Ces exercices corrigés de Nombres réels et intervalles en Seconde suivent une progression réelle : automatismes, choix de méthode, diagnostic d’erreur, justification et problème de synthèse. Chaque indication aide à démarrer sans révéler immédiatement la solution.
Avant la série, le cours de Nombres réels et intervalles permet de revoir les propriétés utiles. Les exercices mobilisent aussi les ensembles de nombres lorsque cette notion intervient naturellement dans le raisonnement.
Automatismes et repères sur Nombres réels et intervalles
Cette première partie vérifie les écritures, les conditions d’emploi et les calculs qui doivent devenir fiables avant une synthèse.
Exercice 1 : Classer six écritures sans les confondre
Facile
On considère \(-5\), \(0{,}125\), \(7/20\), \(2/3\), \(\sqrt{49}\) et \(\sqrt{3}\).
- Donner le plus petit ensemble parmi N, Z, D, Q et R contenant chaque nombre.
- Justifier les cas de \(2/3\) et \(\sqrt{3}\).
Indication
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On obtient respectivement Z, D, D, Q, N et R. En effet \(7/20=0{,}35\), tandis que \(2/3\) n’a pas d’écriture décimale finie. Enfin \(\sqrt{3}\) est irrationnel.
Contrôle : remplacer mentalement chaque crochet par le signe inférieur approprié, puis vérifier quelques valeurs à l’intérieur et sur les bornes.
Exercice 2 : Débusquer une erreur sur Nombres réels et intervalles
Moyen
Un raisonnement conduit à l’affirmation suivante : ne pas classer un nombre d’après son apparence. Une fraction peut être décimale après simplification, tandis qu’une valeur affichée par la calculatrice peut seulement être un arrondi d’un irrationnel.
- Repérer précisément l’étape ou l’interprétation incorrecte.
- Énoncer la propriété correcte avec ses conditions.
- Proposer un exemple ou un contre-exemple simple.
- Indiquer comment contrôler la nouvelle conclusion.
Indication
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L’affirmation n’est pas recevable telle quelle. Un intervalle rassemble tous les réels compris entre des bornes. Une borne est incluse avec un crochet fermé et exclue avec un crochet ouvert. Les symboles moins l’infini et plus l’infini ne sont jamais des nombres et sont toujours accompagnés d’un crochet ouvert.
Un contrôle adapté consiste à remplacer mentalement chaque crochet par le signe inférieur approprié, puis vérifier quelques valeurs à l’intérieur et sur les bornes.
Exercice 3 : Justifier équivalence entre double inégalité et intervalle
Difficile
On veut établir la relation suivante sans se limiter à une vérification numérique : \[ x\in[-2;5[\quad\Longleftrightarrow\quad -2\leq x<5. \]
- Rédiger une justification complète en citant les hypothèses utilisées.
Indication
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Une droite graduée fixe une origine, une unité et un sens. Toute abscisse détermine alors une position unique, et toute position possède une seule abscisse. Cette correspondance permet d’interpréter l’ordre : le plus petit réel est placé à gauche du plus grand.
La relation obtenue est donc valable dans les conditions annoncées, et pas seulement pour l’exemple du cours.
Méthodes de résolution en Seconde
Les exercices suivants demandent de choisir une démarche, de détailler les transformations et de contrôler le résultat par une seconde lecture.
Exercice 4 : Intersections et réunions sur la droite
Moyen
Soient \(I=[-4;3[\) et \(J=]-1;6]\).
- Déterminer \(I\cap J\).
- Déterminer \(I\cup J\).
- Tester l’appartenance de \(-1\), \(3\) et \(6\) aux deux résultats.
Indication
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La partie commune est \(I\cap J=]-1;3[\). Les deux intervalles se recouvrent sans trou, donc \(I\cup J=[-4;6]\). Le nombre \(-1\) appartient seulement à la réunion, \(3\) aussi, et \(6\) appartient à la réunion.
Contrôle : remplacer mentalement chaque crochet par le signe inférieur approprié, puis vérifier quelques valeurs à l’intérieur et sur les bornes.
Exercice 5 : Lire une représentation de Nombres réels et intervalles
Moyen
Colorier les intervalles avant de calculer leur intersection évite de mélanger les connecteurs. Une intersection conserve la partie commune aux deux coloriages. Une réunion conserve tout ce qui appartient à l’un au moins des intervalles et peut produire deux morceaux disjoints.
- Nommer les objets ou grandeurs représentés.
- Traduire une information graphique en écriture mathématique.
- Retrouver une information par le calcul.
- Signaler une lecture impossible sans donnée supplémentaire.
- Comparer les deux modes de contrôle.
Indication
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Colorier les intervalles avant de calculer leur intersection évite de mélanger les connecteurs. Une intersection conserve la partie commune aux deux coloriages. Une réunion conserve tout ce qui appartient à l’un au moins des intervalles et peut produire deux morceaux disjoints.
La comparaison doit conserver les unités, le domaine et le sens des grandeurs. Toute conclusion graphique est contrôlée par remplacer mentalement chaque crochet par le signe inférieur approprié, puis vérifier quelques valeurs à l’intérieur et sur les bornes.
Exercice 6 : Modéliser une application de Nombres réels et intervalles
Difficile
Les intervalles servent à annoncer les solutions d’une inéquation et à préciser où une fonction est définie. Ils interviennent aussi dans les encadrements et dans la lecture d’un tableau de variations. Le même symbole doit donc garder un sens ensembliste précis d’un chapitre à l’autre.
- Choisir une variable et préciser son domaine.
- Écrire la relation mathématique adaptée.
- Interpréter le résultat dans le contexte et vérifier sa vraisemblance.
Indication
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Les intervalles servent à annoncer les solutions d’une inéquation et à préciser où une fonction est définie. Ils interviennent aussi dans les encadrements et dans la lecture d’un tableau de variations. Le même symbole doit donc garder un sens ensembliste précis d’un chapitre à l’autre.
La rédaction doit séparer le modèle, le calcul et l’interprétation. Pour finir, il faut remplacer mentalement chaque crochet par le signe inférieur approprié, puis vérifier quelques valeurs à l’intérieur et sur les bornes.
Problèmes et raisonnements autour de Nombres réels et intervalles
La dernière partie combine calcul, justification et interprétation. Une réponse numérique sans explication n’y constitue pas une solution complète.
Exercice 7 : Traduire une contrainte de température
Difficile
Un appareil fonctionne lorsque la température \(t\) est au moins égale à \(-12\ ^\circ\mathrm C\), mais strictement inférieure à \(45\ ^\circ\mathrm C\).
- Écrire la double inégalité.
- Donner l’intervalle correspondant.
- Décider si les températures \(-12\), \(44{,}9\) et \(45\) sont admises.
- Représenter l’ensemble sur une droite graduée.
Indication
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La contrainte est \(-12\leq t<45\), soit \(t\in[-12;45[\). Les deux premières valeurs sont admises, mais \(45\) est exclue. Sur la droite, le point \(-12\) est plein et le point \(45\) est vide.
Contrôle : remplacer mentalement chaque crochet par le signe inférieur approprié, puis vérifier quelques valeurs à l’intérieur et sur les bornes.