Volumes 5ème : 13 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur les volumes en 5ème entraînent à choisir la base d'un solide, calculer son aire, multiplier par la hauteur et convertir le résultat. Le cours sur les volumes en 5ème rappelle les formules du cube, du pavé, du prisme droit et du cylindre.

La progression sépare calcul direct, conversion, recherche d'une dimension et problèmes de capacité. Elle complète le parcours de mathématiques de 5ème en s'appuyant sur la représentation des prismes et cylindres et sur les aires de base.

Table des Matières

Choisir une formule et convertir des unités cubiques

Une conversion de volume change de facteur $1000$ entre deux unités successives, car trois dimensions sont multipliées.

Exercice 1 : Conversions cubiques

Facile

Effectuer les conversions suivantes.

$4{,}2\ \text{dm}^3$ en $\text{cm}^3$ .
$8500\ \text{cm}^3$ en $\text{dm}^3$ .
$0{,}035\ \text{m}^3$ en $\text{dm}^3$ .
$2{,}4\ \text{m}^3$ en litres.
$750\ \text{mL}$ en $\text{cm}^3$ .

Indication

Utilisez $1\ \text{dm}^3=1000\ \text{cm}^3=1\ \text{L}$ et $1\ \text{cm}^3=1\ \text{mL}$ .

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$4{,}2\ \text{dm}^3=4200\ \text{cm}^3$ .
$8500\ \text{cm}^3=8{,}5\ \text{dm}^3$ .
$0{,}035\ \text{m}^3=35\ \text{dm}^3$ .
$2{,}4\ \text{m}^3=2400$ L.
$750$ mL $=750\ \text{cm}^3$ . Le facteur $100$ concerne les aires, pas les volumes.

Exercice 2 : Associer solide et formule

Facile

Pour chaque solide, écrire la formule la plus directe.

Cube d'arête $a$ .
Pavé droit de dimensions $L,l,h$ .
Prisme droit d'aire de base $B$ et hauteur $h$ .
Cylindre de rayon $r$ et hauteur $h$ .

Indication

Le prisme et le cylindre suivent tous deux $V=B\times h$ .

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Cube : $V=a^3$ . Pavé droit : $V=L\times l\times h$ . Prisme droit : $V=B\times h$ . Cylindre : sa base est un disque d'aire $\pi r^2$ , donc $V=\pi r^2h$ . Ces écritures ne sont pas quatre recettes sans lien : le cube et le pavé sont aussi des prismes dont la base est carrée ou rectangulaire.

Exercice 3 : Estimer avant de calculer

Moyen

Un pavé mesure $19{,}8$ cm, $10{,}2$ cm et $4{,}9$ cm.

Donner un ordre de grandeur du volume.
Calculer le volume exact au centième.
Vérifier la cohérence des deux résultats.

Indication

Arrondissez les dimensions à $20$ , $10$ et $5$ avant le calcul exact.

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L'ordre de grandeur est $20\times10\times5=1000\ \text{cm}^3$ . Le calcul donne $19{,}8\times10{,}2=201{,}96$ , puis $201{,}96\times4{,}9=989{,}604\ \text{cm}^3$ , soit $989{,}60\ \text{cm}^3$ au centième. Cette valeur proche de $1000$ confirme la vraisemblance du calcul ; $98{,}96$ ou $9896$ aurait signalé une erreur de virgule.

Calculer des volumes de solides usuels

Pour un prisme ou un cylindre, on calcule d'abord l'aire d'une base, puis on la multiplie par la hauteur du solide.

Exercice 4 : Cube et pavé de même hauteur

Facile

Un cube a une arête de $4$ cm. Un pavé mesure $8$ cm sur $2$ cm sur $4$ cm.

Calculer les deux volumes.
Comparer les résultats et expliquer l'égalité.

Indication

Comparez les aires de base avant de multiplier par la hauteur commune.

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Le cube a pour volume $4^3=64\ \text{cm}^3$ . Le pavé a pour volume $8\times2\times4=64\ \text{cm}^3$ . Les volumes sont égaux, car les deux bases ont une aire de $16\ \text{cm}^2$ et les deux hauteurs valent $4$ cm. Des formes différentes peuvent donc occuper le même volume.

Exercice 5 : Prisme à base triangulaire

Moyen

La base d'un prisme droit est un triangle de base $6$ cm et de hauteur $4{,}5$ cm. La hauteur du prisme est $10$ cm.

Calculer l'aire de la base.
Calculer le volume.
Préciser le rôle des deux hauteurs données.
Convertir le volume en $\text{dm}^3$ .

Indication

La première hauteur appartient au triangle ; la seconde mesure la longueur du prisme.

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$B=(6\times4{,}5)\div2=13{,}5\ \text{cm}^2$ .
$V=13{,}5\times10=135\ \text{cm}^3$ .
$4{,}5$ cm sert à l'aire du triangle, tandis que $10$ cm sépare les deux bases.
$135\ \text{cm}^3=0{,}135\ \text{dm}^3$ . Confondre les deux hauteurs changerait la géométrie du calcul.

Exercice 6 : Cylindre et valeur approchée

Moyen

Un cylindre a un rayon de $3{,}5$ cm et une hauteur de $12$ cm. Prendre $\pi\approx3{,}14$ .

Calculer l'aire de la base.
Calculer le volume.
Arrondir au dixième de $\text{cm}^3$ .

Indication

Élevez le rayon au carré avant de multiplier par $\pi$ puis par la hauteur.

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L'aire de base vaut $3{,}14\times3{,}5^2=3{,}14\times12{,}25=38{,}465\ \text{cm}^2$ . Le volume vaut $38{,}465\times12=461{,}58\ \text{cm}^3$ . Au dixième, on obtient $461{,}6\ \text{cm}^3$ . Utiliser le diamètre $7$ comme rayon aurait quadruplé l'aire de base et le volume.

Exercice 7 : Prisme à base en L

Difficile

La base d'un prisme est un rectangle $8$ cm sur $6$ cm auquel on retire un rectangle $3$ cm sur $2$ cm. La hauteur du prisme est $9$ cm.

Calculer l'aire du grand rectangle.
Calculer l'aire retirée.
Déterminer l'aire de base restante.
Calculer le volume du prisme.
Donner un contrôle par ordre de grandeur.

Indication

Le volume doit être inférieur à celui du pavé $8\times6\times9$ .

Voir le corrigé

Grande aire : $8\times6=48\ \text{cm}^2$ .
Retrait : $3\times2=6\ \text{cm}^2$ .
Base : $48-6=42\ \text{cm}^2$ .
Volume : $42\times9=378\ \text{cm}^3$ .
Le pavé complet aurait $432\ \text{cm}^3$ ; $378$ est bien inférieur et proche, ce qui est cohérent avec une petite partie retirée.

Retrouver une dimension inconnue

Dans un problème inverse, on divise le volume par l'aire de base pour obtenir la hauteur, ou on remonte la formule étape par étape.

Exercice 8 : Hauteur d’un prisme

Moyen

Un prisme droit a un volume de $540\ \text{cm}^3$ et une aire de base de $45\ \text{cm}^2$ .

Calculer sa hauteur.
Vérifier le résultat avec la formule du volume.

Indication

Dans $V=B\times h$ , isolez $h$ par une division.

Voir le corrigé

La hauteur vaut $h=V\div B=540\div45=12$ cm. Vérification : $45\ \text{cm}^2\times12\ \text{cm}=540\ \text{cm}^3$ . Les unités expliquent aussi le résultat : une unité cubique divisée par une unité carrée donne une unité de longueur.

Exercice 9 : Rayon d’un cylindre

Difficile

Un cylindre de hauteur $10$ cm a un volume approché de $785\ \text{cm}^3$ . On prend $\pi\approx3{,}14$ .

Calculer l'aire de la base.
Calculer $r^2$ .
En déduire le rayon.
Vérifier le volume.

Indication

Divisez d'abord par la hauteur, puis par $\pi$ .

Voir le corrigé

$B=785\div10=78{,}5\ \text{cm}^2$ .
$r^2=78{,}5\div3{,}14=25$ .
Le rayon positif est $r=5$ cm.
$3{,}14\times5^2\times10=3{,}14\times25\times10=785\ \text{cm}^3$ . On ne retient pas une longueur négative.

Exercice 10 : Dimensions d’un aquarium

Moyen

Un aquarium rectangulaire de $80$ L mesure $80$ cm de long et $40$ cm de large.

Convertir $80$ L en $\text{cm}^3$ .
Calculer l'aire de la base.
Déterminer la hauteur intérieure.

Indication

$1$ L vaut $1000\ \text{cm}^3$ , puis la hauteur est le volume divisé par l'aire de base.

Voir le corrigé

$80$ L $=80\,000\ \text{cm}^3$ . L'aire de base vaut $80\times40=3200\ \text{cm}^2$ . La hauteur est $80\,000\div3200=25$ cm. Vérification : $80\times40\times25=80\,000\ \text{cm}^3$ . Les dimensions sont intérieures ; l'épaisseur du verre n'intervient donc pas.

Capacités, remplissages et contrôle d’erreurs

Un récipient n'est pas toujours rempli à ras bord. Il faut distinguer capacité totale, volume réellement occupé et marge disponible.

Exercice 11 : Comparer deux contenants

Difficile

Le récipient A est un pavé de $30$ cm sur $20$ cm sur $25$ cm. Le récipient B est un cylindre de rayon $10$ cm et de hauteur $50$ cm. Prendre $\pi\approx3{,}14$ .

Calculer le volume de A.
Convertir sa capacité en litres.
Calculer le volume de B.
Convertir sa capacité en litres.
Indiquer le récipient le plus grand et l'écart.

Indication

Effectuez les deux calculs en $\text{cm}^3$ , puis convertissez avec $1000\ \text{cm}^3=1$ L.

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$V_A=30\times20\times25=15\,000\ \text{cm}^3$ .
A contient $15$ L.
$V_B=3{,}14\times10^2\times50=15\,700\ \text{cm}^3$ .
B contient $15{,}7$ L.
B est plus grand de $700\ \text{cm}^3$ , soit $0{,}7$ L. La comparaison doit se faire dans la même unité.

Exercice 12 : Remplissage partiel d’une cuve

Moyen

Une cuve parallélépipédique mesure $1{,}2$ m sur $0{,}8$ m sur $0{,}75$ m. Elle est remplie aux deux tiers.

Calculer le volume total en $\text{m}^3$ .
Calculer le volume d'eau.
Convertir ce volume en litres.
Déterminer le volume encore disponible.

Indication

Calculez la capacité totale avant d'appliquer la fraction de remplissage.

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Le volume total vaut $1{,}2\times0{,}8\times0{,}75=0{,}72\ \text{m}^3$ . L'eau occupe $(2/3)\times0{,}72=0{,}48\ \text{m}^3$ , soit $480$ L. Il reste $0{,}72-0{,}48=0{,}24\ \text{m}^3$ , donc $240$ L. Appliquer les deux tiers à une seule dimension aurait ici donné le même résultat, mais seulement parce que la base reste constante.

Exercice 13 : Expertiser trois réponses

Difficile

Pour un cylindre de rayon $4$ cm et de hauteur $6$ cm, trois élèves proposent $96\pi\ \text{cm}^3$ , $24\pi\ \text{cm}^3$ et $301{,}44\ \text{cm}^2$ .

Identifier la réponse exacte.
Expliquer l'origine probable de $24\pi$ .
Corriger l'unité de la troisième réponse.

Indication

Écrivez $\pi r^2h$ en remplaçant chaque lettre, sans effectuer trop vite.

Voir le corrigé

Le volume exact est $\pi\times4^2\times6=\pi\times16\times6=96\pi\ \text{cm}^3$ . La valeur $24\pi$ vient probablement de $\pi\times4\times6$ : le rayon n'a pas été élevé au carré. Avec $\pi\approx3{,}14$ , $96\pi\approx301{,}44$ , mais l'unité correcte est $\text{cm}^3$ , pas $\text{cm}^2$ . La troisième valeur numérique est donc bonne et son unité fausse.