Le déterminant d’une matrice est l’une des notions les plus testées en algèbre linéaire, que ce soit en L1, en classe préparatoire ou en BTS. Cette page propose une série d’exercices corrigés organisés par méthode de calcul : formule directe pour les matrices 2×2 et 3×3 avec la règle de Sarrus, réduction par opérations élémentaires sur les lignes, développement par cofacteurs, puis étude de matrices à paramètre et propriétés de multiplicativité. Chaque exercice est accompagné d’une indication et d’un corrigé détaillé en LaTeX, pour vous entraîner à déterminer si une matrice carrée est inversible et progresser pas à pas vers les notions de rang et de valeurs propres.
Calcul direct du déterminant : matrices 2×2 et 3×3
Avant d’aborder les méthodes générales, il est essentiel de maîtriser le calcul du déterminant pour une matrice 2×2 (produit en croix) et pour une matrice 3×3 grâce à la règle de Sarrus. Ces exercices corrigés posent les bases du calcul matriciel et du lien avec l’inversibilité.
Exercice 1 : Déterminant d’une matrice 2×2 par la formule directe
Facile
On considère les deux matrices carrées d’ordre 2 suivantes :
\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad B = \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \]
- Calculer \( \det(A) \).
- Calculer \( \det(B) \) et préciser si \( B \) est inversible.
Indication
Pour une matrice \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), le déterminant vaut \( ad – bc \). Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
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Solution de la question 2 : \[ \det(B) = (-4)\times(-1) – 2 \times 3 = 4 – 6 = -2 \]
Comme \( \det(B) = -2 \neq 0 \), la matrice \( B \) est inversible.
Exercice 2 : Déterminant d’une matrice 3×3 avec la règle de Sarrus
Facile
On donne la matrice :
\[ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix} \]
- Recopier les deux premières colonnes à droite de la matrice pour appliquer la règle de Sarrus.
- En déduire la valeur de \( \det(M) \).
Indication
La règle de Sarrus ne fonctionne qu’en dimension 3 : additionnez les produits des trois diagonales descendantes et soustrayez les produits des trois diagonales montantes.
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\[ \det(M) = 0 + 40 + 0 – 15 – 24 – 0 = 1 \]
On a donc \( \det(M) = 1 \).
Exercice 3 : Déterminant d’une matrice triangulaire et inversibilité
Facile
Soit la matrice triangulaire inférieure :
\[ T = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ -2 & 5 & 0 \\ 4 & 1 & -2 \end{pmatrix} \]
- Sans développer, donner la valeur de \( \det(T) \) en justifiant la méthode utilisée.
- La matrice \( T \) est-elle inversible ?
Indication
Le déterminant d’une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) est toujours égal au produit des termes situés sur la diagonale principale.
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Solution de la question 2 :
Puisque \( \det(T) = -30 \neq 0 \), la matrice \( T \) est inversible.
Méthode du pivot et propriétés des opérations élémentaires
Pour des matrices de taille supérieure à 3, le calcul direct devient vite fastidieux. La méthode du pivot consiste à utiliser des opérations élémentaires sur les lignes pour transformer la matrice en une forme triangulaire, tout en sachant comment chaque opération modifie le déterminant.
Exercice 4 : Calcul d’un déterminant 4×4 par triangularisation
Moyen
On considère la matrice :
\[ N = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 4 \end{pmatrix} \]
- En utilisant les opérations \( L_2 \leftarrow L_2 – 2L_1 \) et \( L_3 \leftarrow L_3 – L_1 \), puis des opérations adaptées sur \( L_3 \) et \( L_4 \), ramener \( N \) à une forme triangulaire (un échange de lignes pourra être nécessaire).
- En déduire \( \det(N) \).
Indication
Une opération du type \( L_i \leftarrow L_i – \lambda L_j \) ne change pas le déterminant. En revanche, si un pivot devient nul, il faut échanger deux lignes, ce qui multiplie le déterminant par \( -1 \).
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Après \( L_2 \leftarrow L_2 – 2L_1 \) et \( L_3 \leftarrow L_3 – L_1 \), puis \( L_3 \leftarrow L_3 + L_2 \) et \( L_4 \leftarrow L_4 – L_2 \), on obtient :
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \end{pmatrix} \]
Le pivot de la troisième ligne est nul : on échange \( L_3 \) et \( L_4 \) (le déterminant change de signe) pour obtenir une matrice triangulaire supérieure de diagonale \( (1,\,1,\,3,\,3) \).
Solution de la question 2 : \[ \det(N) = -\,(1 \times 1 \times 3 \times 3) = -9 \]
Exercice 5 : Reconnaître un déterminant nul grâce aux propriétés des lignes
Moyen
Sans effectuer de calcul complet, justifier que les déterminants des deux matrices suivantes sont nuls :
\[ P_1 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad P_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{pmatrix} \]
- Étudier la relation entre les lignes de \( P_1 \).
- Étudier la relation entre les lignes de \( P_2 \).
Indication
Si une ligne d’une matrice est une combinaison linéaire des autres lignes (en particulier si elle leur est proportionnelle), alors le déterminant de la matrice est nul.
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On remarque que \( L_2 = 2L_1 \) dans \( P_1 \). Les lignes étant liées, on a directement \( \det(P_1) = 0 \).
Solution de la question 2 :
On vérifie que \( L_3 = L_1 + L_2 \) dans \( P_2 \) : \[ (1+3,\;0+1,\;2+1) = (4,\,1,\,3) \] Cette relation de dépendance linéaire entre les lignes entraîne \( \det(P_2) = 0 \).
Développement par rapport à une ligne ou une colonne
Le développement par cofacteurs (ou développement de Laplace) permet de calculer le déterminant de n’importe quelle matrice carrée en choisissant la ligne ou la colonne contenant le plus de zéros, afin de simplifier les calculs.
Exercice 6 : Développement par cofacteurs le long d’une ligne
Moyen
Soit la matrice :
\[ R = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 3 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \]
- Calculer \( \det(R) \) en développant par rapport à la troisième ligne.
- Vérifier le résultat en utilisant la règle de Sarrus.
Indication
La troisième ligne contient deux zéros : un seul cofacteur est donc à calculer. N’oubliez pas le signe \( (-1)^{i+j} \) associé à chaque position.
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\[ \det(R) = 2 \times (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = 2 \times (2\times5 – 0\times3) = 2 \times 10 = 20 \]
Solution de la question 2 :
\[ \det(R) = 2\times5\times2 + 0\times4\times0 + (-1)\times3\times0 – (-1)\times5\times0 – 2\times4\times0 – 0\times3\times2 = 20 \]
Les deux méthodes donnent bien \( \det(R) = 20 \).
Exercice 7 : Développement récursif d’un déterminant 4×4
Difficile
On considère la matrice :
\[ S = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \]
- Développer \( \det(S) \) par rapport à la première ligne.
- Calculer chaque cofacteur 3×3 obtenu, puis donner la valeur finale de \( \det(S) \).
Indication
La première ligne ne comporte que deux termes non nuls, en colonnes 1 et 3 : seuls deux cofacteurs 3×3 sont donc à calculer.
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\[ \det(S) = 1 \times C_{11} + 2 \times C_{13} \]
Solution de la question 2 :
\[ C_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 3, \qquad C_{13} = \begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 14 \]
\[ \det(S) = 1\times3 + 2\times14 = 3 + 28 = 31 \]
Matrices à paramètre, inversibilité et propriétés du déterminant
Les exercices de niveau prépa demandent souvent d’étudier l’inversibilité d’une matrice dépendant d’un paramètre ou d’appliquer les propriétés de multiplicativité du déterminant sans recalculer explicitement les coefficients. Ces compétences sont essentielles pour aborder le rang d’une matrice et les valeurs propres.
Exercice 8 : Inversibilité d’une matrice à paramètre
Difficile
Pour \( m \in \mathbb{R} \), on définit :
\[ M(m) = \begin{pmatrix} m & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & m \end{pmatrix} \]
- Calculer \( \det(M(m)) \) et l’écrire sous forme d’un polynôme en \( m \).
- Factoriser ce polynôme, puis déterminer les valeurs de \( m \) pour lesquelles \( M(m) \) est inversible.
Indication
Après calcul par Sarrus, remarquez que \( m = 1 \) est une racine évidente du polynôme obtenu, ce qui permet de le factoriser.
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\[ \det(M(m)) = m^3 + 1 + 1 – m – m – m = m^3 – 3m + 2 \]
Solution de la question 2 :
\[ \det(M(m)) = (m-1)^2(m+2) \]
La matrice \( M(m) \) est inversible si et seulement si \( \det(M(m)) \neq 0 \), c’est-à-dire pour \( m \neq 1 \) et \( m \neq -2 \).
Exercice 9 : Propriétés de multiplicativité du déterminant
Difficile
Soient \( A \) et \( B \) deux matrices carrées d’ordre 3 telles que \( \det(A) = 5 \) et \( \det(B) = -2 \).
- Calculer \( \det(A^{-1}) \) et \( \det(3A) \).
- Calculer \( \det(AB) \), \( \det(A^{-1}B) \) et \( \det(B^3A) \).
Indication
Utilisez les propriétés \( \det(AB) = \det(A)\det(B) \), \( \det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det(A)} \) et \( \det(\lambda A) = \lambda^n \det(A) \) pour une matrice d’ordre \( n \).
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\[ \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{5} \qquad \det(3A) = 3^3 \times \det(A) = 27 \times 5 = 135 \]
Solution de la question 2 :
\[ \det(AB) = \det(A)\times\det(B) = 5\times(-2) = -10 \]
\[ \det(A^{-1}B) = \det(A^{-1})\times\det(B) = \frac{1}{5}\times(-2) = -\frac{2}{5} \]
\[ \det(B^3A) = \det(B)^3\times\det(A) = (-2)^3\times5 = -8\times5 = -40 \]