Valeurs propres et vecteurs propres

Certains vecteurs ont une propriété remarquable : lorsqu'on leur applique une transformation linéaire, ils ne changent pas de direction. Ils sont simplement étirés ou compressés d'un facteur scalaire. Ce facteur, c'est une valeur propre ; le vecteur correspondant est un vecteur propre. Ces deux notions sont au cœur de la réduction des endomorphismes et interviennent dans des domaines aussi variés que la physique quantique, les statistiques (analyse en composantes principales) ou l'informatique (algorithme PageRank de Google). Ce cours présente la définition, le polynôme caractéristique, les sous-espaces propres et une méthode de calcul complète, illustrée par un exemple pas à pas.

Table des Matières

Définition des valeurs propres et des vecteurs propres

Avant d'entrer dans la mécanique du calcul, il faut s'entendre sur ce qu'est une application linéaire de référence : on travaille ici avec une matrice carrée $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ , où $\mathbb{K}$ désigne le corps des nombres réels $\mathbb{R}$ ou complexes $\mathbb{C}$ , et $n$ est la taille de la matrice (nombre de lignes = nombre de colonnes).

Définition formelle

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ . On dit que $\lambda \in \mathbb{K}$ est une valeur propre de $A$ s'il existe un vecteur colonne non nul $X \in \mathbb{K}^n$ , $X \neq 0$ , tel que :

AX = \lambda X

Un tel vecteur $X \neq 0$ est appelé vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $\lambda$ . L'ensemble de toutes les valeurs propres de $A$ s'appelle le spectre de $A$ et se note $\mathrm{Sp}(A)$ .

En français courant : la matrice $A$ agit sur $X$ exactement comme une simple multiplication par le nombre $\lambda$ . Le vecteur ne change pas de direction (ou s'inverse si $\lambda < 0$ ), il est seulement mis à l'échelle d'un facteur $\lambda$ . La notation $\lambda$ (lambda) est la lettre grecque conventionnellement utilisée pour désigner une valeur propre.

⚠️ Erreur fréquente : Un vecteur propre doit être non nul. Le vecteur nul vérifie toujours $A \cdot 0 = \lambda \cdot 0$ quelle que soit la valeur de $\lambda$ ; il est donc exclu par définition. Confondre cela conduit à des erreurs lors de la détermination des sous-espaces propres.

À partir de la relation $AX = \lambda X$ , on peut réécrire :

(A - \lambda I_n) X = 0

où $I_n$ désigne la matrice identité de taille $n$ (celle dont les coefficients diagonaux valent 1 et tous les autres 0). Cette reformulation est la clé pratique : $\lambda$ est valeur propre si et seulement si le système linéaire homogène ci-dessus admet une solution non triviale, c'est-à-dire différente du vecteur nul.

Conditions d’existence : le polynôme caractéristique

La reformulation $(A - \lambda I_n)X = 0$ admet une solution non nulle si et seulement si la matrice $(A - \lambda I_n)$ n'est pas inversible ; autrement dit, si son déterminant est nul. C'est de cette observation simple que naît l'outil central du calcul des valeurs propres.

Le polynôme caractéristique

Le polynôme caractéristique de la matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est le polynôme en l'indéterminée $\lambda$ défini par :

\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I_n)

C'est un polynôme de degré $n$ en $\lambda$ .

Théorème fondamental : $\lambda$ est une valeur propre de $A$ si et seulement si $\chi_A(\lambda) = 0$ . En d'autres termes, les valeurs propres sont exactement les racines du polynôme caractéristique.

Pour une matrice $2 \times 2$ , ce déterminant se calcule explicitement :

\chi_A(\lambda) = \det\begin{pmatrix} a - \lambda & b \\ c & d - \lambda \end{pmatrix} = (a - \lambda)(d - \lambda) - bc = \lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad - bc)

On reconnaît que $a + d = \mathrm{Tr}(A)$ (la trace, somme des éléments diagonaux) et $ad - bc = \det(A)$ . C'est un résultat général : la trace est la somme des valeurs propres, et le déterminant est leur produit.

La notion de multiplicité algébrique d'une valeur propre $\lambda_i$ désigne son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique. Par exemple, si $\chi_A(\lambda) = (\lambda - 3)^2(\lambda + 1)$ , alors $\lambda = 3$ a multiplicité algébrique 2 et $\lambda = -1$ a multiplicité algébrique 1.

Sous-espaces propres et spectre de la matrice

Connaître une valeur propre $\lambda$ ne suffit pas : il faut encore identifier l'ensemble de tous les vecteurs propres qui lui sont associés, ce qui nous amène à la notion de sous-espace propre.

Théorème : Sous-espace propre associé à une valeur propre

Soit $\lambda \in \mathrm{Sp}(A)$ une valeur propre de $A$ . L'ensemble

E_\lambda(A) = \ker(A - \lambda I_n) = \{X \in \mathbb{K}^n \mid AX = \lambda X\}

est un sous-espace vectoriel de $\mathbb{K}^n$ , appelé sous-espace propre associé à $\lambda$ . Sa dimension est supérieure ou égale à 1 et inférieure ou égale à la multiplicité algébrique de $\lambda$ .

La dimension du sous-espace propre $E_\lambda$ s'appelle la multiplicité géométrique de $\lambda$ . La différence entre multiplicité algébrique et géométrique est au cœur du critère de diagonalisabilité, que nous aborderons plus loin dans ce cours. Pour en savoir plus sur la diagonalisation et ses applications, vous pouvez consulter notre article sur la diagonalisation d'une matrice.

Théorème d'indépendance des sous-espaces propres : Si $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ sont des valeurs propres deux à deux distinctes de $A$ , alors les sous-espaces propres $E_{\lambda_1}, \dots, E_{\lambda_r}$ sont en somme directe ; autrement dit, des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont toujours linéairement indépendants. Ce résultat est fondamental : il garantit qu'une matrice possédant $n$ valeurs propres distinctes est automatiquement diagonalisable.

Propriétés clés des valeurs propres

Ces propriétés sont les raccourcis que tout bon praticien utilise pour vérifier ses calculs ou gagner du temps lors des examens.

Propriété 1 : Trace et somme des valeurs propres

Pour toute matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ dont les valeurs propres (comptées avec multiplicité algébrique) sont $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ :

\mathrm{Tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n

Propriété 2 : Déterminant et produit des valeurs propres

\det(A) = \lambda_1 \times \lambda_2 \times \cdots \times \lambda_n

En particulier, $A$ est inversible si et seulement si 0 n'est pas valeur propre de $A$ .

Propriété 3 : Matrices semblables et même spectre

Si $A$ et $B$ sont semblables, c'est-à-dire s'il existe une matrice inversible $P$ telle que $B = P^{-1}AP$ , alors $A$ et $B$ ont le même polynôme caractéristique, donc le même spectre. Le changement de base ne modifie pas les valeurs propres.

Propriété 4 : Matrices triangulaires

Les valeurs propres d'une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) sont exactement ses coefficients diagonaux. C'est une conséquence immédiate du fait que le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit de sa diagonale.

⚠️ Erreur fréquente : Deux matrices semblables ont le même spectre, mais leurs sous-espaces propres sont différents (ils sont dans des bases différentes). Il est donc incorrect de réutiliser les vecteurs propres d'une matrice pour une matrice semblable sans effectuer le changement de base.

Propriété 5 : Valeurs propres de $A^k$ et de $A^{-1}$

Si $\lambda$ est valeur propre de $A$ avec le vecteur propre $X$ , alors :

$\lambda^k$ est valeur propre de $A^k$ (pour tout entier $k \geq 1$ ), avec le même vecteur propre $X$ .
Si $A$ est inversible, $\frac{1}{\lambda}$ est valeur propre de $A^{-1}$ , avec le même vecteur propre $X$ .

L’intuition géométrique : ce que signifie vraiment une valeur propre

Après ces formules, prenons du recul et demandons-nous : que se passe-t-il géométriquement ?

Pensez à une transformation du plan $\mathbb{R}^2$ . En général, si vous prenez un vecteur quelconque et appliquez la transformation, il part dans une direction imprévisible. Mais il existe des directions privilégiées (des axes) que la transformation laisse invariants. Le vecteur se déplace le long de son propre axe, simplement allongé (si $\lambda > 1$ ), compressé (si $0 < \lambda < 1$ ), inversé (si $\lambda < 0$ ) ou inchangé (si $\lambda = 1$ ). Ces axes sont les directions des vecteurs propres, et les facteurs d'échelle correspondants sont les valeurs propres.

Voici une analogie concrète : imaginez tirer un élastique attaché à un point fixe. Dans la plupart des directions, l'élastique dévie. Mais dans quelques directions particulières, il s'étire exactement dans la même direction qu'il pointe. Ce sont les directions propres, et le ratio d'étirement est la valeur propre.

Un cas particulier instructif : une rotation d'angle $\theta \neq 0, \pi$ dans $\mathbb{R}^2$ n'admet aucune valeur propre réelle ; aucune direction réelle n'est laissée invariante par une rotation non triviale. En revanche, la même rotation vue dans $\mathbb{C}^2$ admet bien des valeurs propres complexes.

Un autre cas parlant est celui d'une projection orthogonale sur une droite : les vecteurs sur la droite sont laissés inchangés (valeur propre 1), et les vecteurs perpendiculaires sont envoyés sur zéro (valeur propre 0). On retrouve ainsi que les valeurs propres d'un projecteur sont 0 et 1.

Interprétation graphique : les directions propres dans le plan

La meilleure façon de fixer l'intuition est de visualiser comment une transformation linéaire agit différemment sur les vecteurs propres et sur les vecteurs ordinaires.

Ce diagramme illustre pourquoi les valeurs propres sont si utiles : une fois que l'on connaît les directions propres, on peut décomposer n'importe quel vecteur dans cette base et la transformation devient triviale ; une simple multiplication scalaire sur chaque composante. C'est précisément l'essence de la diagonalisation.

Méthode de calcul pas à pas (Exemple complet)

Passons maintenant à la pratique avec un exemple entièrement détaillé qui illustre la méthode générale applicable à toute matrice carrée.

Objectif : Calculer les valeurs propres et les sous-espaces propres de la matrice :

A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}

Étape 1 : Calculer le polynôme caractéristique $\chi_A(\lambda)$

On calcule $\det(A - \lambda I_3)$ :

\chi_A(\lambda) = \det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 0 \\ 0 & 3-\lambda & 1 \\ 0 & 0 & 2-\lambda \end{pmatrix}

La matrice $A - \lambda I_3$ est triangulaire supérieure : son déterminant est simplement le produit des termes diagonaux.

\chi_A(\lambda) = (2 - \lambda)^2 (3 - \lambda)

Étape 2 : Trouver les racines du polynôme caractéristique

On résout $\chi_A(\lambda) = 0$ :

$\lambda_1 = 2$ avec multiplicité algébrique 2
$\lambda_2 = 3$ avec multiplicité algébrique 1

Le spectre est donc $\mathrm{Sp}(A) = \{2, 3\}$ .

Étape 3 : Calculer le sous-espace propre pour $\lambda_1 = 2$

On résout $(A - 2I_3)X = 0$ :

A - 2I_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Le système $(A - 2I_3)X = 0$ s'écrit :

\begin{cases} y = 0 \\ y + z = 0 \end{cases} \implies y = 0,\; z = 0,\; x \text{ libre}

Donc :

E_2(A) = \ker(A - 2I_3) = \mathrm{vect}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\right\}

La multiplicité géométrique de $\lambda_1 = 2$ est 1, strictement inférieure à sa multiplicité algébrique 2. Cela signifie que la matrice n'est pas diagonalisable sur $\mathbb{R}$ .

⚠️ Erreur fréquente : Lorsqu'une valeur propre a une multiplicité algébrique de 2, beaucoup d'étudiants s'attendent automatiquement à un sous-espace propre de dimension 2. C'est faux en général : la dimension du sous-espace propre peut être strictement inférieure à la multiplicité algébrique. La diagonalisabilité exige précisément que ces deux nombres soient égaux pour chaque valeur propre.

Étape 4 : Calculer le sous-espace propre pour $\lambda_2 = 3$

On résout $(A - 3I_3)X = 0$ :

A - 3I_3 = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

Le système donne :

\begin{cases} -x + y = 0 \\ z = 0 \end{cases} \implies x = y,\; z = 0,\; x \text{ libre}

Donc :

E_3(A) = \mathrm{vect}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\right\}

Récapitulatif

Valeur propre $\lambda$	Multiplicité algébrique	Multiplicité géométrique	Vecteur propre
$\lambda_1 = 2$	2	1	$(1, 0, 0)^T$
$\lambda_2 = 3$	1	1	$(1, 1, 0)^T$

Vérification via la trace : $\mathrm{Tr}(A) = 2 + 3 + 2 = 7 = 2 + 2 + 3$ . ✓
Vérification via le déterminant : $\det(A) = 2 \times 3 \times 2 = 12 = 2 \times 2 \times 3$ . ✓

Conclusion : Ce qu’il faut retenir sur les valeurs propres

Les valeurs propres sont bien plus qu'un outil de calcul : elles révèlent la structure intime d'une transformation linéaire. En résumé, voici les points essentiels à maîtriser. Pour trouver les valeurs propres, on calcule les racines du polynôme caractéristique $\det(A - \lambda I_n) = 0$ . Pour chaque valeur propre, on détermine le sous-espace propre associé en résolvant le système homogène $(A - \lambda I_n)X = 0$ . La trace est la somme des valeurs propres, et le déterminant est leur produit ; deux vérifications rapides indispensables. Enfin, une matrice est diagonalisable si et seulement si la multiplicité géométrique de chaque valeur propre est égale à sa multiplicité algébrique.

Maîtriser les valeurs propres ouvre la voie à des sujets profondément connectés : pour aller plus loin, vous pouvez explorer notre article sur le polynôme caractéristique et ses propriétés, puis approfondir les applications avec notre guide sur les systèmes différentiels linéaires, où les valeurs propres fournissent directement la forme des solutions.

Pour une référence encyclopédique complémentaire, la page Diagonalisation ; Wikipédia offre une vue d'ensemble utile avec de nombreux exemples supplémentaires.

Questions fréquentes sur les valeurs propres

Comment trouver les valeurs propres d’une matrice ?

Pour trouver les valeurs propres d'une matrice $A$ de taille $n \times n$ , on résout l'équation caractéristique $\det(A - \lambda I_n) = 0$ . Le membre gauche est le polynôme caractéristique de $A$ , un polynôme de degré $n$ en $\lambda$ . Ses racines (réelles ou complexes) sont précisément les valeurs propres. Pour chaque valeur propre $\lambda_i$ trouvée, on calcule ensuite les vecteurs propres associés en résolvant le système homogène $(A - \lambda_i I_n)X = 0$ .

Quelle est la différence entre valeur propre et vecteur propre ?

Une valeur propre $\lambda$ est un scalaire : c'est le facteur d'échelle selon lequel un vecteur non nul est étiré ou rétréci par la transformation. Un vecteur propre $X \neq 0$ est la direction qui subit précisément cet étirement sans changer de sens. Ils sont liés par $AX = \lambda X$ : la matrice agit sur le vecteur propre exactement comme la multiplication par le scalaire $\lambda$ .

À quoi servent les valeurs propres en pratique ?

Les valeurs propres interviennent dans la diagonalisation de matrices (pour calculer des puissances ou des exponentielles de matrices), la résolution de systèmes différentiels linéaires, l'analyse en composantes principales (ACP) en statistiques, la mécanique quantique (les valeurs propres d'un opérateur correspondent aux grandeurs mesurables), les algorithmes de PageRank (Google) et l'analyse de stabilité des systèmes dynamiques.

Quand une matrice est-elle diagonalisable ?

Une matrice $A$ de taille $n \times n$ est diagonalisable sur $\mathbb{K}$ si et seulement si : (1) son polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb{K}$ (toutes ses racines sont dans $\mathbb{K}$ ), et (2) pour chaque valeur propre $\lambda_i$ , la multiplicité géométrique (dimension du sous-espace propre $E_{\lambda_i}$ ) est égale à la multiplicité algébrique. En particulier, toute matrice admettant $n$ valeurs propres distinctes est automatiquement diagonalisable.

Quel est le lien entre valeurs propres, trace et déterminant ?

Pour une matrice carrée $A$ de taille $n \times n$ avec valeurs propres $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ (comptées avec multiplicité) : la trace de $A$ est la somme des valeurs propres $\mathrm{Tr}(A) = \lambda_1 + \cdots + \lambda_n$ , et le déterminant de $A$ est leur produit $\det(A) = \lambda_1 \times \cdots \times \lambda_n$ . Ces relations découlent du développement du polynôme caractéristique et permettent de vérifier rapidement un calcul ou de retrouver une valeur propre manquante.