Déterminant d’une Matrice : Exercices Corrigés et Méthodes

Le déterminant d'une matrice est l'une des notions les plus testées en algèbre linéaire, que ce soit en L1, en classe préparatoire ou en BTS. Cette page propose une série d'exercices corrigés organisés par méthode de calcul : formule directe pour les matrices 2×2 et 3×3 avec la règle de Sarrus, réduction par opérations élémentaires sur les lignes, développement par cofacteurs, puis étude de matrices à paramètre et propriétés de multiplicativité. Chaque exercice est accompagné d'une indication et d'un corrigé détaillé en LaTeX, pour vous entraîner à déterminer si une matrice carrée est inversible et progresser pas à pas vers les notions de rang et de valeurs propres.

Calcul direct du déterminant : matrices 2×2 et 3×3

Avant d'aborder les méthodes générales, il est essentiel de maîtriser le calcul du déterminant pour une matrice 2×2 (produit en croix) et pour une matrice 3×3 grâce à la règle de Sarrus. Ces exercices corrigés posent les bases du calcul matriciel et du lien avec l'inversibilité.

Exercice 1 : Déterminant d’une matrice 2×2 par la formule directe

Facile

On considère les deux matrices carrées d'ordre 2 suivantes :

A=(2513)etB=(−423−1) A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad B = \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}

  1. Calculer det⁡(A) \det(A) .
  2. Calculer det⁡(B) \det(B) et préciser si B B est inversible.
Indication

Pour une matrice (abcd) \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} , le déterminant vaut ad−bc ad - bc . Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.

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Solution de la question 1 : det⁡(A)=2×3−5×1=6−5=1 \det(A) = 2 \times 3 - 5 \times 1 = 6 - 5 = 1 Solution de la question 2 : det⁡(B)=(−4)×(−1)−2×3=4−6=−2 \det(B) = (-4)\times(-1) - 2 \times 3 = 4 - 6 = -2

Comme det⁡(B)=−2≠0 \det(B) = -2 \neq 0 , la matrice B B est inversible.

Exercice 2 : Déterminant d’une matrice 3×3 avec la règle de Sarrus

Facile

On donne la matrice :

M=(123014560) M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}

  1. Recopier les deux premières colonnes à droite de la matrice pour appliquer la règle de Sarrus.
  2. En déduire la valeur de det⁡(M) \det(M) .
Indication

La règle de Sarrus ne fonctionne qu'en dimension 3 : additionnez les produits des trois diagonales descendantes et soustrayez les produits des trois diagonales montantes.

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Solution de la question 1 et 2 : det⁡(M)=1×1×0+2×4×5+3×0×6−3×1×5−1×4×6−2×0×0 \det(M) = 1\times1\times0 + 2\times4\times5 + 3\times0\times6 - 3\times1\times5 - 1\times4\times6 - 2\times0\times0 det⁡(M)=0+40+0−15−24−0=1 \det(M) = 0 + 40 + 0 - 15 - 24 - 0 = 1

On a donc det⁡(M)=1 \det(M) = 1 .

Exercice 3 : Déterminant d’une matrice triangulaire et inversibilité

Facile

Soit la matrice triangulaire inférieure :

T=(300−25041−2) T = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ -2 & 5 & 0 \\ 4 & 1 & -2 \end{pmatrix}

  1. Sans développer, donner la valeur de det⁡(T) \det(T) en justifiant la méthode utilisée.
  2. La matrice T T est-elle inversible ?
Indication

Le déterminant d'une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) est toujours égal au produit des termes situés sur la diagonale principale.

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Solution de la question 1 : det⁡(T)=3×5×(−2)=−30 \det(T) = 3 \times 5 \times (-2) = -30 Solution de la question 2 :

Puisque det⁡(T)=−30≠0 \det(T) = -30 \neq 0 , la matrice T T est inversible.

Méthode du pivot et propriétés des opérations élémentaires

Pour des matrices de taille supérieure à 3, le calcul direct devient vite fastidieux. La méthode du pivot consiste à utiliser des opérations élémentaires sur les lignes pour transformer la matrice en une forme triangulaire, tout en sachant comment chaque opération modifie le déterminant.

Exercice 4 : Calcul d’un déterminant 4×4 par triangularisation

Moyen

On considère la matrice :

N=(1210250111320114) N = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \end{pmatrix}

  1. En utilisant les opérations L2←L2−2L1 L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1 et L3←L3−L1 L_3 \leftarrow L_3 - L_1 , puis des opérations adaptées sur L3 L_3 et L4 L_4 , ramener N N à une forme triangulaire (un échange de lignes pourra être nécessaire).
  2. En déduire det⁡(N) \det(N) .
Indication

Une opération du type Li←Li−λLj L_i \leftarrow L_i - \lambda L_j ne change pas le déterminant. En revanche, si un pivot devient nul, il faut échanger deux lignes, ce qui multiplie le déterminant par −1 -1 .

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Solution de la question 1 :

Après L2←L2−2L1 L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1 et L3←L3−L1 L_3 \leftarrow L_3 - L_1 , puis L3←L3+L2 L_3 \leftarrow L_3 + L_2 et L4←L4−L2 L_4 \leftarrow L_4 - L_2 , on obtient :

(121001−2100030033) \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \end{pmatrix}

Le pivot de la troisième ligne est nul : on échange L3 L_3 et L4 L_4 (le déterminant change de signe) pour obtenir une matrice triangulaire supérieure de diagonale (1, 1, 3, 3) (1,\,1,\,3,\,3) .

Solution de la question 2 : det⁡(N)=− (1×1×3×3)=−9 \det(N) = -\,(1 \times 1 \times 3 \times 3) = -9

Exercice 5 : Reconnaître un déterminant nul grâce aux propriétés des lignes

Moyen

Sans effectuer de calcul complet, justifier que les déterminants des deux matrices suivantes sont nuls :

P1=(12324601−1)etP2=(102311413) P_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad P_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}

  1. Étudier la relation entre les lignes de P1 P_1 .
  2. Étudier la relation entre les lignes de P2 P_2 .
Indication

Si une ligne d'une matrice est une combinaison linéaire des autres lignes (en particulier si elle leur est proportionnelle), alors le déterminant de la matrice est nul.

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Solution de la question 1 :

On remarque que L2=2L1 L_2 = 2L_1 dans P1 P_1 . Les lignes étant liées, on a directement det⁡(P1)=0 \det(P_1) = 0 .

Solution de la question 2 :

On vérifie que L3=L1+L2 L_3 = L_1 + L_2 dans P2 P_2 : (1+3,  0+1,  2+1)=(4, 1, 3) (1+3,\;0+1,\;2+1) = (4,\,1,\,3) Cette relation de dépendance linéaire entre les lignes entraîne det⁡(P2)=0 \det(P_2) = 0 .

Développement par rapport à une ligne ou une colonne

Le développement par cofacteurs (ou développement de Laplace) permet de calculer le déterminant de n'importe quelle matrice carrée en choisissant la ligne ou la colonne contenant le plus de zéros, afin de simplifier les calculs.

Exercice 6 : Développement par cofacteurs le long d’une ligne

Moyen

Soit la matrice :

R=(20−1354002) R = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 3 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}

  1. Calculer det⁡(R) \det(R) en développant par rapport à la troisième ligne.
  2. Vérifier le résultat en utilisant la règle de Sarrus.
Indication

La troisième ligne contient deux zéros : un seul cofacteur est donc à calculer. N'oubliez pas le signe (−1)i+j (-1)^{i+j} associé à chaque position.

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Solution de la question 1 : det⁡(R)=2×(−1)3+3∣2035∣=2×(2×5−0×3)=2×10=20 \det(R) = 2 \times (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = 2 \times (2\times5 - 0\times3) = 2 \times 10 = 20 Solution de la question 2 : det⁡(R)=2×5×2+0×4×0+(−1)×3×0−(−1)×5×0−2×4×0−0×3×2=20 \det(R) = 2\times5\times2 + 0\times4\times0 + (-1)\times3\times0 - (-1)\times5\times0 - 2\times4\times0 - 0\times3\times2 = 20

Les deux méthodes donnent bien det⁡(R)=20 \det(R) = 20 .

Exercice 7 : Développement récursif d’un déterminant 4×4

Difficile

On considère la matrice :

S=(1020310202101003) S = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}

  1. Développer det⁡(S) \det(S) par rapport à la première ligne.
  2. Calculer chaque cofacteur 3×3 obtenu, puis donner la valeur finale de det⁡(S) \det(S) .
Indication

La première ligne ne comporte que deux termes non nuls, en colonnes 1 et 3 : seuls deux cofacteurs 3×3 sont donc à calculer.

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Solution de la question 1 : det⁡(S)=1×C11+2×C13 \det(S) = 1 \times C_{11} + 2 \times C_{13} Solution de la question 2 : C11=∣102210003∣=3,C13=∣312020103∣=14 C_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 3, \qquad C_{13} = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 14 det⁡(S)=1×3+2×14=3+28=31 \det(S) = 1\times3 + 2\times14 = 3 + 28 = 31

Matrices à paramètre, inversibilité et propriétés du déterminant

Les exercices de niveau prépa demandent souvent d'étudier l'inversibilité d'une matrice dépendant d'un paramètre ou d'appliquer les propriétés de multiplicativité du déterminant sans recalculer explicitement les coefficients. Ces compétences sont essentielles pour aborder le rang d'une matrice et les valeurs propres.

Exercice 8 : Inversibilité d’une matrice à paramètre

Difficile

Pour m∈R m \in \mathbb{R} , on définit :

M(m)=(m111m111m) M(m) = \begin{pmatrix} m & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & m \end{pmatrix}

  1. Calculer det⁡(M(m)) \det(M(m)) et l'écrire sous forme d'un polynôme en m m .
  2. Factoriser ce polynôme, puis déterminer les valeurs de m m pour lesquelles M(m) M(m) est inversible.
Indication

Après calcul par Sarrus, remarquez que m=1 m = 1 est une racine évidente du polynôme obtenu, ce qui permet de le factoriser.

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Solution de la question 1 : det⁡(M(m))=m3+1+1−m−m−m=m3−3m+2 \det(M(m)) = m^3 + 1 + 1 - m - m - m = m^3 - 3m + 2 Solution de la question 2 : det⁡(M(m))=(m−1)2(m+2) \det(M(m)) = (m-1)^2(m+2)

La matrice M(m) M(m) est inversible si et seulement si det⁡(M(m))≠0 \det(M(m)) \neq 0 , c'est-à-dire pour m≠1 m \neq 1 et m≠−2 m \neq -2 .

Exercice 9 : Propriétés de multiplicativité du déterminant

Difficile

Soient A A et B B deux matrices carrées d'ordre 3 telles que det⁡(A)=5 \det(A) = 5 et det⁡(B)=−2 \det(B) = -2 .

  1. Calculer det⁡(A−1) \det(A^{-1}) et det⁡(3A) \det(3A) .
  2. Calculer det⁡(AB) \det(AB) , det⁡(A−1B) \det(A^{-1}B) et det⁡(B3A) \det(B^3A) .
Indication

Utilisez les propriétés det⁡(AB)=det⁡(A)det⁡(B) \det(AB) = \det(A)\det(B) , det⁡(A−1)=1det⁡(A) \det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det(A)} et det⁡(λA)=λndet⁡(A) \det(\lambda A) = \lambda^n \det(A) pour une matrice d'ordre n n .

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Solution de la question 1 : det⁡(A−1)=1det⁡(A)=15det⁡(3A)=33×det⁡(A)=27×5=135 \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{5} \qquad \det(3A) = 3^3 \times \det(A) = 27 \times 5 = 135 Solution de la question 2 : det⁡(AB)=det⁡(A)×det⁡(B)=5×(−2)=−10 \det(AB) = \det(A)\times\det(B) = 5\times(-2) = -10 det⁡(A−1B)=det⁡(A−1)×det⁡(B)=15×(−2)=−25 \det(A^{-1}B) = \det(A^{-1})\times\det(B) = \frac{1}{5}\times(-2) = -\frac{2}{5} det⁡(B3A)=det⁡(B)3×det⁡(A)=(−2)3×5=−8×5=−40 \det(B^3A) = \det(B)^3\times\det(A) = (-2)^3\times5 = -8\times5 = -40
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