Vecteurs, droites et plans de l’espace Terminale : 10 exercices corrigés

Cette série prolonge le cours sur les vecteurs, droites et plans de l'espace. Elle commence par la relation de Chasles dans l'espace et les coordonnées d'un vecteur dans l'espace, puis traite l'alignement de points dans l'espace et les vecteurs coplanaires.

La position relative de deux droites exige ensuite de comparer leurs directions et, si nécessaire, de chercher un point commun. Les dernières configurations mobilisent une décomposition dans une base de l'espace et réutilisent plusieurs résultats pour conclure. Chaque correction répond aux questions dans l'ordre et nomme précisément la propriété géométrique obtenue.

Repère, coordonnées et alignement

Retrouver les outils du plan avant de traiter les questions propres à l'espace.

Exercice 1 : Chasles et coordonnées dans un cube

Facile
Dans le cube ABCDEFGHABCDEFGH, E, F, G et H sont respectivement au-dessus de A, B, C et D. On travaille dans le repère (A;AB→,AD→,AE→)(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}).
  1. Simplifier AB→+BC→+CG→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}.
  2. Donner les coordonnées de C, F, H et G.
  3. Calculer les coordonnées de FH→\overrightarrow{FH} et l'écrire avec AB→\overrightarrow{AB} et AD→\overrightarrow{AD}.
Voir le corrigé
  1. Par la relation de Chasles, AB→+BC→+CG→=AG→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AG}.
  2. On a C(1;1;0)C(1;1;0), F(1;0;1)F(1;0;1), H(0;1;1)H(0;1;1) et G(1;1;1)G(1;1;1).
  3. FH→=H−F=(−1;1;0)\overrightarrow{FH}=H-F=(-1;1;0). Ainsi FH→=−AB→+AD→\overrightarrow{FH}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.

Exercice 2 : Alignement et paramètre

Facile
Dans un repère de l'espace, A(1;2;−1)A(1;2;-1), B(3;−2;5)B(3;-2;5) et C(5;m;11)C(5;m;11).
  1. Déterminer m pour que A, B et C soient alignés.
  2. Pour cette valeur, exprimer AC→\overrightarrow{AC} en fonction de AB→\overrightarrow{AB}.
Voir le corrigé
  1. On a AB→=(2;−4;6)\overrightarrow{AB}=(2;-4;6) et AC→=(4;m−2;12)\overrightarrow{AC}=(4;m-2;12). Les première et troisième coordonnées imposent le coefficient 2. Il faut donc m−2=2(−4)=−8m-2=2(-4)=-8, d'où m=−6m=-6.
  2. Pour m=−6m=-6, AC→=(4;−8;12)=2AB→\overrightarrow{AC}=(4;-8;12)=2\overrightarrow{AB}.

Exercice 3 : Coplanarité de trois vecteurs

Moyen
On considère u=(1;2;0)u=(1;2;0), v=(0;−1;3)v=(0;-1;3) et w=(2;1;6)w=(2;1;6).
  1. Montrer que u et v ne sont pas colinéaires.
  2. Déterminer s'il existe deux réels a et b tels que w=au+bvw=au+bv.
  3. Conclure sur la coplanarité de u, v et w.
Indication
Résoudre d'abord avec les première et troisième coordonnées.
Voir le corrigé
  1. La première coordonnée de u est non nulle alors que celle de v est nulle, tandis que v n'est pas nul : ils ne sont pas colinéaires.
  2. La première coordonnée donne a=2a=2, la troisième donne 3b=63b=6, donc b=2b=2. La deuxième vérifierait 2a−b=4−2=22a-b=4-2=2, mais w a pour deuxième coordonnée 1. Il n'existe donc pas de tels a et b.
  3. Les vecteurs u, v et w ne sont pas coplanaires.

Positions relatives

Comparer des directions ne suffit pas toujours : un point commun doit aussi être recherché.

Exercice 4 : Deux droites dans l’espace

Moyen
La droite d passe par A(1;0;2)A(1;0;2) et a pour vecteur directeur u=(1;2;−1)u=(1;2;-1). La droite d' passe par B(0;1;3)B(0;1;3) et a pour directeur v=(2;4;−2)v=(2;4;-2).
  1. Comparer les directions de d et d'.
  2. Déterminer si les deux droites sont confondues ou strictement parallèles.
Indication
Tester si le vecteur AB est colinéaire à u.
Voir le corrigé
  1. On a v=2uv=2u, donc les droites sont parallèles.
  2. AB→=(−1;1;1)\overrightarrow{AB}=(-1;1;1) n'est pas colinéaire à u, car les rapports −1/1-1/1, 1/21/2 et 1/(−1)1/(-1) ne sont pas égaux. Ainsi B n'appartient pas à d et les droites sont strictement parallèles.

Exercice 5 : Arêtes d’un cube

Facile
Dans le cube ABCDEFGHABCDEFGH, E, F, G, H sont respectivement au-dessus de A, B, C, D.
  1. Donner une droite parallèle à (AB) et une droite sécante à (AB).
  2. Les droites (AB) et (CG) sont-elles parallèles, sécantes ou non coplanaires ? Justifier.
  3. Exprimer AG→\overrightarrow{AG} à l'aide de trois vecteurs issus de A.
Voir le corrigé
  1. Par exemple, (DC) est parallèle à (AB) et (AD) est sécante à (AB).
  2. (AB) et (CG) ne sont pas parallèles et n'ont aucun point commun. Elles ne sont contenues dans aucun même plan : ce sont des droites non coplanaires.
  3. En suivant trois arêtes, AG→=AB→+AD→+AE→\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}.

Bases et configurations

Une décomposition bien choisie rend visibles les plans et les intersections.

Exercice 6 : Plan dans un tétraèdre

Difficile
Dans un tétraèdre ABCD, M et N sont définis par AM→=12AB→+13AC→\overrightarrow{AM}=\tfrac12\overrightarrow{AB}+\tfrac13\overrightarrow{AC} et AN→=AD→−12AB→−13AC→\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AD}-\tfrac12\overrightarrow{AB}-\tfrac13\overrightarrow{AC}.
  1. Exprimer MN→\overrightarrow{MN} dans la base (AB→,AC→,AD→)(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}).
  2. Montrer que le milieu I de [MN] appartient à la droite (AD).
  3. Le point N appartient-il au plan (ABC) ?
Indication
Calculer directement le vecteur AI à partir de AM et AN.
Voir le corrigé
  1. MN→=AN→−AM→=−AB→−23AC→+AD→\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{AB}-\tfrac23\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}.
  2. Pour le milieu I, AI→=12(AM→+AN→)=12AD→\overrightarrow{AI}=\tfrac12(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN})=\tfrac12\overrightarrow{AD}. Donc I appartient à (AD).
  3. Dans la base donnée, la coordonnée de AN→\overrightarrow{AN} selon AD→\overrightarrow{AD} vaut 1. Elle n'est pas nulle, donc N n'appartient pas au plan (ABC).

Exercice 7 : Parallélogramme dans l’espace

Moyen
On donne A(1;2;0)A(1;2;0), B(4;1;2)B(4;1;2) et C(2;5;1)C(2;5;1).
  1. Déterminer les coordonnées de D pour que ABCD soit un parallélogramme dans cet ordre.
  2. Vérifier que les quatre points sont coplanaires.
  3. Déterminer le centre du parallélogramme.
Indication
Utiliser l'égalité vectorielle AD→=BC→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}.
Voir le corrigé
  1. D=A+C−B=(−1;6;−1)D=A+C-B=(-1;6;-1).
  2. Par construction, AD→=BC→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}, donc les droites (AD) et (BC) sont parallèles. Deux droites parallèles déterminent un plan qui contient A, B, C et D.
  3. Le centre est le milieu de [AC], soit I(32;72;12)I(\tfrac32;\tfrac72;\tfrac12). C'est aussi le milieu de [BD].

Changer de base et caractériser un plan

Les coordonnées deviennent un outil de décision, pas seulement un résultat à calculer.

Exercice 8 : Coordonnées dans une nouvelle base

Moyen
Dans l'espace, on pose u=(1;1;0)u=(1;1;0), v=(0;1;1)v=(0;1;1), w=(1;0;1)w=(1;0;1) et x=(3;4;5)x=(3;4;5).
  1. Montrer que la seule relation au+bv+cw=0au+bv+cw=0 est la relation nulle.
  2. Décomposer x dans la base (u,v,w)(u,v,w).
Indication
Traduire chaque égalité vectorielle en un système portant sur a, b et c.
Voir le corrigé
  1. La relation donne a+c=0a+c=0, a+b=0a+b=0 et b+c=0b+c=0. On obtient successivement c=−ac=-a, b=−ab=-a, puis −2a=0-2a=0. Ainsi a=b=c=0a=b=c=0, donc les trois vecteurs forment une base.
  2. Le système est a+c=3a+c=3, a+b=4a+b=4, b+c=5b+c=5. Il donne a=1a=1, b=3b=3, c=2c=2. Donc x=u+3v+2wx=u+3v+2w.

Exercice 9 : Un vecteur appartient-il au plan ?

Moyen
Un plan vectoriel est engendré par u=(1;2;−1)u=(1;2;-1) et v=(0;1;1)v=(0;1;1). On considère r=(2;5;−1)r=(2;5;-1) et s=(1;1;0)s=(1;1;0).
  1. Déterminer si r est une combinaison linéaire de u et v.
  2. Faire le même travail pour s.
  3. Expliquer pourquoi u et v ne sont pas colinéaires.
Indication
Chercher des réels a et b tels que le vecteur étudié soit égal à au+bvau+bv.
Voir le corrigé
  1. La première coordonnée impose a=2a=2, puis la deuxième donne 4+b=54+b=5, donc b=1b=1. La troisième vaut alors −2+1=−1-2+1=-1. Ainsi r=2u+vr=2u+v.
  2. La première coordonnée impose a=1a=1, et la deuxième 2+b=12+b=1, donc b=−1b=-1. La troisième vaudrait alors −1−1=−2-1-1=-2, et non 0. Le vecteur s n'appartient pas au plan engendré.
  3. Le vecteur v a une première coordonnée nulle alors que celle de u ne l'est pas. Ils ne peuvent pas être proportionnels.

Exercice 10 : Une section centrale du cube

Difficile
Dans le cube ABCDEFGHABCDEFGH, E, F, G et H sont respectivement au-dessus de A, B, C et D. On utilise le repère (A;AB→,AD→,AE→)(A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}). Le point I est le milieu de [BF], le point J le milieu de [DH], et K le milieu de [IJ].
  1. Déterminer les coordonnées de I et J, puis celles de IJ→\overrightarrow{IJ}.
  2. Montrer que la droite (IJ) est strictement parallèle au plan (ABCD).
  3. Calculer les coordonnées de K et montrer que K est aussi le milieu de [AG].
  4. En déduire que A, I, J et G sont coplanaires, puis préciser le point d'intersection des droites (AG) et (IJ).
Indication
Le repère du cube permet de lire les milieux. Pour la dernière question, utiliser les deux façons de définir K.
Voir le corrigé
  1. On a B(1;0;0)B(1;0;0), F(1;0;1)F(1;0;1), D(0;1;0)D(0;1;0) et H(0;1;1)H(0;1;1). Ainsi I(1;0;1/2)I(1;0;1/2), J(0;1;1/2)J(0;1;1/2) et IJ→=(−1;1;0)\overrightarrow{IJ}=(-1;1;0).
  2. Le vecteur IJ→=−AB→+AD→\overrightarrow{IJ}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD} est une direction du plan (ABCD), donc (IJ) est parallèle à ce plan. Les points de (ABCD) ont une troisième coordonnée nulle, tandis que I a pour troisième coordonnée 1/21/2. La droite n'est pas incluse dans le plan : elle lui est strictement parallèle.
  3. Le milieu de I et J est K(1/2;1/2;1/2)K(1/2;1/2;1/2). Or A(0;0;0)A(0;0;0) et G(1;1;1)G(1;1;1), donc K est aussi le milieu de [AG].
  4. Le point K appartient à la fois aux droites (IJ) et (AG). Les droites sont donc sécantes en K et déterminent un plan contenant A, I, J et G. Ces quatre points sont coplanaires.
Partager