Le théorème de Pythagore en 3ème possède trois usages distincts. La forme directe calcule une longueur dans un triangle déjà rectangle. La réciproque prouve qu'un triangle est rectangle. La contraposée prouve qu'il ne l'est pas.
La première question doit donc être : que sait-on et que cherche-t-on ? Employer la bonne forme dépend du statut du triangle, pas seulement de la présence de trois longueurs.
Identifier hypoténuse et angle droit
Hypoténuse
Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. C'est aussi le plus long côté du triangle.
Erreur fréquente : le plus long côté d'un triangle quelconque n'est appelé hypoténuse que si le triangle est rectangle.
Théorème direct : calculer une hypoténuse
Théorème de Pythagore
Si un triangle est rectangle en , alors .
La longueur est positive, donc on retient la racine carrée positive. La rédaction nomme d'abord le triangle et son angle droit, puis écrit l'égalité avec l'hypoténuse seule.
Théorème direct : calculer un côté de l’angle droit
Si l'hypoténuse mesure 13 cm et un côté 5 cm, on isole le carré du côté inconnu par soustraction.
Ajouter les deux carrés donnerait une longueur supérieure à l'hypoténuse, ce qui est impossible. L'ordre de grandeur apporte donc un contrôle immédiat.
Réciproque : prouver qu’un triangle est rectangle
Réciproque de Pythagore
Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle et le plus grand côté est son hypoténuse.
Les égalités coïncident : le triangle est rectangle, et l'angle droit est opposé au côté de longueur 12,5. Le plus grand côté doit être identifié avant les calculs.
Contraposée : prouver qu’un triangle n’est pas rectangle
Contraposée de Pythagore
Si le carré du plus grand côté n'est pas égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle n'est pas rectangle.
Le triangle n'est donc pas rectangle. Une différence faible ne doit pas être attribuée à l'arrondi si les données initiales sont exactes ; on compare les valeurs exactes avant toute approximation.
Choisir entre théorème, réciproque et contraposée
| Donnée | Objectif | Outil |
|---|---|---|
| angle droit connu | calculer une longueur | théorème direct |
| trois longueurs | prouver rectangle | réciproque si égalité |
| trois longueurs | prouver non rectangle | contraposée si inégalité |
Écrire « d'après Pythagore » sans préciser la forme laisse un raisonnement incomplet. La conclusion de la réciproque nomme aussi le sommet de l'angle droit, déduit du plus grand côté.
Utiliser Pythagore dans un problème et rédiger
Une échelle de 4,5 m repose contre un mur. Son pied est à 1,2 m du mur. Le mur et le sol sont perpendiculaires, donc le triangle est rectangle. La hauteur vérifie , d'où m.
La rédaction complète comporte la perpendicularité, le nom du triangle rectangle, l'égalité, le calcul exact, l'arrondi demandé et l'unité. Le cours sur les racines carrées aide à distinguer valeur exacte et valeur approchée.
La fiche générale sur le théorème de Pythagore propose d'autres configurations pour consolider la rédaction.
Distance entre deux points dans un repère
Pour et dans un repère orthonormé, les différences horizontale et verticale forment les côtés d'un triangle rectangle. Pythagore donne la distance.
Avec et , les écarts sont 6 et 8. La distance vaut . L'ordre des soustractions n'a pas d'effet après le carré, mais il doit rester cohérent dans chaque coordonnée.
Cette formule permet aussi de tester si un triangle défini par trois points est rectangle : on calcule les trois carrés de distances, repère le plus grand et applique la réciproque ou la contraposée.
Diagonale d’un pavé droit
Dans un pavé droit, on peut appliquer Pythagore en deux étapes. Une base de 3 cm sur 4 cm a une diagonale de 5 cm. Avec une hauteur de 12 cm, la diagonale de l'espace vaut cm.
Le dessin en perspective ne montre pas toujours les angles droits à leur vraie mesure ; ce sont les propriétés du pavé qui les justifient.
Précision des mesures et conclusion prudente
Si les longueurs sont des mesures arrondies, une petite différence entre et ne permet pas toujours une conclusion absolue sur la réalité de la figure. Dans un exercice scolaire, les données sont généralement considérées exactes sauf mention contraire.
La rédaction doit respecter ce statut. Avec des valeurs exactes, une inégalité prouve que le triangle n'est pas rectangle. Avec des mesures expérimentales, on peut seulement conclure qu'il est compatible ou non avec un angle droit dans la précision annoncée.
Théorème de Pythagore 3ème : l’essentiel à retenir
Le théorème direct part d'un angle droit pour calculer une longueur. La réciproque et la contraposée partent de trois longueurs et comparent le carré du plus grand côté à la somme des deux autres. Identifier les données avant le calcul choisit la bonne logique.
Cette distinction rigoureuse est conforme aux repères annuels de progression de mathématiques pour le cycle 4 et répond directement aux attentes de démonstration au brevet.