Matrices Exercices Corrigés : 11 Exercices Progressifs

On considère la matrice à coefficients réels :

$$A = \begin{pmatrix} 5 & -2 & 7 & 1 \\ 0 & 8 & -3 & 12 \\ 9 & 4 & 0 & -6 \end{pmatrix}$$

1. Donner le format de la matrice $A$.
2. Préciser la valeur des coefficients $a_{13}$, $a_{24}$ et $a_{31}$.
3. Écrire la matrice transposée ${}^{t}A$ et donner son format.

On définit la matrice carrée $B$ de format $3 \times 3$ dont le coefficient $b_{ij}$ vaut $2i - j$.

1. Calculer tous les coefficients de $B$ et écrire la matrice.
2. La matrice $B$ est-elle symétrique ? Justifier en comparant $B$ et ${}^{t}B$.

On considère les deux matrices de même format :

$$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \\ 0 & 3 & -5 \end{pmatrix} \quad ; \quad B = \begin{pmatrix} -3 & 5 & 1 \\ 2 & -4 & 6 \end{pmatrix}$$

1. Calculer $A + B$.
2. Calculer $A - 2B$.

On considère quatre matrices $A$, $B$, $C$, $D$ de formats respectifs $2 \times 3$, $3 \times 2$, $2 \times 2$ et $3 \times 3$.

1. Parmi les produits $AB$, $BA$, $AC$, $CA$, $AD$, $DA$, $BC$, $CB$, $CD$, $DC$, $BD$, $DB$, indiquer lesquels sont définis et donner leur format.
2. Parmi les produits définis, lesquels sont des matrices carrées ? Peut-on avoir $AB = BA$ ? Justifier sans calcul.

Une coopérative agricole compose deux paniers, le panier A et le panier B, à partir de trois produits. La composition de chaque panier est donnée par le tableau suivant :

Le prix unitaire de chaque produit est de $2$ € par kg de légumes, $3$ € par kg de fruits et $4$ € par douzaine d'œufs.

1. Écrire la matrice de composition $M$ (format $3 \times 2$) et la matrice ligne des prix $L$ (format $1 \times 3$), puis calculer le produit $L \times M$.
2. En déduire le coût de fabrication de chaque panier, puis calculer la recette totale si la coopérative vend 50 paniers A et 30 paniers B.

On considère les matrices carrées :

$$M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad M_2 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}, \quad M_3 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad M_4 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$

1. Pour chaque matrice, indiquer si elle est diagonale, symétrique ou antisymétrique.
2. Reconnaître parmi elles la matrice identité $I_2$ et justifier son rôle dans le produit matriciel.

On considère les matrices :

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \quad ; \quad B = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$$

1. Calculer le produit $AB$.
2. Calculer le produit $BA$ et conclure sur la relation entre $A$ et $B$.

On donne la matrice $A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, dont l'inverse est $A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$.

On cherche une matrice colonne $X$ vérifiant l'équation $AX = C$, où $C = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}$.

1. Exprimer $X$ en fonction de $A^{-1}$ et de $C$.
2. Calculer $X$.

On considère les matrices :

$$A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix} \quad ; \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}$$

1. Calculer $\det(A)$ et indiquer si $A$ est inversible.
2. Calculer $\det(B)$ en développant selon la première ligne, et conclure.

On considère la matrice $A = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$ et le système :

$$\begin{cases} 3x + 4y = 10 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases}$$

1. Calculer $\det(A)$, puis en déduire $A^{-1}$ à l'aide de la formule $A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$.
2. Écrire le système sous forme matricielle $AX = C$, puis résoudre le système en calculant $X = A^{-1}C$.

On considère la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.

1. Calculer $A^2$ et $A^3$.
2. Conjecturer une expression de $A^n$ en fonction de $n$, pour tout entier $n \geqslant 1$, puis démontrer cette conjecture par récurrence.