Diagonalisation d’une matrice : cours, méthode et exemples

Parmi toutes les techniques de l'algèbre linéaire, la diagonalisation d'une matrice occupe une place à part : elle transforme un objet a priori complexe en quelque chose d'une lisibilité parfaite ; une matrice où tout se passe sur la diagonale, et rien ailleurs. Comprendre ce processus, c'est débloquer d'un coup le calcul de puissances de matrices, la résolution de systèmes différentiels linéaires et même certaines techniques de l'analyse de données comme l'analyse en composantes principales (ACP).

Ce cours présente la diagonalisation de manière progressive : d'abord l'intuition géométrique, puis la théorie rigoureuse, enfin une méthode pas à pas illustrée sur un exemple complet. Que vous prépariez un examen de licence, une colle de CPGE ou que vous souhaitiez consolider vos bases, chaque notion est définie dès sa première apparition, et chaque piège classique est signalé au bon moment.

Table des Matières

Qu’est-ce que la diagonalisation d’une matrice ?

Avant d'entrer dans la mécanique, posons clairement l'objectif. Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls ; c'est la forme la plus simple que puisse avoir une matrice carrée. Diagonaliser une matrice $A$ , c'est répondre à la question : existe-t-il un changement de base dans lequel $A$ prend exactement cette forme simple ?

Définition formelle

Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ une matrice carrée d'ordre $n$ à coefficients dans un corps $\mathbb{K}$ (typiquement $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ ). On dit que $A$ est diagonalisable sur $\mathbb{K}$ s'il existe :

une matrice $P \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ inversible ; appelée matrice de passage ;
une matrice $D \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ diagonale

telles que :

A = P\,D\,P^{-1}

Autrement dit, $D = P^{-1}AP$ est la matrice diagonale semblable à $A$ . Deux matrices sont dites semblables lorsqu'elles représentent le même endomorphisme (la même transformation linéaire), mais exprimé dans deux bases différentes.

Les coefficients diagonaux de $D$ sont exactement les valeurs propres de $A$ , et les colonnes de $P$ sont les vecteurs propres associés, placés dans le même ordre que les valeurs propres correspondantes dans $D$ .

⚠️ Erreur fréquente : l'ordre des colonnes de $P$ doit correspondre exactement à l'ordre des valeurs propres dans $D$ . Si la $k$ -ième colonne de $P$ est un vecteur propre associé à $\lambda_k$ , alors $\lambda_k$ doit apparaître en position $(k,k)$ dans $D$ . Inverser cet ordre produit une décomposition fausse.

L’intuition géométrique : changer de lunettes pour simplifier la vue

La définition algébrique est précise, mais elle cache une image très parlante qu'il vaut mieux avoir en tête avant de calculer quoi que ce soit.

Imaginez une transformation linéaire $f$ de $\mathbb{R}^2$ dans lui-même : par exemple, un étirement d'un facteur 3 dans une direction et d'un facteur $-1$ (un retournement) dans une autre direction perpendiculaire. Si vous décrivez $f$ dans la base canonique $\{e_1, e_2\}$ , sa matrice contiendra des termes hors diagonale ; elle "mélange" les coordonnées. Mais si vous choisissez comme base ces deux directions d'étirement, la matrice de $f$ devient immédiatement :

D = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}

Diagonaliser, c'est donc trouver la bonne paire de lunettes ; la base dans laquelle la transformation se voit clairement comme un simple étirement (ou contraction) dans chaque direction. Ces directions privilégiées sont précisément les directions propres, et les facteurs d'étirement associés sont les valeurs propres.

Cette vision géométrique explique aussi pourquoi certaines matrices ne sont pas diagonalisables : il arrive qu'une transformation n'ait tout simplement pas assez de directions propres indépendantes pour former une base de l'espace entier. Dans ce cas, on parle de matrice défective.

Valeurs propres et vecteurs propres : les clés de la diagonalisation

Pour construire les matrices $P$ et $D$ , on a besoin des éléments propres de $A$ . Voici les définitions et la méthode de calcul, deux notions intimement liées.

Valeur propre et vecteur propre

Un scalaire $\lambda \in \mathbb{K}$ est une valeur propre de $A$ s'il existe un vecteur non nul $X \in \mathbb{K}^n$ tel que :

AX = \lambda X

Le vecteur $X$ est alors appelé vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $\lambda$ . Concrètement, cela signifie que la transformation $f$ associée à $A$ ne fait que "dilater" le vecteur $X$ d'un facteur $\lambda$ , sans en changer la direction (sauf si $\lambda < 0$ , auquel cas la direction est renversée).

⚠️ Erreur fréquente : le vecteur nul $X = 0$ vérifie $AX = \lambda X$ pour tout scalaire $\lambda$ . Par définition, il n'est donc jamais considéré comme un vecteur propre, même si l'équation est satisfaite.

Le polynôme caractéristique : trouver les valeurs propres

L'équation $AX = \lambda X$ s'écrit de façon équivalente $(A - \lambda I_n)X = 0$ , où $I_n$ désigne la matrice identité d'ordre $n$ (celle dont tous les termes diagonaux valent 1 et tous les autres valent 0). Ce système homogène admet une solution non nulle si et seulement si la matrice $(A - \lambda I_n)$ n'est pas inversible, c'est-à-dire si son déterminant est nul.

On définit ainsi le polynôme caractéristique de $A$ :

\chi_A(X) = \det(A - X\,I_n)

C'est un polynôme de degré $n$ en $X$ . Ses racines (dans $\mathbb{K}$ ) sont exactement les valeurs propres de $A$ . Pour une matrice $2 \times 2$ de la forme $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ , on obtient :

\chi_A(X) = X^2 - \underbrace{(a+d)}_{\text{trace de }A}\,X + \underbrace{(ad-bc)}_{\det(A)}

Le sous-espace propre associé à une valeur propre

Une fois une valeur propre $\lambda$ trouvée, l'ensemble de tous les vecteurs propres associés (plus le vecteur nul) forme un sous-espace vectoriel appelé sous-espace propre, noté $E_\lambda$ :

E_\lambda = \ker(A - \lambda I_n) = \{ X \in \mathbb{K}^n \mid AX = \lambda X \}

Concrètement, on trouve une base de $E_\lambda$ en résolvant le système linéaire homogène $(A - \lambda I_n)X = 0$ par la méthode du pivot de Gauss. Pour en savoir plus sur la résolution de tels systèmes, consultez notre cours sur les systèmes linéaires et la méthode du pivot de Gauss.

Quand une matrice est-elle diagonalisable ? Le critère fondamental

Avoir des valeurs propres ne suffit pas : il faut encore que l'espace soit "assez riche" en vecteurs propres. C'est ici qu'intervient la distinction cruciale entre deux notions de multiplicité.

Multiplicité algébrique et multiplicité géométrique

Pour une valeur propre $\lambda$ de $A$ :

La multiplicité algébrique $m_a(\lambda)$ est l'ordre de $\lambda$ en tant que racine du polynôme caractéristique $\chi_A$ . Si $\chi_A(X) = (X-2)^3(X+1)$ , alors $m_a(2) = 3$ et $m_a(-1) = 1$ .
La multiplicité géométrique $m_g(\lambda)$ est la dimension du sous-espace propre : $m_g(\lambda) = \dim E_\lambda = \dim\ker(A - \lambda I_n)$ .

On démontre toujours que $1 \leq m_g(\lambda) \leq m_a(\lambda)$ . La diagonalisabilité exige l'égalité :

Théorème : condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité

Une matrice $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est diagonalisable sur $\mathbb{K}$ si et seulement si les deux conditions suivantes sont simultanément satisfaites :

Le polynôme caractéristique $\chi_A$ est scindé sur $\mathbb{K}$ , c'est-à-dire que toutes ses racines appartiennent à $\mathbb{K}$ .
Pour chaque valeur propre $\lambda$ , la multiplicité géométrique est égale à la multiplicité algébrique : $m_g(\lambda) = m_a(\lambda)$ .

A \text{ diagonalisable} \iff \sum_{\lambda \text{ valeur propre}} \dim E_\lambda = n

Cas particuliers importants à connaître

Valeurs propres toutes distinctes. Si $A$ possède $n$ valeurs propres distinctes dans $\mathbb{K}$ , alors $A$ est automatiquement diagonalisable. C'est un cas très favorable : toutes les multiplicités algébriques valent 1, donc les multiplicités géométriques aussi.

Matrices symétriques réelles. Toute matrice symétrique réelle (c'est-à-dire vérifiant $A = A^T$ ) est diagonalisable sur $\mathbb{R}$ . Mieux encore, elle est diagonalisable dans une base orthonormée de vecteurs propres ; c'est l'énoncé du théorème spectral. Ce résultat est fondamental en physique et en statistiques.

Projecteurs. Toute matrice $A$ vérifiant $A^2 = A$ (appelée projecteur) est diagonalisable, avec pour seules valeurs propres possibles $0$ et $1$ .

Astuce : en pratique, avant de lancer le calcul complet des sous-espaces propres, vérifiez d'abord si le polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb{K}$ (condition 1). Si ce n'est pas le cas (par exemple si $\chi_A$ a des racines complexes non réelles et que vous travaillez sur $\mathbb{R}$ ) la matrice n'est pas diagonalisable sur $\mathbb{R}$ et il est inutile de poursuivre le calcul dans ce corps.

Méthode complète pour diagonaliser une matrice en 5 étapes

Le critère théorique étant posé, voyons comment le traduire en une procédure de calcul efficace. Les cinq étapes ci-dessous s'appliquent à toute matrice carrée ; elles sont illustrées sur l'exemple concret de la matrice :

A = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}

Étape 1 : Calculer le polynôme caractéristique

On développe le déterminant de $(A - \lambda I_3)$ :

\chi_A(\lambda) = \det(A - \lambda I_3) = \det\begin{pmatrix} 4-\lambda & 1 & -1 \\ 2 & 5-\lambda & -2 \\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}

En développant par cofacteurs (ou par la règle de Sarrus pour les matrices $3\times 3$ ) :

\chi_A(\lambda) = -(\lambda - 3)^2(\lambda - 5)

Le signe conventionnel peut varier selon les manuels ( $\det(A - \lambda I)$ ou $\det(\lambda I - A)$ ) ; l'important est la cohérence au sein d'un même calcul.

Étape 2 : Identifier les valeurs propres et leurs multiplicités algébriques

Les racines de $\chi_A$ sont les valeurs propres :

Valeur propre $\lambda$	Multiplicité algébrique $m_a$
$\lambda_1 = 3$	$m_a = 2$ (racine double)
$\lambda_2 = 5$	$m_a = 1$ (racine simple)

Le polynôme caractéristique est scindé sur $\mathbb{R}$ (toutes les racines sont réelles) : la condition 1 est satisfaite.

Étape 3 : Calculer les sous-espaces propres

Pour chaque valeur propre, on résout le système $(A - \lambda I_3)X = 0$ .

Sous-espace propre $E_3$ :

A - 3I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}

Les lignes 2 et 3 sont proportionnelles à la ligne 1, donc le système se réduit à une seule équation : $x_1 + x_2 - x_3 = 0$ , soit $x_1 = x_3 - x_2$ . En posant $x_2 = s$ et $x_3 = t$ librement, on obtient :

E_3 = \text{Vect}\left\{ \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\; \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}

Donc $m_g(3) = \dim E_3 = 2 = m_a(3)$ . ✓

Sous-espace propre $E_5$ :

A - 5I_3 = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & -3 \end{pmatrix}

Après pivot de Gauss, le système se réduit à $x_1 = x_3$ et $x_2 = 2x_3 - x_1 = x_3$ . En posant $x_3 = 1$ :

E_5 = \text{Vect}\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}

Donc $m_g(5) = 1 = m_a(5)$ . ✓

Étape 4 : Vérifier la diagonalisabilité et conclure

Pour chaque valeur propre, $m_g = m_a$ . La somme des multiplicités géométriques vaut $2 + 1 = 3 = n$ . La matrice $A$ est donc diagonalisable sur $\mathbb{R}$ .

Étape 5 : Construire $P$ et $D$

On place les vecteurs propres en colonnes dans $P$ , dans l'ordre choisi pour les valeurs propres :

P = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{et}\quad D = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}

On vérifie que $P$ est inversible (déterminant non nul), et on peut contrôler la relation $AP = PD$ colonne par colonne.

⚠️ Erreur fréquente : ne pas vérifier que la matrice $P$ construite est bien inversible. Dans le cas d'une valeur propre de multiplicité algébrique $\geq 2$ , il est parfois tentant de choisir des vecteurs propres qui s'avèrent colinéaires, conduisant à une matrice $P$ singulière (non inversible) et donc inutilisable. Assurez-vous toujours que les vecteurs propres choisis forment bien une famille libre.

À quoi sert la diagonalisation ? L’application aux puissances de matrices

La beauté de la décomposition $A = PDP^{-1}$ apparaît immédiatement dès qu'on calcule des puissances. En effet, si on développe $A^2$ :

A^2 = (PDP^{-1})(PDP^{-1}) = PD(P^{-1}P)DP^{-1} = PD^2P^{-1}

Par récurrence, pour tout entier $n \geq 1$ :

A^n = P\,D^n\,P^{-1}

Et la puissance d'une matrice diagonale est triviale : on élève simplement chaque coefficient diagonal à la puissance $n$ :

D^n = \begin{pmatrix} \lambda_1^n & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2^n & \cdots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_k^n \end{pmatrix}

Sur notre exemple, pour tout $n \geq 1$ :

A^n = P \begin{pmatrix} 3^n & 0 & 0 \\ 0 & 3^n & 0 \\ 0 & 0 & 5^n \end{pmatrix} P^{-1}

Cette même logique s'applique au calcul de l'exponentielle de matrice $e^A = P\,e^D\,P^{-1}$ , outil indispensable pour résoudre des systèmes différentiels linéaires à coefficients constants. Et si vous souhaitez approfondir les outils du calcul matriciel dans ce cadre, notre cours sur les espaces vectoriels et changements de base constitue un complément naturel.

Quand la diagonalisation échoue : reconnaître une matrice non diagonalisable

Maintenant que la méthode générale est maîtrisée, une question se pose naturellement : comment identifier rapidement qu'une matrice n'est pas diagonalisable, sans avoir à terminer tous les calculs ?

La matrice de Jordan $J = \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}$ est l'exemple canonique de matrice non diagonalisable : son polynôme caractéristique est $(\lambda - X)^2$ , donc $\lambda$ est valeur propre de multiplicité algébrique 2, mais son sous-espace propre est de dimension 1 (un seul vecteur propre indépendant, la direction $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ ). La condition $m_g = m_a$ n'est donc pas satisfaite.

En pratique, dès qu'une valeur propre a une multiplicité algébrique strictement supérieure à 1, il faut impérativement calculer la dimension du sous-espace propre correspondant ; on ne peut pas conclure sans cette vérification.

Conclusion : ce qu’il faut retenir sur la diagonalisation d’une matrice

La diagonalisation d'une matrice repose sur une idée simple mais puissante : trouver la base dans laquelle une transformation linéaire s'exprime sous sa forme la plus épurée. La méthode se déroule toujours en cinq actes (polynôme caractéristique, valeurs propres, sous-espaces propres, vérification du critère CNS, construction de $P$ et $D$ ) et la clé théorique tient en une inégalité devenue égalité : $m_g(\lambda) = m_a(\lambda)$ pour toute valeur propre.

Maîtriser ce résultat ouvre immédiatement la porte au calcul de puissances de matrices, aux exponentielles matricielles et à la résolution de systèmes différentiels linéaires. Ces applications, abondamment représentées aux concours CPGE et en licence, font de la diagonalisation l'une des compétences les plus rentables de l'algèbre linéaire.

Pour aller plus loin, nous vous recommandons de pratiquer sur des exercices progressifs : commencez par des matrices $2 \times 2$ à valeurs propres distinctes, puis abordez les cas de multiplicité algébrique 2 ou 3 où le critère $m_g = m_a$ doit être vérifié explicitement. Notre cours sur la réduction des endomorphismes permet ensuite de replacer la diagonalisation dans un cadre plus général.

Questions fréquentes sur la diagonalisation d’une matrice

Comment savoir si une matrice est diagonalisable ?

Une matrice carrée $A$ d'ordre $n$ est diagonalisable sur $\mathbb{K}$ si et seulement si deux conditions sont réunies : (1) son polynôme caractéristique $\chi_A$ est scindé sur $\mathbb{K}$ , c'est-à-dire que toutes ses racines appartiennent au corps de base ; (2) pour chaque valeur propre $\lambda$ , la dimension du sous-espace propre $E_\lambda$ (multiplicité géométrique) est égale à la multiplicité de $\lambda$ comme racine de $\chi_A$ (multiplicité algébrique). Un cas favorable immédiat : si $A$ possède $n$ valeurs propres distinctes dans $\mathbb{K}$ , elle est automatiquement diagonalisable.

Quelle est la différence entre diagonaliser et réduire une matrice ?

La réduction d'une matrice est le terme général qui désigne la recherche d'une forme simplifiée semblable à la matrice de départ. La diagonalisation en est un cas particulier (et le plus agréable) où la forme réduite est une matrice diagonale. Lorsque la diagonalisation est impossible (matrice défective), on recourt à la forme de Jordan, qui est triangulaire supérieure et constitue la réduction "la plus diagonale possible" pour toute matrice à coefficients complexes.

Comment calculer la puissance n-ième d’une matrice grâce à la diagonalisation ?

Si $A = PDP^{-1}$ , alors $A^n = PD^nP^{-1}$ pour tout entier $n \geq 1$ . La matrice $D^n$ est diagonale, avec comme coefficients les puissances $\lambda_i^n$ des valeurs propres. Il suffit donc : (1) de diagonaliser $A$ en trouvant $P$ et $D$ ; (2) d'élever les valeurs propres à la puissance $n$ ; (3) de calculer le produit $PD^nP^{-1}$ . Cette méthode est bien plus efficace qu'une multiplication répétée de $A$ par elle-même, surtout pour de grandes valeurs de $n$ .

Toute matrice carrée est-elle diagonalisable ?

Non. Une matrice carrée n'est pas nécessairement diagonalisable. Il existe deux types d'obstacles : (1) le polynôme caractéristique peut ne pas être scindé sur le corps de base (par exemple, une matrice réelle peut avoir des valeurs propres complexes non réelles, l'empêchant d'être diagonalisable sur $\mathbb{R}$ , même si elle le devient sur $\mathbb{C}$ ) ; (2) même si toutes les valeurs propres appartiennent au corps, une valeur propre peut avoir une multiplicité géométrique strictement inférieure à sa multiplicité algébrique ; c'est le cas des matrices de Jordan non triviales. En revanche, toute matrice carrée à coefficients complexes est trigonalisable (elle admet une forme triangulaire semblable).

Qu’est-ce que la matrice de passage P dans la diagonalisation ?

La matrice de passage $P$ est la matrice inversible dont les colonnes sont les vecteurs propres de $A$ , écrits dans la base dans laquelle $A$ est exprimée. Elle représente le changement de base qui transforme la base courante en la base formée par les vecteurs propres. Dans cette nouvelle base, la même transformation linéaire s'écrit sous la forme diagonale $D$ . Plus précisément, la $k$ -ième colonne de $P$ est un vecteur propre associé à la $k$ -ième valeur propre (le coefficient $D_{kk}$ ), et l'ordre doit être rigoureusement respecté entre $P$ et $D$ .