Symétrie centrale 5ème : 10 exercices corrigés

Ces exercices corrigés de symétrie centrale en 5ème font passer du geste de construction au raisonnement géométrique. Pour construire l'image A′A' d'un point AA par rapport au centre OO, on vérifie que OO est le milieu de [AA′][AA']. La série alterne repérage, construction à la règle et au compas, propriétés conservées et analyse d'erreurs afin de préparer un contrôle sans réduire la notion à un simple dessin.

Les dix exercices ne répètent pas la même figure : certains demandent une seule décision, d'autres une construction complète, une justification ou une comparaison avec la symétrie axiale. Ils prolongent le cours de symétrie centrale en 5ème, s'inscrivent dans le parcours de mathématiques de 5ème et réutilisent naturellement les propriétés de construction des triangles.

Reconnaître le centre et construire une image

Avant de mesurer une figure, on identifie le centre, l'alignement et l'égalité des distances. Une symétrie centrale correspond à un demi-tour : le segment qui relie un point à son image passe par le centre.

Exercice 1 : Repérer les couples de points symétriques

Facile

Sur une figure, OA=OA′=4,2OA=OA'=4{,}2 cm et O,A,A′O,A,A' sont alignés ; pour BB, O,B,B′O,B,B' sont alignés mais OB=3,8OB=3{,}8 cm et OB′=4,1OB'=4{,}1 cm.

  1. Le couple A,A′A,A' peut-il être symétrique par rapport à OO ?
  2. Que conclure pour B,B′B,B' ?
Indication

Le centre doit être le milieu du segment qui joint un point à son image : il faut l'alignement et l'égalité des deux longueurs.

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  1. Oui pour A,A′A,A' : OO est le milieu de [AA′][AA'].
  2. Non pour B,B′B,B' : l'alignement existe mais OB≠OB′OB\ne OB', donc OO n'est pas le milieu.

Une mesure seule ne suffit jamais sans la condition d'alignement.

Exercice 2 : Construire le symétrique d’un point

Facile

On donne un point AA et un centre OO, distincts. Construire A′A', image de AA par la symétrie centrale de centre OO.

  1. Décrire les étapes.
  2. Quelle propriété contrôle le résultat ?
  3. Que devient A′A' si AA se déplace ?
Indication

Tracez (AO)(AO), puis reportez OAOA de l'autre côté de OO, sur la même droite.

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  1. Tracer (AO)(AO), prendre l'ouverture OAOA au compas, puis la reporter depuis OO sur la demi-droite opposée pour placer A′A'.
  2. Le contrôle repose sur deux propriétés : AA, OO et A′A' sont alignés, et OA′=OAOA'=OA. Ainsi, OO est le milieu de [AA′][AA'].
  3. Si AA se déplace, son image A′A' se déplace aussi. Elle reste sur la droite (AO)(AO), de l'autre côté de OO, à la même distance du centre que AA.

Exercice 3 : Construire l’image d’un segment

Moyen

Le segment [AB][AB] vérifie AB=5AB=5 cm. Construire l'image [A′B′][A'B'] par rapport à un centre OO qui n'appartient pas au segment.

  1. Construire les images des extrémités.
  2. Quelle longueur possède A′B′A'B' ?
  3. Quelle relation existe entre (AB)(AB) et (A′B′)(A'B')?
  4. Le sens du segment est-il conservé ?
Indication

Construisez point par point. Pensez au demi-tour pour la relation entre les deux droites.

Voir le corrigé
  1. Construire A′A' et B′B' en plaçant OO au milieu de [AA′][AA'] et [BB′][BB'].
  2. La symétrie centrale conserve les longueurs : A′B′=AB=5A'B'=AB=5 cm.
  3. Les droites images sont parallèles si la droite initiale ne passe pas par OO, sinon elles sont confondues.
  4. Le sens gauche-droite est inversé par le demi-tour, mais les distances et les angles sont conservés.

Exercice 4 : Point invariant et centre de symétrie

Moyen

On considère une symétrie centrale de centre OO.

  1. Dans quel cas l'image de PP est-elle PP lui-même ?
  2. Une droite passant par OO est-elle globalement inchangée ?
Indication

Un point invariant est confondu avec son image. Pour une droite, distinguez la droite de la position de chaque point.

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Le seul point invariant est OO, car OO doit être le milieu de [PP][PP]. Toute droite passant par OO est envoyée sur elle-même : ses points peuvent changer de place, mais leurs images restent sur la droite. Une droite ne passant pas par OO devient une droite parallèle.

Utiliser les propriétés conservées

Une construction devient utile lorsqu'elle permet de déduire une longueur, un angle ou un parallélisme sans tout mesurer. Le demi-tour conserve distances, angles et alignement.

Exercice 5 : Déduire des longueurs sans mesurer

Facile

La symétrie de centre OO envoie A,B,CA,B,C sur A′,B′,C′A',B',C'. On connaît AB=7,5AB=7{,}5 cm, BC=4BC=4 cm et AC=6,2AC=6{,}2 cm.

  1. Donner A′B′A'B', B′C′B'C' et A′C′A'C'.
  2. Calculer le périmètre de A′B′C′A'B'C'.
  3. Comparer les deux aires.
Indication

La symétrie centrale est une isométrie : chaque longueur et chaque aire est conservée.

Voir le corrigé
  1. A′B′=7,5A'B'=7{,}5 cm, B′C′=4B'C'=4 cm et A′C′=6,2A'C'=6{,}2 cm.
  2. Le périmètre est 7,5+4+6,2=17,77{,}5+4+6{,}2=17{,}7 cm.
  3. Les triangles sont superposables après un demi-tour, donc leurs aires sont égales.

Exercice 6 : Reconnaître des parallèles après un demi-tour

Moyen

Une droite (d)(d), ne passant pas par OO, a pour image la droite (d′)(d').

  1. Quelle relation entre (d)(d) et (d′)(d') ?
  2. Pourquoi les longueurs sont-elles conservées ?
  3. Que se passe-t-il si (d)(d) passe par OO ?
  4. Rédiger une conclusion.
Indication

Construisez les images de deux points de (d)(d), puis observez la droite obtenue. Le cas particulier est celui d'une droite contenant le centre.

Voir le corrigé
  1. (d)∥(d′)(d)\parallel(d'), puisque la droite ne passe pas par le centre.
  2. Les extrémités d'un segment sont envoyées par une isométrie ; la distance entre leurs images reste égale.
  3. Si (d)(d) passe par OO, elle est envoyée sur elle-même.
  4. Conclusion : « La symétrie centrale conserve les longueurs et transforme une droite ne passant pas par son centre en une droite parallèle. »

Exercice 7 : Réparer une construction fausse

Difficile

Un élève place A′A' avec AA′=6AA'=6 cm et OA′=4OA'=4 cm, alors que OA=4OA=4 cm. Il affirme que A′A' est le symétrique de AA.

  1. Identifier la condition manquante.
  2. Pourquoi AA′AA' ne suffit-il pas ?
  3. Décrire la correction.
  4. Donner deux contrôles finaux.
  5. Que conclure sans alignement ?
Indication

La définition porte sur OO comme milieu, pas sur une distance choisie entre AA et A′A'.

Voir le corrigé
  1. Il faut contrôler l'alignement A,O,A′A,O,A', puis OA=OA′OA=OA'.
  2. AA′AA' dépend de la position du point par rapport à OO et ne prouve pas que le centre est le milieu.
  3. Tracer (AO)(AO), puis placer A′A' sur la demi-droite opposée à 44 cm de OO.
  4. Vérifier alignement, égalité des distances et milieu de [AA′][AA'].
  5. Sans alignement, OO ne peut pas être le milieu, même si les deux distances au centre sont égales.

Raisonner sur une figure et ses invariants

Les problèmes de synthèse demandent de distinguer ce qui est conservé de ce qui est seulement déplacé. Une justification précise s'appuie sur la définition de l'image, puis sur la propriété adaptée.

Exercice 8 : Un quadrilatère et son image

Moyen

Le quadrilatère ABCDABCD devient A′B′C′D′A'B'C'D' par symétrie centrale. On connaît AB=8AB=8 cm, BC=5BC=5 cm, CD=8CD=8 cm, DA=5DA=5 cm et ABC^=112∘\widehat{ABC}=112^\circ.

  1. Calculer le périmètre de l'image.
  2. Donner A′B′C′^\widehat{A'B'C'}.
  3. Comparer les diagonales.
Indication

La symétrie centrale conserve chaque longueur et chaque angle.

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  1. Le périmètre initial vaut 8+5+8+5=268+5+8+5=26 cm ; le périmètre image vaut donc 2626 cm.
  2. A′B′C′^=112∘\widehat{A'B'C'}=112^\circ.
  3. A′C′=ACA'C'=AC et B′D′=BDB'D'=BD : les diagonales sont conservées.

Exercice 9 : Le centre d’une figure à partir d’une image

Difficile

On connaît A,A′A,A' et B,B′B,B', supposés être deux couples de points symétriques. Construire le centre OO.

  1. Construire une première position possible.
  2. Utiliser le second couple pour vérifier.
  3. Que conclure si les milieux diffèrent ?
  4. Pourquoi un seul couple ne suffit-il pas toujours ?
Indication

Le centre est le milieu de chacun des segments joignant un point à son image.

Voir le corrigé
  1. Construire le milieu de [AA′][AA'].
  2. Construire le milieu de [BB′][BB'] et comparer les deux points.
  3. Des milieux différents prouvent qu'une donnée ou une construction est fausse.
  4. Un couple donne un centre possible, mais deux couples vérifient la cohérence de toute la transformation.

Exercice 10 : Défi : une figure qui revient sur elle-même

Difficile

On appelle OO le point d'intersection des diagonales d'un rectangle. On compare ensuite avec un triangle quelconque.

  1. Montrer que le rectangle est invariant.
  2. Un triangle possède-t-il un centre de symétrie ?
  3. Quelle différence explique les réponses ?
  4. Donner un quadrilatère avec centre mais sans axe, si possible.
  5. Conclure sur les parallélogrammes.
Indication

Dans un rectangle, les diagonales se coupent en leur milieu. Une figure centrale associe ses sommets deux à deux.

Voir le corrigé
  1. Dans le rectangle, OO est le milieu de [AC][AC] et de [BD][BD] : la symétrie échange AA avec CC, BB avec DD, et laisse la figure inchangée.
  2. Un triangle n'a pas de centre de symétrie : ses trois sommets ne peuvent pas être associés deux à deux.
  3. Un polygone invariant par demi-tour possède un nombre pair de sommets.
  4. Un parallélogramme général possède un centre sans avoir nécessairement d'axe.
  5. Tout parallélogramme est invariant autour de l'intersection de ses diagonales, milieu des deux diagonales.
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