Volumes et sections 3ème : sphère, cône, pyramide

Les volumes et sections de solides en 3ème réunissent géométrie plane, repérage dans l'espace et changements d'échelle. Une section est la figure plane obtenue lorsqu'un plan coupe un solide.

Les formules deviennent plus faciles à retenir lorsqu'on identifie la base, la hauteur et la dimension du résultat. Une aire s'exprime en unités carrées ; un volume en unités cubes.

Table des Matières

Distinguer sphère et boule

Sphère et boule

La sphère de centre $O$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points situés à la distance $r$ de $O$ . La boule contient tous les points dont la distance à $O$ est inférieure ou égale à $r$ .

Objet	Grandeur	Formule
sphère	aire de surface	$4\pi r^2$
boule	volume	$\frac43\pi r^3$

Erreur fréquente : la sphère est une surface et n'a pas de volume dans ce vocabulaire scolaire. Le volume est celui de la boule.

Calculer aire d’une sphère et volume d’une boule

\mathcal A=4\pi\times3^2=36\pi\text{ cm}^2,\qquad V=\frac43\pi\times3^3=36\pi\text{ cm}^3.

Les valeurs numériques coïncident ici par hasard, mais les unités et les grandeurs diffèrent. Conserver $\pi$ donne une valeur exacte ; l'arrondi dépend de la précision demandée.

Volumes d’une pyramide et d’un cône

Volume avec une base et une hauteur

Le volume d'une pyramide ou d'un cône vaut $\frac13\times\text{aire de la base}\times\text{hauteur}$ . La hauteur est perpendiculaire au plan de la base.

V=\frac13\pi\times4^2\times9=48\pi\text{ cm}^3.

La génératrice du cône n'est pas sa hauteur. De même, une arête oblique de pyramide ne remplace la hauteur que si l'énoncé prouve la perpendicularité requise.

Reconnaître une section plane

Cône coupé par un plan parallèle à sa base — Un plan parallèle à la base d'un cône donne une section circulaire et un petit cône semblable au solide initial.

Une section d'un pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle de mêmes dimensions que cette face. Une section d'un cylindre parallèle aux bases est un disque ; parallèle à l'axe, elle est rectangulaire.

Dans une pyramide ou un cône, une section parallèle à la base a la même forme que la base. Le solide situé vers le sommet est une réduction du solide initial.

Utiliser la similitude dans une section parallèle

Un cône de hauteur 12 cm est coupé parallèlement à sa base à 4 cm du sommet. Le petit cône a un rapport de longueur $k=4/12=1/3$ par rapport au grand.

\frac{\mathcal A_{\text{petite base}}}{\mathcal A_{\text{grande base}}} =\left(\frac13\right)^2=\frac19,\qquad \frac{V_{\text{petit cône}}}{V_{\text{grand cône}}} =\left(\frac13\right)^3=\frac1{27}.

Le tronc restant a donc $26/27$ du volume initial. Le cours sur les agrandissements et réductions fournit exactement ces puissances du rapport.

Convertir les unités de volume

Unités cubes et litres

Entre deux unités de longueur consécutives, le facteur est 10 ; entre les unités de volume correspondantes, il est $10^3=1\,000$ . De plus, $1\text{ dm}^3=1\text{ L}$ et $1\text{ cm}^3=1\text{ mL}$ .

0,085\text{ m}^3=85\text{ dm}^3=85\text{ L}.

Écrire une chaîne par l'unité intermédiaire dm³ rend le lien avec les litres visible. Déplacer la virgule comme pour une longueur produirait un facteur mille fois trop petit.

Résoudre un problème de récipient

Un réservoir est formé d'un cylindre de rayon 1,2 m et de hauteur 3 m, surmonté d'un demi-volume de boule de même rayon. Le volume total est la somme des deux parties.

V=\pi(1,2)^2\times3+\frac12\times\frac43\pi(1,2)^3 =4,32\pi+1,152\pi=5,472\pi\text{ m}^3.

Une valeur approchée vaut environ 17,19 m³, soit 17 190 L. Le résultat doit être arrondi à la fin et accompagné de l'unité demandée.

Le cours sur les pyramides et cônes en 4ème rappelle les représentations, tandis que les solides et volumes consolident les unités de base.

Effet d’une variation de rayon sur une boule

Le volume d'une boule est proportionnel au cube du rayon. Si le rayon augmente de 10 %, le coefficient de longueur est 1,10 et le coefficient de volume $1,1^3=1,331$ . Le volume augmente donc de 33,1 %, pas de 10 %.

\frac{V'}V=\frac{\frac43\pi(1,1r)^3}{\frac43\pi r^3}=1,1^3=1,331.

Le facteur $\frac43\pi$ se simplifie dans le rapport. Ce raisonnement permet de comparer les volumes sans connaître le rayon initial.

Pour l'aire de la sphère, le coefficient serait $1,1^2=1,21$ , soit une hausse de 21 %. La dimension de la grandeur décide de la puissance du rapport.

Calculer le volume d’un tronc par différence

Un tronc de cône obtenu par une section parallèle se calcule en retirant le petit cône du grand. Si le rapport de longueur vaut $k=0,6$ , le petit volume vaut $0,6^3=0,216$ fois le grand.

V_{\text{tronc}}=(1-0,216)V_{\text{grand}}=0,784V_{\text{grand}}.

Le tronc conserve 78,4 % du volume initial. Soustraire seulement 60 % confondrait le rapport de longueur avec le rapport de volume.

Si le volume du grand cône est connu, la différence peut être calculée sans déterminer séparément chaque rayon. Le rapport de similitude contient déjà toute l'information nécessaire.

Volumes et sections de solides 3ème : l’essentiel à retenir

Une formule de volume se lit par la base, la hauteur et la dimension de l'unité. Sphère et boule doivent être distinguées. Les sections parallèles produisent des figures semblables et entraînent des rapports au carré pour les aires, au cube pour les volumes.

Cette synthèse suit les repères annuels de progression de mathématiques pour le cycle 4 et prépare les problèmes d'espace et de changement d'échelle du brevet.