Variations et extrema Seconde : 6 exercices corrigés

Un tableau de variations permet de comparer et d'encadrer, mais pas d'inventer une valeur exacte. Cette distinction guide les exercices sur les extrema locaux, le domaine de comparaison et l'optimisation d'une aire sous contrainte.

Les définitions et méthodes utilisées sont réunies dans le cours de Variations et extrema. Les méthodes détaillées figurent dans la construction d'un tableau de variations.

Bases de Variations et extrema : Lire un tableau de variations

Exercice 1 : Lire un tableau de variations

Facile

Sur [−3;5][-3;5], f croît de −3-3 à 1 avec f(−3)=−4f(-3)=-4, f(1)=6f(1)=6, puis décroît jusqu'à f(5)=−2f(5)=-2.

  1. Donner le maximum.
  2. Comparer f(0)f(0) et f(1)f(1).
  3. Encadrer f(3)f(3).
Indication
Une variation donne un ordre ou un encadrement, pas toujours une valeur exacte.
Voir le corrigé
  1. Le maximum de f sur [−3;5][-3;5] est 6, atteint pour x=1x=1.
  2. Comme f est croissante sur [−3;1][-3;1], f(0)≤f(1)=6f(0)\leq f(1)=6.
  3. Sur [1;5][1;5], f décroît de 6 à −2-2. Ainsi −2≤f(3)≤6-2\leq f(3)\leq6.

Exercice 2 : Extremum d’une forme canonique

Moyen

On considère f(x)=−2(x−3)2+7f(x)=-2(x-3)^2+7.

  1. Déterminer l'extremum.
  2. Donner l'abscisse où il est atteint.
  3. Résoudre f(x)=7f(x)=7.
Indication
Un carré est positif ou nul et son coefficient est négatif.
Voir le corrigé
  1. Puisque (x−3)2≥0(x-3)^2\geq0, −2(x−3)2≤0-2(x-3)^2\leq0. L'extremum est donc le maximum 7.
  2. Ce maximum est atteint lorsque (x−3)2=0(x-3)^2=0, c'est-à-dire pour x=3x=3.
  3. f(x)=7f(x)=7 équivaut à (x−3)2=0(x-3)^2=0. L'unique solution est x=3x=3.

Choisir une méthode : Distinguer maximum local et maximum sur le domaine

Exercice 3 : Distinguer maximum local et maximum sur le domaine

Difficile

La fonction g(x)=x3−3xg(x)=x^3-3x admet en x=−1x=-1 un maximum sur un voisinage de −1-1. On étudie la portée exacte de cette affirmation.

  1. Calculer g(−1)g(-1) et g(3)g(3).
  2. Expliquer pourquoi le maximum local en −1-1 n'est pas un maximum sur tout le domaine.
Indication
Un maximum local ne compare les valeurs que dans un intervalle autour du point considéré.
Voir le corrigé
  1. On trouve g(−1)=2g(-1)=2 et g(3)=18g(3)=18.
  2. La valeur 2 peut dominer les images assez proches de −1-1, mais elle ne domine pas toutes les images de gg sur R\mathbb R, puisque g(3)=18>2g(3)=18\gt 2. Il faut toujours préciser le domaine d'un extremum.

Exercice 4 : Optimiser une aire

Difficile

Un rectangle a un périmètre de 40 cm. Sa longueur vaut xx cm.

  1. Exprimer sa largeur.
  2. Écrire l'aire A(x)A(x) et son domaine.
  3. Mettre AA sous forme canonique.
  4. Déterminer l'aire maximale et les dimensions.
Indication
La somme longueur plus largeur vaut 20.
Voir le corrigé
  1. Le demi-périmètre vaut 20, donc la largeur est 20−x20-x cm.
  2. A(x)=x(20−x)A(x)=x(20-x), avec 0<x<200\lt x\lt 20 pour un rectangle non dégénéré.
  3. A(x)=−x2+20x=−(x−10)2+100A(x)=-x^2+20x=-(x-10)^2+100.
  4. L'aire maximale est 100 cm2100\ \mathrm{cm}^2, atteinte pour x=10x=10. Le rectangle optimal est un carré de 10 cm de côté.

Approfondir Variations et extrema : Comparer des images sans connaître la formule

Exercice 5 : Optimiser l’aire d’un rectangle sous une contrainte

Moyen

Un rectangle a un périmètre de 20 cm. Si un côté vaut xx, l'autre vaut 10−x10-x et l'aire est A(x)=x(10−x)A(x)=x(10-x) pour x∈[0;10]x\in[0;10].

  1. Préciser le domaine physique et mettre l'aire sous forme canonique.
  2. Démontrer la valeur du maximum et préciser où il est atteint.
  3. Donner les dimensions du rectangle optimal.
Indication
Écrire le domaine et placer les bornes dans l'ordre croissant.
Voir le corrigé
  1. Le domaine physique est [0;10][0;10]. A(x)=−x2+10x=25−(x−5)2A(x)=-x^2+10x=25-(x-5)^2.
  2. Le carré est positif ou nul, donc A(x)≤25A(x)\leq25. Le maximum 25 est atteint pour x=5x=5.
  3. Le rectangle d'aire maximale est le carré de côté 5 cm.

Exercice 6 : Comparer des images sans connaître la formule

Moyen

Une fonction f est décroissante sur [−4;1][-4;1], puis croissante sur [1;6][1;6]. On sait f(−4)=5f(-4)=5, f(1)=−3f(1)=-3 et f(6)=4f(6)=4.

  1. Comparer f(−2)f(-2) et f(0)f(0).
  2. Encadrer f(3)f(3).
  3. Donner le minimum sur le domaine.
Indication
Vérifier pour chaque question l'intervalle de monotonie utilisé.
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  1. Comme −2<0-2\lt 0 sur un intervalle décroissant, f(−2)≥f(0)f(-2)\geq f(0).
  2. Sur [1;6][1;6], f croît de −3-3 à 4, donc −3≤f(3)≤4-3\leq f(3)\leq4.
  3. Le minimum vaut −3-3, atteint en x=1x=1.
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