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SecondeSérie d’exercices
Ensembles de nombres 2de : exercices corrigés PDF
Le cours sur les nombres réels et les intervalles pose les définitions. Cette fiche demande de les utiliser : classer, prouver, écrire des intervalles et encadrer un réel.
Sommaire
Classer un nombre et le justifier
| Nombre | Écriture | ℕ | ℤ | 𝔻 | ℚ | ℝ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| a | −18/6 | ☐ | ☐ | ☐ | ☐ | ☐ |
| b | √0,09 | ☐ | ☐ | ☐ | ☐ | ☐ |
| c | 7/8 | ☐ | ☐ | ☐ | ☐ | ☐ |
| d | 5/12 | ☐ | ☐ | ☐ | ☐ | ☐ |
| e | √50 / √2 | ☐ | ☐ | ☐ | ☐ | ☐ |
| f | 2π | ☐ | ☐ | ☐ | ☐ | ☐ |
| g | 1 + √2 | ☐ | ☐ | ☐ | ☐ | ☐ |
Exercice 1Cocher les bons ensembles
CorrigéAvant de classer un nombre, il faut souvent le simplifier. Le tableau ci-dessus donne les sept nombres à classer.
Simplifier chaque nombre ou donner son écriture décimale, lorsque c’est possible.
Cocher tous les ensembles auxquels il appartient.
Pourquoi une croix pour ℤ entraîne-t-elle des croix pour 𝔻, ℚ et ℝ ?
Exercice 2Écrire sur une puissance de dix
CorrigéUn nombre décimal s’écrit a/10ⁿ avec a entier relatif et n entier naturel.
Écrire sous cette forme : −2,4 ; 1,05 ; 3/8 ; 7/40.
Simplifier , puis montrer que ce nombre est décimal.
Un élève affirme que n’est pas décimal, car le facteur 7 apparaît au dénominateur. Corriger son raisonnement.
Exercice 3Prouver qu’un tiers n’est pas décimal
CorrigéOn raisonne par l’absurde : on suppose que 1/3 = a/10ⁿ, avec a entier relatif et n entier naturel.
Montrer que 3a = 10ⁿ.
Quelle est la somme des chiffres de 10ⁿ ? En déduire que 10ⁿ n’est pas un multiple de 3.
Conclure.
Adapter la preuve pour montrer que n’est pas décimal.
Exercice 4Prouver que √2 n’est pas rationnel
CorrigéOn admet que tout rationnel s’écrit sous forme de fraction irréductible.
Soit n un entier impair, n = 2k + 1 avec k entier. Développer n² et montrer que n² est impair. En déduire que si n² est pair, alors n est pair.
On suppose que , fraction irréductible avec p et q entiers naturels non nuls. Montrer que p² = 2q², puis que p est pair.
On écrit p = 2r avec r entier naturel. Montrer que q² = 2r², puis conclure.
En déduire que 3 + √2 est irrationnel.
Exercice 5Vrai ou faux, avec justification
CorrigéDire si chaque affirmation est vraie ou fausse. Justifier par une preuve courte ou par un contre-exemple.
La somme de deux nombres décimaux est un nombre décimal.
L’inverse d’un nombre décimal non nul est un nombre décimal.
Le produit de deux irrationnels est irrationnel.
La somme d’un rationnel et d’un irrationnel est irrationnelle.
Exercice 6Retrouver la fraction d’une écriture périodique
CorrigéApprofondissement. Une écriture décimale dont un bloc de chiffres se répète sans fin cache une fraction.
On pose x = 0,272727… Calculer 100x − x, puis écrire x sous forme de fraction irréductible.
On pose y = 1,2333… Calculer 100y − 10y, puis écrire y sous forme de fraction irréductible.
On pose z = 0,999… Calculer 10z − z. Que peut-on conclure ?
Passer aux intervalles
Exercice 7Lire trois ensembles sur une droite
CorrigéLe schéma ci-dessus représente trois ensembles de réels A, B et C.
Écrire A, B et C sous forme d’intervalles.
Traduire chacun par une inégalité.
Les nombres −1, 1 et 3 appartiennent-ils à A ? à B ? à C ?
Déterminer A∩ B, A∩ C, B∩ C et A∪ C.
Exercice 8« Et », « ou » et complémentaire
CorrigéLe mot « et » conduit à une intersection, le mot « ou » à une réunion.
Déterminer l’ensemble des réels x tels que et 2x ⩾ −6.
Écrire l’ensemble des réels x tels que ou x ⩾ 5. Expliquer pourquoi ce n’est pas un intervalle.
Déterminer le complémentaire dans ℝ de l’ensemble de la question 2.
Déterminer le complémentaire dans ℝ de [−1 3[.
Exercice 9Une mesure arrondie
CorrigéLes dimensions d’un terrain rectangulaire sont arrondies au décimètre : on lit L = 24,6 m et ℓ = 13,2 m.
Justifier que L ∈ [24,55 24,65[, puis donner l’intervalle de ℓ.
Encadrer le périmètre P du terrain.
Encadrer son aire S, puis calculer l’amplitude de cet encadrement.
Peut-on donner l’arrondi de l’aire au mètre carré ? Justifier.
Encadrer un réel
Exercice 10Balayage pour approcher √7
CorrigéUn programme Python part de x = 2 et ajoute 0,01 à x tant que le carré de x + 0,01 reste strictement inférieur à 7, puis il affiche x.
Calculer 2,64² et 2,65². En déduire un encadrement de √7 d’amplitude 0,01.
Quelle valeur le programme affiche-t-il, aux erreurs d’arrondi près ?
Quelle modification du programme donne un encadrement d’amplitude 0,001 ? Écrire cet encadrement.
Pourquoi l’égalité √7 = 2,65 est-elle fausse ?
Exercice 11Toujours un nombre entre deux
CorrigéOn considère a = 3/7 et b = 4/9.
Comparer a et b sans calculatrice.
Calculer et justifier que m est strictement entre a et b.
Donner un nombre décimal strictement compris entre a et b.
Expliquer pourquoi il existe toujours un rationnel strictement compris entre deux rationnels distincts.
Corrigés détaillés
Corrigé 1Cocher les bons ensembles
Revoir l’exercicea = −3, b = 0,3, c = 0,875 et , avec les règles sur les racines carrées. Les nombres d, f et g ne se simplifient pas.
a : ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ. Puis b et c : 𝔻, ℚ, ℝ. Pour d : ℚ, ℝ ; si , alors 5 × 10ⁿ = 12a serait multiple de 3, or la somme de ses chiffres vaut 5. Pour e : les cinq ensembles. Pour f et g : ℝ seulement. On admet que π est irrationnel, donc 2π aussi, et l’exercice 5, question 4, règle le cas de g.
Les ensembles sont emboîtés : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Un nombre d’un ensemble appartient donc à tous les suivants.
Corrigé 2Écrire sur une puissance de dix
Revoir l’exercice−2,4 = −24/10 ; 1,05 = 105/100 ; 3/8 = 375/1000 ; 7/40 = 175/1000.
: ce nombre est décimal.
Il faut d’abord rendre la fraction irréductible. Le facteur 7 est aussi au numérateur et disparaît : seul le dénominateur de la forme irréductible permet de conclure.
Corrigé 3Prouver qu’un tiers n’est pas décimal
Revoir l’exerciceEn multipliant par 3 × 10ⁿ les deux membres de l’égalité, on obtient 10ⁿ = 3a.
10ⁿ s’écrit avec un 1 suivi de n zéros : la somme de ses chiffres vaut 1. Elle n’est pas multiple de 3, donc 10ⁿ non plus.
3a est un multiple de 3, or il est égal à 10ⁿ qui n’en est pas un. C’est une contradiction : n’est pas décimal.
Si , alors 3a = 2 × 10ⁿ. Ce nombre s’écrit 2 suivi de zéros : la somme de ses chiffres vaut 2, il n’est pas multiple de 3. Même contradiction.
Corrigé 4Prouver que √2 n’est pas rationnel
Revoir l’exercicen² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1 est impair. Par contraposée, si n² est pair, n n’est pas impair : il est pair.
En élevant au carré, , donc p² = 2q². Ainsi p² est pair, donc p aussi d’après la question 1.
4r² = 2q² donne q² = 2r² : q² est pair, donc q aussi. Alors p et q sont tous deux divisibles par 2, ce qui contredit l’irréductibilité. Donc √2 n’est pas rationnel.
Si 3 + √2 = s était rationnel, alors √2 = s − 3 serait une différence de rationnels, donc rationnel. C’est faux : 3 + √2 est irrationnel.
Corrigé 5Vrai ou faux, avec justification
Revoir l’exerciceVrai. Avec n⩽ m, est de la forme attendue.
Faux. 3 est décimal, mais son inverse ne l’est pas (exercice 3).
Faux. √2 est irrationnel, mais √2 × √2 = 2 est entier.
Vrai. Soit r rationnel et x irrationnel. Si r + x = s était rationnel, x = s − r le serait aussi : contradiction.
Corrigé 6Retrouver la fraction d’une écriture périodique
Revoir l’exercice100x − x = 27,2727…−0,2727…=27, donc 99x = 27 et .
100y = 123,33… et 10y = 12,33… ont la même partie décimale. Donc 90y = 111 et .
10z − z = 9,99…−0,99…=9, donc 9z = 9 et z = 1. Les écritures 0,999… et 1 désignent le même réel.
Corrigé 7Lire trois ensembles sur une droite
Revoir l’exerciceA = [−2 3[, B = ]1 +∞[ et C = ]−∞ −1].
Pour A : . Pour C : x ⩽ −1.
−1 appartient à A et C, pas à B. Le nombre 1 appartient à A seulement, car le crochet de B l’exclut. Le nombre 3 appartient à B seulement.
A∩ B = ]1 3[ ; A∩ C = [−2 −1] ; B∩ C = ∅ ; A∪ C = ]−∞ 3[.
Corrigé 8« Et », « ou » et complémentaire
Revoir l’exerciceLes conditions donnent et x ⩾ −3, soit x ∈ [−3 3[.
C’est ]−∞ −2[∪[5 +∞[. Il contient −3 et 6, mais pas 0 qui est entre les deux : ce n’est pas un intervalle.
[−2 5[ : ce sont les réels qui ne vérifient ni ni x ⩾ 5.
]−∞ −1[∪[3 +∞[. Le crochet change de sens : −1 et 3 changent de côté.
Corrigé 9Une mesure arrondie
Revoir l’exerciceLes nombres qui s’arrondissent à 24,6 au dixième sont ceux de [24,55 24,65[. De même ℓ ∈ [13,15 13,25[.
, car 2 × (24,55 + 13,15) = 75,4 et 2 × (24,65 + 13,25) = 75,8, en mètres.
en m², car les longueurs sont positives. L’amplitude vaut 3,78 m².
Non. L’aire peut s’arrondir à 323 m² comme à 327 m² : les mesures ne permettent pas de choisir. On peut dire que l’aire vaut 325 m² à 2,2 m² près.
Corrigé 10Balayage pour approcher √7
Revoir l’exercice2,64² = 6,9696 et 2,65² = 7,0225, donc .
Environ 2,64 : c’est le plus grand nombre du balayage dont le carré reste sous 7. Python peut afficher quelques décimales parasites.
Remplacer les deux 0.01 par 0.001. On obtient , car 2,645² = 6,996025 et 2,646² = 7,001316.
2,65² = 7,0225 n’est pas égal à 7 : 2,65 n’est qu’une valeur approchée.
Corrigé 11Toujours un nombre entre deux
Revoir l’exerciceAu même dénominateur, a = 27/63 et b = 28/63, donc .
m = 1/2(27/63 + 28/63) = 55/126. Comme a = 54/126 et b = 56/126, on a .
0,43 convient, car .
Si sont rationnels, leur moyenne (a + b)/2 est rationnelle et se trouve strictement entre eux, car elle est à égale distance des deux.
Le cours sur les nombres réels et les intervalles et la synthèse sur les ensembles de nombres rappellent les notations. Les exercices corrigés en ligne proposent d’autres situations.