Sommes de variables aléatoires Terminale

Additionner des variables aléatoires permet de décrire un gain total, une production cumulée ou le nombre de succès de plusieurs expériences. L'intérêt majeur est de calculer l'espérance sans construire toute la loi de la somme.

La variance exige davantage de prudence : l'indépendance garantit l'additivité des variances, mais on ne dispose pas de cette garantie pour des variables quelconques. Confondre cette condition suffisante avec la linéarité toujours valable de l'espérance produit des conclusions fausses sur la dispersion.

Table des Matières

Définir une opération entre variables

Somme et transformation affine

Pour chaque issue $\omega$ , la variable $X+Y$ associe $X(\omega)+Y(\omega)$ . La variable $aX+b$ transforme de même chaque valeur prise par X.

Pour trouver la loi complète de X+Y, on regroupe toutes les issues qui donnent la même somme. Lorsque les variables sont indépendantes et finies, on peut utiliser un tableau à double entrée : chaque case contient une somme et le produit des probabilités correspondantes.

Calculer une espérance sans établir la loi

Linéarité de l’espérance

Pour des variables aléatoires X et Y possédant une espérance et des réels a, b, $E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)$ . L'indépendance n'est pas nécessaire.

E(X_1+\cdots+X_n)=E(X_1)+\cdots+E(X_n)

Cette propriété est particulièrement puissante pour compter. Si X est le nombre total de réussites, on peut écrire X comme somme d'indicatrices valant 1 ou 0. L'espérance totale est alors la somme des probabilités de réussite, même lorsque calculer la loi de X serait long.

Transformer variance et écart-type

Effet d’une transformation affine

Pour tous réels a et b, $V(aX+b)=a^2V(X)$ . Ajouter une constante déplace les valeurs sans changer leur dispersion.

L'écart-type est multiplié par la valeur absolue de a. Le carré dans la variance est cohérent avec son unité : si X est mesuré en euros, la variance est en euros carrés, tandis que l'écart-type revient en euros.

Variable	Espérance	Variance
$X+b$	$E(X)+b$	$V(X)$
$aX$	$aE(X)$	$a^2V(X)$
$X+Y$ , indépendantes	$E(X)+E(Y)$	$V(X)+V(Y)$

Ajouter les variances sous indépendance

Variance d’une somme indépendante

Si X et Y sont indépendantes, alors $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ . La propriété s'étend à une somme finie de variables mutuellement indépendantes.

Sans indépendance, les écarts peuvent se renforcer ou se compenser et la formule n'est plus garantie. L'espérance de la somme reste pourtant additive. Il faut donc écrire explicitement quelle propriété utilise l'indépendance au lieu de placer cette hypothèse au hasard dans la rédaction.

Somme de variables et dispersion — Les espérances s'ajoutent toujours ; les variances s'ajoutent ici grâce à l'indépendance.

Exemple : gain cumulé

Un jeu indépendant est répété 20 fois. Le gain Xi de la partie i a une espérance de -0,40 euro et une variance de 3,2 euros carrés. Pour $S=X_1+\cdots+X_{20}$ , la linéarité donne $E(S)=20\times(-0,40)=-8$ euros. L'indépendance donne $V(S)=20\times3,2=64$ , donc l'écart-type vaut 8 euros. Le gain moyen négatif n'interdit pas un gain ponctuel positif.

Choisir le calcul utile

Définir la variable totale comme somme de contributions identifiables.
Calculer chaque espérance et utiliser la linéarité.
Pour la variance, vérifier l'indépendance avant d'additionner.
Revenir à l'unité et au sens du résultat.

Erreur fréquente : écrire $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ sans hypothèse d'indépendance.

Contrôle utile : tester la formule sur le cas $Y=X$ : les variables ne sont pas indépendantes et $V(2X)=4V(X)$ , pas $2V(X)$ .

Les indicateurs de base sont repris dans l'espérance et la variance en Première. Une variable binomiale est une somme dans la loi binomiale. La variance calculée sera utilisée dans les inégalités de concentration.

Les propriétés de sommes et d'indépendance sont définies par le programme officiel de Terminale, spécialité mathématiques.