Nombres réels et intervalles Seconde : 7 exercices corrigés

Ces sept exercices corrigés travaillent les compétences attendues en Seconde : classer un réel, passer d'une inégalité à un intervalle, calculer une intersection ou une réunion et encadrer un irrationnel. Les données changent d'un exercice à l'autre et chaque corrigé répond dans l'ordre aux questions posées.

Les notations utiles sont rappelées dans le cours sur les nombres réels et les intervalles en Seconde. Pour revoir plus largement les inclusions, la page sur les ensembles N, Z, D, Q et R complète cette série.

Reconnaître la nature d’un nombre

Exercice 1 : choisir le plus petit ensemble

Facile

On considère −6-6, 0,1250{,}125, 720\frac{7}{20}, 23\frac23, 49\sqrt{49} et 3\sqrt3.

  1. Donner pour chaque nombre le plus petit ensemble parmi N, Z, D, Q et R.
  2. Justifier le classement de 23\frac23 et de 3\sqrt3.
Indication
Simplifier d'abord les écritures, puis parcourir les ensembles du plus petit au plus grand.
Voir le corrigé

1. Les plus petits ensembles sont, dans l'ordre : Z, D, D, Q, N et R.

2. La fraction 23\frac23 est rationnelle, mais son écriture décimale 0,666…0{,}666\ldots n'est pas finie, donc 23∉D\frac23\notin\mathbb D. Le nombre 3\sqrt3 est irrationnel, donc 3∈R∖Q\sqrt3\in\mathbb R\setminus\mathbb Q.

Exercice 2 : réfuter une affirmation sur les fractions

Moyen

Un élève affirme : « Toute fraction est un nombre décimal, car la calculatrice affiche un quotient avec des chiffres après la virgule. »

  1. Donner un contre-exemple.
  2. Expliquer la différence entre un affichage approché et une écriture décimale finie.
  3. Classer 1540\frac{15}{40} et 116\frac{11}{6} dans le plus petit ensemble possible.
Indication
Comparer les écritures décimales de 13\frac13 et de 38\frac38.
Voir le corrigé

1. 13\frac13 est un contre-exemple : son écriture 0,333…0{,}333\ldots ne se termine pas.

2. Un nombre décimal possède une écriture finie. La calculatrice tronque ou arrondit un quotient lorsqu'elle ne peut pas afficher tous ses chiffres.

3. 1540=38=0,375\frac{15}{40}=\frac38=0{,}375, donc son plus petit ensemble est D. La fraction 116\frac{11}{6} est rationnelle mais non décimale, donc son plus petit ensemble est Q.

Passer des inégalités aux intervalles

Exercice 3 : quatre changements d’écriture

Facile
  1. Écrire sous forme d'intervalle : −3≤x<4-3\le x<4.
  2. Écrire sous forme d'intervalle : x>2x>2.
  3. Écrire avec une inégalité : x∈]−∞;5]x\in]-\infty;5].
  4. Écrire avec une double inégalité : x∈]−1;7[x\in]-1;7[.
Indication
Le signe égal ferme la borne. L'infini est toujours du côté d'un crochet ouvert.
Voir le corrigé
  1. x∈[−3;4[x\in[-3;4[.
  2. x∈]2;+∞[x\in]2;+\infty[.
  3. x≤5x\le5.
  4. −1<x<7-1<x<7.

Exercice 4 : intersection et réunion

Moyen

Soient I=[−4;3[I=[-4;3[ et J=]−1;6]J=]-1;6].

  1. Déterminer I∩JI\cap J.
  2. Déterminer I∪JI\cup J.
  3. Préciser si −1-1, 33 et 66 appartiennent à chacun des deux résultats.
Indication
Tracer les deux intervalles sur la même droite et vérifier séparément chaque borne.
Voir le corrigé

1. La partie commune est I∩J=]−1;3[I\cap J=]-1;3[.

2. Les deux intervalles se recouvrent, donc I∪J=[−4;6]I\cup J=[-4;6].

3. Aucun des trois nombres n'appartient à l'intersection. En revanche, −1-1, 33 et 66 appartiennent tous à la réunion.

Exercice 5 : corriger un crochet

Moyen

Pour traduire x≤4x\le4, un élève écrit x∈]−∞;4[x\in]-\infty;4[.

  1. Identifier précisément l'erreur.
  2. Écrire l'intervalle correct.
  3. Donner une valeur qui permet de distinguer les deux écritures.
Indication
Tester la borne 44 dans l'inégalité puis dans l'intervalle proposé.
Voir le corrigé

1. Le signe ≤\le autorise l'égalité, mais le crochet ouvert exclut 44.

2. L'écriture correcte est x∈]−∞;4]x\in]-\infty;4].

3. La valeur x=4x=4 vérifie x≤4x\le4, mais n'appartient pas à ]−∞;4[]-\infty;4[. Elle révèle immédiatement l'erreur.

Encadrer et modéliser

Exercice 6 : encadrer racine carrée de 2

Difficile

On sait que 1,4<2<1,51{,}4<\sqrt2<1{,}5.

  1. Calculer 1,4121{,}41^2 et 1,4221{,}42^2.
  2. En déduire un encadrement de 2\sqrt2 d'amplitude 0,010{,}01.
  3. Donner l'intervalle qui contient 2\sqrt2.
  4. Expliquer pourquoi l'écriture 2=1,41\sqrt2=1{,}41 serait fausse.
Indication
Sur les réels positifs, comparer les carrés permet de comparer les nombres.
Voir le corrigé

1. 1,412=1,98811{,}41^2=1{,}9881 et 1,422=2,01641{,}42^2=2{,}0164.

2. Comme 1,9881<2<2,01641{,}9881<2<2{,}0164, on a 1,41<2<1,421{,}41<\sqrt2<1{,}42. L'amplitude est 1,42−1,41=0,011{,}42-1{,}41=0{,}01.

3. 2∈]1,41;1,42[\sqrt2\in]1{,}41;1{,}42[.

4. 1,411{,}41 est une valeur approchée par défaut. Son carré n'est pas égal à 22, donc elle ne peut pas être la valeur exacte de 2\sqrt2.

Exercice 7 : plage de fonctionnement d’un appareil

Difficile

Un appareil fonctionne lorsque sa température tt, en degrés Celsius, est au moins égale à −12-12, mais strictement inférieure à 4545.

  1. Écrire la double inégalité vérifiée par tt.
  2. Donner l'intervalle correspondant.
  3. Tester −12-12, 44,944{,}9 et 4545.
  4. Après une modification, la limite haute devient 5050 inclus. Écrire le nouvel intervalle.
Indication
Les expressions « au moins » et « strictement inférieure » déterminent les deux crochets.
Voir le corrigé

1. La contrainte est −12≤t<45-12\le t<45.

2. Elle s'écrit t∈[−12;45[t\in[-12;45[.

3. −12-12 et 44,944{,}9 sont admis. 4545 est exclu.

4. La nouvelle plage est t∈[−12;50]t\in[-12;50], car les deux limites sont alors admises.

Partager