Formules d’Euler et de Moivre Terminale : 8 exercices corrigés

Le cours de Formules d'Euler et de Moivre permet d'articuler les formules d'Euler et la formule de Moivre sans apprendre des identités isolées.

La série alterne identité trigonométrique, linéarisation trigonométrique, puissance complexe et somme géométrique complexe, avec une justification à chaque transformation.

Transformer des expressions

Relier exponentielles et lignes trigonométriques.

Exercice 1 : Retrouver Euler

Facile

On part de eix=cos⁡x+isin⁡xe^{ix}=\cos x+i\sin x.

  1. Écrire e−ixe^{-ix}.
  2. En déduire les expressions de cos x et sin x.
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  1. Par conjugaison, e−ix=cos⁡x−isin⁡xe^{-ix}=\cos x-i\sin x.
  2. cos⁡x=(eix+e−ix)/2\cos x=(e^{ix}+e^{-ix})/2 et sin⁡x=(eix−e−ix)/(2i)\sin x=(e^{ix}-e^{-ix})/(2i).

Exercice 2 : Formules de duplication

Moyen

Développer (cos⁡x+isin⁡x)2(\cos x+i\sin x)^2.

  1. Identifier la partie réelle.
  2. Identifier la partie imaginaire.
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  1. Moivre donne cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x\cos2x=\cos^2x-\sin^2x.
  2. On obtient sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin2x=2\sin x\cos x.

Exercice 3 : Linéariser un cube

Moyen

Linéariser cos⁡3x\cos^3x.

  1. Utiliser la formule de l'angle triple.
  2. Isoler cos⁡3x\cos^3x.
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  1. cos⁡3x=4cos⁡3x−3cos⁡x\cos3x=4\cos^3x-3\cos x.
  2. cos⁡3x=(3cos⁡x+cos⁡3x)/4\cos^3x=(3\cos x+\cos3x)/4.

Exercice 4 : Linéariser une puissance paire

Difficile

Linéariser sin⁡4x\sin^4x.

  1. Écrire sin⁡2x\sin^2x avec cos 2x.
  2. Réduire le carré obtenu.
  3. Donner la forme linéarisée.
Indication
Appliquer deux fois la formule de réduction du carré.
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  1. sin⁡2x=(1−cos⁡2x)/2\sin^2x=(1-\cos2x)/2.
  2. sin⁡4x=(1−2cos⁡2x+cos⁡22x)/4\sin^4x=(1-2\cos2x+\cos^22x)/4.
  3. Avec cos⁡22x=(1+cos⁡4x)/2\cos^22x=(1+\cos4x)/2, sin⁡4x=(3−4cos⁡2x+cos⁡4x)/8\sin^4x=(3-4\cos2x+\cos4x)/8.

Puissances, sommes et équations

Choisir Moivre ou une somme géométrique.

Exercice 5 : Puissance d’un complexe unitaire

Facile

Calculer (cos⁡(π/7)+isin⁡(π/7))14(\cos(\pi/7)+i\sin(\pi/7))^{14}.

  1. Appliquer Moivre.
  2. Donner le résultat algébrique.
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  1. La puissance vaut cos⁡2π+isin⁡2π\cos2\pi+i\sin2\pi.
  2. Le résultat est 1.

Exercice 6 : Somme de racines

Moyen

On pose S=1+e2iπ/5+e4iπ/5+e6iπ/5+e8iπ/5S=1+e^{2i\pi/5}+e^{4i\pi/5}+e^{6i\pi/5}+e^{8i\pi/5}.

  1. Reconnaître une somme géométrique.
  2. Calculer S.
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  1. La raison est q=e2iπ/5q=e^{2i\pi/5}, avec q5=1q^5=1 et q≠1q\neq1.
  2. S=(1−q5)/(1−q)=0S=(1-q^5)/(1-q)=0.

Exercice 7 : Équation trigonométrique par Moivre

Moyen

Résoudre sur [0,2π[[0,2\pi[ l'équation cos⁡3x=1\cos3x=1.

  1. Résoudre la congruence sur 3x.
  2. Donner les solutions de l'intervalle.
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  1. 3x≡0(mod2π)3x\equiv0\pmod{2\pi}.
  2. x∈{0,2π/3,4π/3}x\in\{0,2\pi/3,4\pi/3\}.

Exercice 8 : Somme de cosinus

Difficile

Calculer C=∑k=06cos⁡(2kπ/7)C=\sum_{k=0}^{6}\cos(2k\pi/7).

  1. Introduire la somme complexe associée.
  2. Calculer S.
  3. En déduire C.
Indication
La partie réelle d'une somme complexe donne la somme des cosinus.
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  1. On pose S=∑k=06e2ikπ/7S=\sum_{k=0}^{6}e^{2ik\pi/7}.
  2. C'est une somme géométrique de raison différente de 1 et de puissance septième égale à 1, donc S=0S=0.
  3. C est la partie réelle de S, donc C=0C=0.
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