Vecteurs, droites et plans de l'espace Terminale

La géométrie de l'espace oblige à distinguer ce que le dessin suggère de ce que les données permettent de démontrer. Deux droites qui semblent se couper sur une perspective peuvent être non coplanaires ; deux segments parallèles sur la feuille peuvent représenter des directions différentes.

Les vecteurs donnent un langage fiable pour décrire directions, alignement, parallélisme et coplanarité. Cette première étape reste volontairement géométrique et algébrique : le produit scalaire, les distances et les équations de plans seront traités dans les chapitres suivants.

Table des Matières

Étendre le calcul vectoriel à l’espace

Un vecteur décrit un déplacement

Deux bipoints $(A,B)$ et $(C,D)$ représentent le même vecteur lorsque la translation qui envoie A sur B envoie aussi C sur D. Les relations de Chasles et les opérations sur les vecteurs restent valables dans l'espace.

Dans un cube, une même direction peut être portée par plusieurs arêtes. On peut donc transporter un vecteur pour construire une somme ou simplifier une expression. Une égalité vectorielle ne dépend ni du point de vue choisi pour dessiner le solide ni de la longueur apparente des segments sur la feuille.

Droite et plan par leurs directions

Caractériser les objets

Une droite est déterminée par un point A et un vecteur directeur non nul $\vec u$ . Un plan est déterminé par un point A et deux vecteurs non colinéaires $\vec u,\vec v$ . Un point M appartient alors au plan si $\overrightarrow{AM}=s\vec u+t\vec v$ pour certains réels s et t.

M\in\mathcal P\iff \overrightarrow{AM}=s\vec u+t\vec v

Le couple de vecteurs ne définit que la direction du plan. Le point A fixe sa position. Oublier ce point revient à confondre tous les plans parallèles. De même, multiplier un vecteur directeur par un réel non nul ne change pas la droite décrite.

Combinaisons linéaires, bases et coordonnées

Base de l’espace

Trois vecteurs non coplanaires forment une base de l'espace. Chaque vecteur s'écrit alors de façon unique comme combinaison linéaire de ces trois vecteurs.

Dans un repère $(O;\vec i,\vec j,\vec k)$ , les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ s'obtiennent en soustrayant celles de A à celles de B. Pour prouver que trois vecteurs forment une base, on vérifie d'abord que les deux premiers ne sont pas colinéaires, puis que le troisième n'est pas leur combinaison linéaire, souvent en résolvant un système simple. Le test de coplanarité ci-dessous suppose A, B et C non alignés.

Question	Traduction vectorielle
A, B, C alignés	$\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ colinéaires
A, B, C, D coplanaires, A, B, C non alignés	$\overrightarrow{AD}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$
Droites parallèles	vecteurs directeurs colinéaires
Droite parallèle à un plan	son directeur appartient à la direction du plan

Lire correctement les positions relatives

Deux droites de l'espace peuvent être parallèles, sécantes ou non coplanaires. Une droite et un plan peuvent être parallèles, sécants ou la droite peut être incluse dans le plan. Deux plans distincts sont parallèles ou sécants suivant une droite. Le vocabulaire doit rester précis : « ne se coupent pas » ne suffit pas à conclure que deux droites sont parallèles.

Droites non coplanaires dans un pavé — Les deux droites appartiennent à des faces différentes et ne partagent aucun plan commun.

Méthode pour une preuve de coplanarité

Choisir un point origine commun, par exemple A.
Exprimer les vecteurs utiles dans une base adaptée à la figure.
Chercher des réels s et t tels que $\overrightarrow{AD}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$ .
Résoudre le système de coordonnées ou utiliser les relations du solide.
Conclure sur les points ou les droites, pas seulement sur les vecteurs.

Dans un tétraèdre, les trois vecteurs issus d'un même sommet forment naturellement une base. Dans un cube, les trois directions des arêtes permettent de lire rapidement les décompositions. Choisir une base adaptée raccourcit le calcul et rend la preuve lisible.

Un système qui décide de la coplanarité

Avec $A(0;0;0)$ , $B(1;2;0)$ , $C(0;1;1)$ et $D(2;5;1)$ , les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires. Cherchons $\overrightarrow{AD}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}$ . Les coordonnées donnent $s=2$ , $t=1$ , puis $2s+t=5$ , ce qui est vérifié. Ainsi $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ et D appartient au plan (ABC). Les quatre points sont coplanaires.

Contrôles et liens avec la suite

Erreur fréquente : une perspective n'autorise pas une conclusion de parallélisme ou d'intersection. Elle sert à formuler une conjecture qui doit ensuite être prouvée.

Contrôle utile : tester l'égalité coordonnée par coordonnée. Une seule coordonnée incompatible suffit à réfuter une combinaison linéaire proposée.

Les manipulations de base prolongent les vecteurs et la relation de Chasles. La structure vectorielle prépare l'orthogonalité et les distances. Le repérage conduira ensuite à les représentations paramétriques.

Cette progression respecte le programme officiel de Terminale, spécialité mathématiques.