Triangles 5ème : somme des angles et constructions

La somme des trois angles vaut 180 degrés

Cette propriété permet de calculer un angle manquant. Si deux angles mesurent $48^\circ$ et $67^\circ$, le troisième vaut $180^\circ-48^\circ-67^\circ=65^\circ$.

Erreur fréquente : la somme $180^\circ$ concerne les trois angles intérieurs du triangle, pas un angle extérieur dessiné dans leur prolongement.

D’où vient la propriété ?

Par un sommet $A$, on trace une droite parallèle au côté opposé $(BC)$. Les angles en $B$ et $C$ se retrouvent en $A$ sous forme d'angles alternes-internes. Avec l'angle du sommet $A$, ils forment un angle plat.

La justification repose donc sur le parallélisme et non sur une mesure approximative du dessin. Les relations d'angles utilisées sont expliquées dans Angles et parallélisme 5ème.

Triangles particuliers : exploiter les égalités

Dans un triangle isocèle dont l'angle au sommet vaut $40^\circ$, les deux angles à la base sont égaux. Leur somme vaut $140^\circ$, donc chacun mesure $70^\circ$.

Vérifier qu’un triangle est constructible avec trois longueurs

Les longueurs $4$ cm, $6$ cm et $9$ cm conviennent, car $9\lt 4+6$. Les longueurs $3$ cm, $5$ cm et $9$ cm ne conviennent pas, car $9\gt 3+5$.

Si la plus grande longueur est exactement égale à la somme des deux autres, les trois points sont alignés : on obtient un triangle aplati, pas un triangle usuel.

Construction avec trois longueurs

Pour construire $ABC$ avec $AB=6$ cm, $AC=5$ cm et $BC=4$ cm :

1. Tracer le segment $[AB]$ de $6$ cm.
2. Tracer un arc de cercle de centre $A$ et de rayon $5$ cm.
3. Tracer un arc de centre $B$ et de rayon $4$ cm.
4. Nommer $C$ l'un des points d'intersection, puis tracer $[AC]$ et $[BC]$.

Les deux intersections possibles donnent des triangles symétriques par rapport à $(AB)$. Ils ont les mêmes dimensions.

Construction avec deux côtés et l’angle compris

Si $AB=7$ cm, $AC=4$ cm et $\widehat{BAC}=55^\circ$, on trace d'abord $[AB]$, puis la demi-droite issue de $A$ formant $55^\circ$ avec $[AB)$. On reporte enfin $4$ cm sur cette demi-droite pour placer $C$.

L'angle donné est compris entre les deux côtés connus. Cette position détermine le triangle. Mesurer $55^\circ$ au mauvais sommet produit une autre figure.

Construction avec un côté et deux angles

Pour $AB=6$ cm, $\widehat{A}=50^\circ$ et $\widehat{B}=65^\circ$, on trace $[AB]$, puis les deux demi-droites correspondant aux angles en $A$ et en $B$. Leur intersection est $C$.

Avant de construire, le troisième angle vaut $180^\circ-50^\circ-65^\circ=65^\circ$. On prévoit donc un triangle isocèle, car les angles en $B$ et $C$ sont égaux.

Astuce : faire un croquis à main levée avec les données placées au bon sommet avant d'utiliser les instruments.

Lire un programme de construction

Un programme doit nommer l'objet tracé, l'instrument implicite et la donnée utilisée. « Tracer un cercle de centre $A$ passant par $B$ » indique que le rayon est $AB$. « Placer $C$ à l'intersection » n'est possible que si les deux objets précédents se coupent.

Les propriétés de base, le codage des longueurs et la construction au compas sont consolidés dans Triangles 6ème : propriétés et constructions.

Contrôler la figure sans se fier à son apparence

• Mesurer les côtés demandés avec la règle.
• Vérifier les angles donnés avec le rapporteur.
• Contrôler la somme des trois angles.
• Observer les codages d'égalité ou d'angle droit.

Les mesures servent au contrôle, mais la construction au compas et les propriétés apportent l'exactitude. Un triangle qui « semble isocèle » ne l'est pas sans données ou codages qui le prouvent.

Problème de construction avec choix des données

On veut construire un triangle $ABC$ tel que $AB=7$ cm, $\widehat A=45^\circ$ et $\widehat C=70^\circ$. Le troisième angle vaut $180^\circ-45^\circ-70^\circ=65^\circ$.

On connaît un côté et les deux angles, mais l'un des angles donnés n'est pas adjacent au côté $[AB]$. On peut calculer $\widehat B=65^\circ$, tracer $[AB]$, puis construire en $A$ un angle de $45^\circ$ et en $B$ un angle de $65^\circ$. Leur intersection détermine $C$.

Le calcul préalable transforme les données en un format directement constructible. Il sert aussi de contrôle : les trois angles sont positifs et totalisent $180^\circ$.

Cas d’impossibilité et cas limite

Avec des longueurs $2$ cm, $3$ cm et $6$ cm, le plus grand côté dépasse la somme des deux autres : $6\gt 2+3$. Les deux arcs de cercle utilisés pour la construction ne se rencontrent pas.

Avec $2$ cm, $3$ cm et $5$ cm, les arcs se touchent en un seul point situé sur la droite de base. On obtient trois points alignés : c'est le cas limite $5=2+3$, appelé triangle aplati.

Avec $2$, $3$ et $4$ cm, les arcs se coupent en deux points symétriques. Le triangle est constructible. Le comportement du compas rend visible l'inégalité triangulaire.

Triangles 5ème : l’essentiel à retenir

Le cours sur les triangles en 5ème associe conditions d'existence, somme des angles et protocoles de construction. Vérifier les données avant de tracer évite une construction impossible et révèle parfois une propriété particulière.

Le programme officiel de mathématiques du cycle 4 attend que les instruments soient soutenus par des propriétés et une justification, non par l'apparence de la figure.