdot n$ nombres réels (ou complexes), disposés en $m$ lignes et $n$ colonnes. On note généralement une matrice par une lettre majuscule :

A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

Le coefficient $a_{ij}$ désigne l'élément situé à la $i$ -ième ligne et $j$ -ième colonne. L'ensemble des matrices réelles de taille $m \times n$ est noté $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ .

Intuition visuelle

Une matrice, c'est tout simplement un tableau. Pensez à un tableur Excel : chaque cellule contient un nombre, et la position de la cellule est repérée par sa ligne et sa colonne. La seule subtilité est que l'on écrit d'abord la ligne, puis la colonne pour désigner un coefficient.

Matrices particulières

Certaines matrices reviennent si souvent qu'elles méritent un nom propre.

Types de matrices les plus courants
Nom	Condition	Exemple
Matrice carrée d'ordre $n$	$m = n$	$\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$
Matrice ligne	$m = 1$	$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$
Matrice colonne	$n = 1$	$\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix}$
Matrice nulle	Tous les coefficients sont nuls	$0_{m,n}$
Matrice diagonale	$a_{ij} = 0$ pour $i \neq j$	$\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}$
Matrice identité $I_n$	Diagonale : que des 1	$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
Matrice symétrique	$a_{ij} = a_{ji}$	$\begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$
Matrice triangulaire sup.	$a_{ij} = 0$ pour $i > j$	$\begin{pmatrix} 2 & 7 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

Opérations sur les matrices

Addition de deux matrices

On ne peut additionner deux matrices que si elles ont la même taille $m \times n$ . La somme $A + B$ est obtenue en additionnant les coefficients position par position :

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

Exemple numérique :

\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}

Multiplication par un scalaire

Multiplier une matrice par un réel $\lambda$ revient à multiplier chaque coefficient par $\lambda$ :

(\lambda A)_{ij} = \lambda \cdot a_{ij}

Transposée d’une matrice

La transposée de $A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ est la matrice ${}^t\!A \in \mathcal{M}_{n,m}(\mathbb{R})$ obtenue en échangeant les lignes et les colonnes : $({}^t\!A)_{ij} = a_{ji}$ .

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \implies {}^t\!A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}

Le produit de matrices

C'est l'opération la plus riche (et la plus surprenante) du calcul matriciel. Le produit $AB$ n'est défini que si le nombre de colonnes de $A$ est égal au nombre de lignes de $B$ .

Définition du produit matriciel

Soient $A \in \mathcal{M}_{m,p}(\mathbb{R})$ et $B \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{R})$ . Le produit $C = AB$ est la matrice de $\mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$ définie par :

c_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} \, b_{kj}

En pratique : le coefficient $c_{ij}$ est le produit scalaire de la $i$ -ième ligne de $A$ avec la $j$ -ième colonne de $B$ .

Intuition : lignes × colonnes

La règle mnémotechnique est simple : pour calculer $c_{ij}$ , on lit la ligne $i$ de $A$ de gauche à droite, et la colonne $j$ de $B$ de haut en bas, on multiplie terme à terme et on additionne.

Exemple pas à pas

Calculons $AB$ avec :

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & -1 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}

$A$ est $2 \times 3$ et $B$ est $3 \times 2$ , donc $AB$ est $2 \times 2$ .

\begin{align*} c_{11} &= 1 \cdot 4 + 2 \cdot 2 + 0 \cdot 0 = 4 + 4 + 0 = 8 \\ c_{12} &= 1 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 0 \cdot 5 = 1 - 2 + 0 = -1 \\ c_{21} &= (-1) \cdot 4 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 0 = -4 + 6 + 0 = 2 \\ c_{22} &= (-1) \cdot 1 + 3 \cdot (-1) + 1 \cdot 5 = -1 - 3 + 5 = 1 \end{align*}

AB = \begin{pmatrix} 8 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}

Propriétés du produit matriciel

Associativité : $(AB)C = A(BC)$
Distributivité : $A(B+C) = AB + AC$
Élément neutre : $A \cdot I_n = I_m \cdot A = A$
Non-commutativité : en général, $AB \neq BA$

⚠ Piège classique n°1 : Non-commutativité :
Le produit matriciel n'est pas commutatif. Même quand $AB$ et $BA$ sont tous deux définis et de même taille, on a généralement $AB \neq BA$ . Ne jamais inverser l'ordre des facteurs sans vérification !

⚠ Piège classique n°2 : Diviseurs de zéro :
$AB = 0$ n'implique pas $A = 0$ ou $B = 0$ . Deux matrices non nulles peuvent avoir un produit nul, ce qui n'arrive jamais avec les réels.

Matrice identité et matrice inverse

La matrice identité $I_n$

La matrice identité d'ordre $n$ , notée $I_n$ , est la matrice carrée dont tous les coefficients diagonaux valent 1 et tous les autres valent 0 :

(I_n)_{ij} = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = j \\ 0 & \text{si } i \neq j \end{cases}

Elle joue le rôle du nombre 1 dans la multiplication : pour toute matrice carrée $A$ d'ordre $n$ , on a $A \cdot I_n = I_n \cdot A = A$ .

Matrice inverse d’une matrice carrée

Une matrice carrée $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est dite inversible s'il existe une matrice $A^{-1} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que :

A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n

La matrice $A^{-1}$ est unique (si elle existe) et s'appelle l'inverse de $A$ . Une matrice non inversible est dite singulière.

Calcul de l'inverse d'une matrice $2 \times 2$

Pour $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ avec $\det(A) = ad - bc \neq 0$ , on a :

A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Exemple numérique

Calculons l'inverse de $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$ .

On calcule d'abord le déterminant : $\det(A) = 3 \times 2 - 1 \times 5 = 6 - 5 = 1 \neq 0$ .

Donc $A$ est inversible, et :

A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}

Vérification :

A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-5 & -3+3 \\ 10-10 & -5+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2 \checkmark

Résolution de systèmes linéaires par les matrices

L'une des applications les plus importantes des matrices est la résolution de systèmes d'équations linéaires. Tout système peut s'écrire sous forme matricielle $AX = B$ , où $A$ est la matrice des coefficients, $X$ la matrice des inconnues et $B$ la matrice des seconds membres.

Écriture matricielle d’un système

Considérons le système :

\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ x - y = 1 \end{cases}

Il s'écrit matriciellement :

\underbrace{\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}}_{X} = \underbrace{\begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix}}_{B}

Résolution par la matrice inverse

Si $A$ est inversible, le système $AX = B$ admet une unique solution :

X = A^{-1} B

Application à notre exemple

$\det(A) = 2 \times (-1) - 3 \times 1 = -2 - 3 = -5 \neq 0$ , donc $A$ est inversible.

A^{-1} = \frac{1}{-5} \begin{pmatrix} -1 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{5} & \tfrac{3}{5} \\[4pt] \tfrac{1}{5} & -\tfrac{2}{5} \end{pmatrix}

X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{5} & \tfrac{3}{5} \\[4pt] \tfrac{1}{5} & -\tfrac{2}{5} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 8 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{8}{5} + \tfrac{3}{5} \\[4pt] \tfrac{8}{5} - \tfrac{2}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{11}{5} \\[4pt] \tfrac{6}{5} \end{pmatrix}

La solution est donc $x = \tfrac{11}{5}$ et $y = \tfrac{6}{5}$ . On peut vérifier en substituant dans le système original.

Puissances d’une matrice et diagonalisation

Puissance n-ième

Pour une matrice carrée $A$ , on définit $A^n = \underbrace{A \cdot A \cdots A}_{n \text{ fois}}$ . Calculer $A^{100}$ directement est laborieux. La diagonalisation de matrices offre un raccourci puissant.

Diagonalisation

Si $A$ est diagonalisable, il existe une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que :

A = P D P^{-1}

On en déduit immédiatement :

A^n = P D^n P^{-1}

Et $D^n$ est trivial à calculer : il suffit d'élever chaque valeur propre à la puissance $n$ .

La recherche des valeurs propres et vecteurs propres (au programme de Math Sup / CPGE) est traitée dans notre cours dédié à la diagonalisation et valeurs propres.

Erreurs fréquentes à éviter

⚠ Erreur 1 : Inverser l'ordre dans un produit.
Ne jamais écrire $(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$ . La formule correcte est $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ (inversion de l'ordre !).

⚠ Erreur 2 : Croire que $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ .
Ce développement n'est valide que si $AB = BA$ . En général, $(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$ .

⚠ Erreur 3 : Additionner des matrices de tailles différentes.
L'addition de matrices n'est définie que pour des matrices de même taille $m \times n$ .

⚠ Erreur 4 : Confondre $\det(A) = 0$ et $A = 0$ .
Une matrice de déterminant nul n'est pas la matrice nulle, elle est simplement non inversible (singulière).

Questions fréquentes sur les matrices

Qu’est-ce qu’une matrice en mathématiques ?

Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres (appelés coefficients) organisés en lignes et en colonnes. Une matrice à $m$ lignes et $n$ colonnes est dite de taille $m \times n$ . Les matrices permettent de représenter et de manipuler des systèmes d'équations linéaires, des transformations géométriques et de nombreux autres objets mathématiques de façon compacte et systématique.

Comment multiplier deux matrices ?

Pour multiplier $A$ (de taille $m \times p$ ) par $B$ (de taille $p \times n$ ), il faut que le nombre de colonnes de $A$ soit égal au nombre de lignes de $B$ . Le coefficient $c_{ij}$ du produit $C = AB$ est calculé comme la somme $\sum_{k=1}^{p} a_{ik} \cdot b_{kj}$ , c'est-à-dire le produit scalaire de la $i$ -ième ligne de $A$ avec la $j$ -ième colonne de $B$ . Attention : le produit matriciel n'est pas commutatif ; $AB \neq BA$ en général.

Qu’est-ce que la matrice inverse ?

La matrice inverse d'une matrice carrée $A$ , notée $A^{-1}$ , est la matrice telle que $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I_n$ (la matrice identité). Elle n'existe que si le déterminant de $A$ est non nul. Pour une matrice $2 \times 2$ , la formule explicite est $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ . L'inverse permet notamment de résoudre des systèmes linéaires via $X = A^{-1}B$ .

Quelle est la différence entre une matrice carrée et une matrice rectangulaire ?

Une matrice rectangulaire a un nombre de lignes différent de son nombre de colonnes ( $m \neq n$ ). Une matrice carrée, en revanche, a autant de lignes que de colonnes ( $m = n$ ) ; elle est dite d'ordre $n$ . Seules les matrices carrées peuvent être inversibles, posséder un déterminant, et être diagonalisées. Les matrices rectangulaires interviennent notamment dans la représentation de systèmes avec un nombre différent d'équations et d'inconnues.

Conclusion

Les matrices constituent l'un des outils les plus puissants et les plus polyvalents des mathématiques modernes. Dans ce cours, nous avons vu qu'elles permettent de représenter des données sous forme tabulaire, d'effectuer des opérations algébriques (addition, multiplication par un scalaire, produit, transposition), de trouver des inverses et de résoudre efficacement des systèmes d'équations linéaires.

Le point clé à retenir est la non-commutativité du produit matriciel : $AB \neq BA$ en général. Ce fait, surprenant au premier abord, est source de la richesse et de la complexité du calcul matriciel.