Cette page propose dix exercices corrigés sur les suites de fonctions, couvrant l’ensemble du programme de classes préparatoires (MPSI, PCSI, MP, PSI). Vous y trouverez des exercices progressifs allant de l’étude de la convergence simple à la convergence uniforme, en passant par l’interversion de la limite et de l’intégrale ainsi que la régularité de la fonction limite (continuité, dérivabilité). Chaque exercice est accompagné d’une indication pédagogique et d’un corrigé complet rédigé pas à pas. La maîtrise de ces notions — notamment la norme sup, le critère de Cauchy uniforme et le théorème de convergence dominée — est indispensable pour réussir les oraux et écrits des concours. Ces exercices prolongent le cours sur les suites et séries de fonctions et mobilisent aussi les bases des suites numériques.
Convergence simple d’une suite de fonctions : définition et premiers exercices
La convergence simple est la notion la plus fondamentale pour les suites de fonctions. On fixe \(x\) et on étudie la suite numérique \((f_n(x))_{n \geq 0}\). Les exercices suivants permettent de calculer la fonction limite et d’identifier les domaines de convergence.
Exercice 1 : Convergence simple de \(f_n(x) = x^n\) sur \([0,1]\)
Facile
Pour tout entier \(n \geq 1\), on définit la suite de fonctions \((f_n)\) sur \([0,1]\) par \(f_n(x) = x^n\).
- Montrer que la suite \((f_n)\) converge simplement sur \([0,1]\) et déterminer la fonction limite \(f\).
- La fonction \(f\) est-elle continue sur \([0,1]\) ? Comparer avec les fonctions \(f_n\).
Indication
Pour la question 1, distinguez deux cas selon que \(x \in [0,1[\) ou \(x = 1\). Pour la question 2, observez le comportement de \(f\) au voisinage de \(x=1\).
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Soit \(x \in [0,1[\). Puisque \(|x| < 1\), on a \(\lim_{n \to +\infty} x^n = 0\). Pour \(x = 1\), on a \(1^n = 1\) pour tout \(n\). La suite \((f_n)\) converge donc simplement sur \([0,1]\) vers la fonction :
\[ f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \in [0,1[, \\ 1 & \text{si } x = 1. \end{cases} \]
Solution de la question 2 :
Chaque \(f_n\) est continue sur \([0,1]\). Pourtant la fonction limite \(f\) est discontinue en \(x=1\) : elle vaut \(0\) pour \(x < 1\) et \(1\) pour \(x=1\). La continuité n'est donc pas préservée par convergence simple, ce qui illustre pourquoi une notion plus forte — la convergence uniforme — est nécessaire.
Exercice 2 : Convergence simple de \(f_n(x) = \dfrac{nx}{1+n^2x^2}\) sur \(\mathbb{R}\)
Facile
Pour tout entier \(n \geq 1\), on définit \(f_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) par \(f_n(x) = \dfrac{nx}{1+n^2x^2}\).
- Déterminer, pour chaque \(x \in \mathbb{R}\), la limite de \(f_n(x)\) quand \(n \to +\infty\).
- Calculer \(\sup_{x \in \mathbb{R}} |f_n(x)|\) et en déduire si la convergence simple est uniforme sur \(\mathbb{R}\).
Indication
Pour la question 1, divisez numérateur et dénominateur par \(n^2 x^2\) pour \(x \neq 0\). Pour la question 2, étudiez \(f_n\) comme une fonction de \(x\) et cherchez son maximum en annulant sa dérivée.
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Pour \(x = 0\) : \(f_n(0) = 0\) pour tout \(n\). Pour \(x \neq 0\), on écrit \(f_n(x) = \dfrac{nx}{n^2 x^2(1/(n^2x^2)+1)} = \dfrac{1}{nx(1+1/(n^2x^2))}\). Lorsque \(n \to +\infty\), \(\dfrac{1}{nx} \to 0\), donc \(f_n(x) \to 0\). La fonction limite est \(f \equiv 0\) sur \(\mathbb{R}\).
Solution de la question 2 :
On calcule \(f_n'(x) = \dfrac{n(1-n^2x^2)}{(1+n^2x^2)^2}\). Celle-ci s’annule pour \(x = \pm 1/n\). On obtient \(f_n(1/n) = \dfrac{n \cdot (1/n)}{1 + n^2 \cdot (1/n^2)} = \dfrac{1}{2}\). Donc :
\[ \sup_{x \in \mathbb{R}} |f_n(x)| = \frac{1}{2} \quad \text{pour tout } n \geq 1. \]
Ce sup ne tend pas vers \(0\), donc la convergence n’est pas uniforme sur \(\mathbb{R}\).
Convergence uniforme et norme sup : critères et contre-exemples
La convergence uniforme est plus exigeante que la convergence simple. Elle garantit notamment la continuité de la limite et permet des interversions. Les exercices ci-dessous entraînent à l’utilisation de la norme sup \(\|f_n – f\|_\infty\) et à la construction de contre-exemples.
Exercice 3 : Convergence uniforme sur un segment fermé
Facile
Soit \(f_n(x) = \dfrac{x}{1 + nx^2}\) définie sur \(\mathbb{R}_+\).
- Montrer que \((f_n)\) converge simplement vers \(0\) sur \(\mathbb{R}_+\).
- Étudier la convergence uniforme sur \(\mathbb{R}_+\), puis sur tout intervalle \([a, +\infty[\) avec \(a > 0\).
Indication
Pour la convergence uniforme sur \(\mathbb{R}_+\), calculez le maximum de \(f_n\) sur \(\mathbb{R}_+\). Pour \([a,+\infty[\), majorez \(f_n(x)\) en utilisant \(x \geq a\).
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Pour \(x \geq 0\) fixé, si \(x=0\) : \(f_n(0)=0\). Si \(x>0\) : \(f_n(x) = \dfrac{x}{1+nx^2} \leq \dfrac{x}{nx^2} = \dfrac{1}{nx} \to 0\). La convergence simple vers \(f=0\) est établie.
Solution de la question 2 :
On cherche \(\sup_{x \geq 0} f_n(x)\). On calcule \(f_n'(x) = \dfrac{1-nx^2}{(1+nx^2)^2}\), qui s’annule en \(x_0 = 1/\sqrt{n}\). On obtient \(f_n(x_0) = \dfrac{1/\sqrt{n}}{2} = \dfrac{1}{2\sqrt{n}}\). Donc \(\|f_n\|_\infty = \dfrac{1}{2\sqrt{n}} \to 0\) : la convergence est uniforme sur \(\mathbb{R}_+\).
Sur \([a,+\infty[\) avec \(a>0\), on peut majorer encore plus simplement : \(f_n(x) \leq \dfrac{1}{nx} \leq \dfrac{1}{na} \to 0\).
Exercice 4 : Vrai ou faux — propriétés conservées par convergence uniforme
Moyen
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions convergeant simplement vers \(f\) sur un intervalle \(I\). Indiquer si les assertions suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant et en donnant un contre-exemple si besoin. Reprendre ensuite chaque assertion en supposant la convergence uniforme.
- Si les \(f_n\) sont croissantes, alors \(f\) l’est aussi.
- Si les \(f_n\) sont continues en \(a \in I\), alors \(f\) l’est aussi.
- Si les \(f_n\) sont périodiques de période \(T\), alors \(f\) l’est aussi.
Indication
Pour les contre-exemples en convergence simple, pensez à \(f_n(x) = x^n\) sur \([0,1]\) pour la continuité, et à \(f_n(x) = \sin(x/n)\) pour la périodicité. Les inégalités larges passent toujours à la limite — mais les propriétés métriques exigent l’uniformité.
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Convergence simple : Vrai. Si \(x \leq y\), alors \(f_n(x) \leq f_n(y)\) pour tout \(n\), et en passant à la limite : \(f(x) \leq f(y)\). Les inégalités larges se conservent à la limite.
Convergence uniforme : Vrai également (le même argument suffit).
Question 2 :
Convergence simple : Faux. Contre-exemple : \(f_n(x) = x^n\) sur \([0,1]\). Chaque \(f_n\) est continue, mais la limite \(f\) vaut \(0\) sur \([0,1[\) et \(1\) en \(1\) : elle est discontinue en \(1\).
Convergence uniforme : Vrai. C’est le théorème fondamental : la limite uniforme d’une suite de fonctions continues est continue.
Question 3 :
Convergence simple : Vrai. Pour tout \(x\), \(f_n(x+T) = f_n(x)\) pour tout \(n\), donc à la limite \(f(x+T) = f(x)\).
Convergence uniforme : Vrai (même argument).
Exercice 5 : Suite de fonctions définies par morceaux
Moyen
Pour \(n \geq 1\), on définit \(f_n : [0,1] \to \mathbb{R}\) par :
\[ f_n(x) = \begin{cases} n^2 x(1-nx) & \text{si } 0 \leq x \leq \dfrac{1}{n}, \\ 0 & \text{si } \dfrac{1}{n} < x \leq 1. \end{cases} \]
- Déterminer la limite simple de \((f_n)\) sur \([0,1]\).
- Montrer que la convergence n’est pas uniforme sur \([0,1]\).
- Calculer \(\displaystyle\int_0^1 f_n(x)\,dx\) et en déduire que \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \int_0^1 f_n(x)\,dx \neq \int_0^1 f(x)\,dx\).
Indication
Pour la convergence simple, fixez \(x\) et remarquez que pour \(n\) grand, on a \(x > 1/n\). Pour l’uniformité, évaluez \(f_n\) en son maximum, situé en \(x = 1/(2n)\). L’intégrale se calcule uniquement sur \([0, 1/n]\).
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Pour \(x = 0\) : \(f_n(0) = 0\). Pour \(x \in (0,1]\) fixé, il existe \(N\) tel que pour \(n \geq N\), \(x > 1/n\), donc \(f_n(x) = 0\). La limite simple est \(f \equiv 0\).
Solution de la question 2 :
Le maximum de \(f_n\) sur \([0,1/n]\) est atteint en \(x = 1/(2n)\) :
\[ f_n\!\left(\tfrac{1}{2n}\right) = n^2 \cdot \tfrac{1}{2n} \cdot \left(1 – n \cdot \tfrac{1}{2n}\right) = n^2 \cdot \tfrac{1}{2n} \cdot \tfrac{1}{2} = \frac{n}{4} \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty. \]
Donc \(\|f_n – f\|_\infty = \|f_n\|_\infty = n/4 \not\to 0\) : la convergence n’est pas uniforme.
Solution de la question 3 :
\[ \int_0^1 f_n(x)\,dx = \int_0^{1/n} n^2 x(1-nx)\,dx = n^2 \left[\frac{x^2}{2} – \frac{nx^3}{3}\right]_0^{1/n} = n^2\left(\frac{1}{2n^2} – \frac{1}{3n^2}\right) = \frac{1}{6}. \]
Ainsi \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \int_0^1 f_n = \frac{1}{6} \neq 0 = \int_0^1 f\). L’interversion limite-intégrale échoue ici, précisément parce que la convergence n’est pas uniforme.
Interversion limite et intégrale : théorèmes et applications
L’un des objectifs principaux de l’étude des suites de fonctions est de savoir quand on peut écrire \(\lim \int f_n = \int \lim f_n\). La convergence uniforme sur un segment suffit ; la convergence dominée de Lebesgue est plus générale. Les exercices suivants illustrent ces deux approches, en lien avec les méthodes de calcul d’intégrales.
Exercice 6 : Calcul d’une limite d’intégrales sans convergence uniforme
Moyen
Pour \(n \geq 1\), on pose :
\[ I_n = \int_0^1 \frac{n x^n}{1 + x}\,dx. \]
- Montrer que la suite de fonctions \(g_n(x) = \dfrac{n x^n}{1+x}\) converge simplement vers \(0\) sur \([0,1[\) et déterminer \(g_n(1)\).
- Expliquer pourquoi la convergence simple ne permet pas d’intervertir directement limite et intégrale sur \([0,1]\).
- Montrer que \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} I_n = \dfrac{1}{2}\).
Indication
La masse de \(n x^n\) se concentre près de \(x=1\). Pour rendre l’argument rigoureux, coupez l’intégrale sur \([0,1-\delta]\) et \([1-\delta,1]\), puis utilisez que \(\frac{1}{1+x}\) est proche de \(\frac{1}{2}\) près de 1.
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Pour \(x \in [0,1[\) fixé, \(x^n \to 0\) et même \(n x^n \to 0\), donc \(g_n(x) \to 0\). En revanche, en \(x=1\), on a \(g_n(1)=\dfrac{n}{2}\to+\infty\).
Solution de la question 2 :
La convergence n’est pas uniforme sur \([0,1]\), puisque \(g_n(1)=n/2\). On ne peut donc pas conclure que \(\int_0^1 g_n(x)\,dx\) tend vers l’intégrale de la limite simple.
Solution de la question 3 :
On écrit :
\[ I_n-\frac{1}{2}\int_0^1 n x^n\,dx =\int_0^1 n x^n\left(\frac{1}{1+x}-\frac{1}{2}\right)dx. \]
Or \(\displaystyle \int_0^1 n x^n\,dx=\dfrac{n}{n+1}\to 1\). Il suffit donc de montrer que l’intégrale d’erreur tend vers 0. Soit \(\varepsilon>0\). Sur \([1-\delta,1]\), on choisit \(\delta>0\) tel que \(\left|\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{1}{2}\right|\leq \varepsilon\). Sur \([0,1-\delta]\), on a \(x^n\leq(1-\delta)^n\), donc la contribution tend vers 0. Ainsi :
\[ \int_0^1 n x^n\left(\frac{1}{1+x}-\frac{1}{2}\right)dx \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0. \]
Par conséquent :
\[ I_n \sim \frac{1}{2}\cdot\frac{n}{n+1} \quad\text{et donc}\quad \lim_{n\to+\infty} I_n=\frac{1}{2}. \]
Exercice 7 : Sommes de Riemann et convergence uniforme
Moyen
Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) une fonction continue, et soient \(a < b\) deux réels. Pour \(x \in [a,b]\), on définit :
\[ f_n(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1} f\!\left(x + \frac{i}{n}\right). \]
- Montrer que pour chaque \(x \in [a,b]\) fixé, \(f_n(x)\) est une somme de Riemann et calculer \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} f_n(x)\).
- Montrer que la convergence est uniforme sur \([a,b]\).
Indication
Pour la question 1, reconnaissez la somme de Riemann de \(f\) sur \([x, x+1]\). Pour l’uniformité, utilisez la continuité uniforme de \(f\) sur le compact \([a, b+1]\).
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Pour \(x\) fixé, \(f_n(x) = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} f\!\left(x+\dfrac{i}{n}\right)\) est la somme de Riemann de \(f\) sur \([x, x+1]\) (subdivision uniforme, pas \(1/n\), point gauche). Puisque \(f\) est continue, donc intégrable sur \([x,x+1]\) :
\[ f_n(x) \xrightarrow[n\to+\infty]{} \int_x^{x+1} f(t)\,dt =: F(x). \]
Solution de la question 2 :
Les points \(x+i/n\), avec \(x\in[a,b]\) et \(0\leq i\leq n-1\), restent dans le compact \(K=[a,b+1]\). La fonction \(f\) est donc uniformément continue sur \(K\). Posons \(F(x)=\int_x^{x+1} f(t)\,dt=\int_0^1 f(x+t)\,dt\). Alors :
\[ \left|f_n(x)-F(x)\right| \leq \sum_{i=0}^{n-1}\int_{i/n}^{(i+1)/n}\left|f\!\left(x+\frac{i}{n}\right)-f(x+t)\right|dt. \]
Lorsque \(t\in[i/n,(i+1)/n]\), on a \(\left|\left(x+\frac{i}{n}\right)-(x+t)\right|\leq\frac{1}{n}\). Par continuité uniforme, le membre de droite tend vers 0 indépendamment de \(x\in[a,b]\). La convergence est donc uniforme sur \([a,b]\).
Régularité de la fonction limite : continuité et dérivabilité
Quand la convergence est uniforme, la limite hérite de nombreuses propriétés des \(f_n\). Les exercices de cette section traitent de la continuité de la limite et du théorème de dérivation terme à terme, deux résultats fondamentaux que les concours exploitent régulièrement.
Exercice 8 : La limite uniforme d’une suite de fonctions lipschitziennes
Moyen
Soit \((f_n)\) une suite de fonctions \(M\)-lipschitziennes sur \([0,1]\) (avec \(M > 0\) indépendant de \(n\)), convergeant simplement vers \(f : [0,1] \to \mathbb{R}\).
- Montrer que \(f\) est lipschitzienne de constante \(M\) sur \([0,1]\).
- En déduire que la convergence simple est en fait uniforme sur \([0,1]\).
Indication
Pour la question 1, partez de \(|f_n(x) – f_n(y)| \leq M|x-y|\) et passez à la limite. Pour la question 2, utilisez la lipschitzianité de \(f\) pour montrer que \((f_n)\) est équicontinue, puis concluez avec le théorème d’Arzelà-Ascoli ou directement par un découpage en trois termes.
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Soient \(x, y \in [0,1]\). Pour tout \(n\), \(|f_n(x) – f_n(y)| \leq M|x-y|\). En faisant tendre \(n \to +\infty\) (passage à la limite dans une inégalité) : \(|f(x)-f(y)| \leq M|x-y|\). Donc \(f\) est \(M\)-lipschitzienne.
Solution de la question 2 :
Soit \(\varepsilon > 0\). On couvre \([0,1]\) par un nombre fini de points \(x_1, \ldots, x_k\) tels que tout \(x\) soit à distance \(\leq \varepsilon/(3M)\) de l’un d’eux. Par convergence simple, pour chaque \(x_j\) il existe \(N_j\) tel que \(n \geq N_j \Rightarrow |f_n(x_j)-f(x_j)| \leq \varepsilon/3\). Posons \(N = \max_j N_j\). Pour \(n \geq N\) et \(x\) quelconque, il existe \(x_j\) avec \(|x-x_j| \leq \varepsilon/(3M)\), et :
\[ |f_n(x)-f(x)| \leq \underbrace{|f_n(x)-f_n(x_j)|}_{\leq M|x-x_j| \leq \varepsilon/3} + \underbrace{|f_n(x_j)-f(x_j)|}_{\leq \varepsilon/3} + \underbrace{|f(x_j)-f(x)|}_{\leq M|x-x_j| \leq \varepsilon/3} \leq \varepsilon. \]
La convergence est donc uniforme sur \([0,1]\).
Exercice 9 : Dérivabilité de la limite — théorème de dérivation terme à terme
Difficile
Pour \(n \geq 1\), on pose \(f_n(x) = \dfrac{\sin(nx)}{n}\) sur \(\mathbb{R}\).
- Montrer que \((f_n)\) converge uniformément sur \(\mathbb{R}\) vers une fonction \(f\) que l’on précisera.
- Calculer \(f_n'(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). La suite \((f_n’)\) converge-t-elle simplement ? Uniformément ?
- La suite \((f_n’)\) converge-t-elle vers \(f’\) ? Que cela illustre-t-il concernant les hypothèses du théorème de dérivation terme à terme ?
Indication
Pour la question 1, majorez \(|f_n(x)|\) par \(1/n\). Pour la question 2, remarquez que \(f_n'(x) = \cos(nx)\) ne converge vers aucune limite pour \(x \neq 0\). La question 3 montre que la convergence simple des \(f_n\) vers \(f\) ne suffit pas à garantir \(f_n’ \to f’\).
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Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) et tout \(n \geq 1\) : \(|f_n(x)| = \dfrac{|\sin(nx)|}{n} \leq \dfrac{1}{n}\). Donc \(\|f_n\|_\infty \leq \dfrac{1}{n} \to 0\). La suite converge uniformément sur \(\mathbb{R}\) vers \(f \equiv 0\).
Solution de la question 2 :
On a \(f_n'(x) = \cos(nx)\). Pour \(x = 0\) : \(f_n'(0) = 1 \to 1\). Pour \(x \neq 0\), la suite \((\cos(nx))\) n’admet pas de limite (elle oscille entre \(-1\) et \(1\)). La suite \((f_n’)\) ne converge donc pas simplement sur \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\), et a fortiori pas uniformément.
Solution de la question 3 :
La fonction limite est \(f \equiv 0\), donc \(f'(x) = 0\) pour tout \(x\). Or \(f_n'(0) = 1 \not\to 0 = f'(0)\). La dérivée de la limite n’est donc pas la limite des dérivées. Cela illustre que pour le théorème de dérivation terme à terme, il ne suffit pas de supposer la convergence uniforme des \(f_n\) : on doit aussi supposer que la suite des dérivées \((f_n’)\) converge uniformément.
Exercice 10 : Suite de polynômes convergeant uniformément — caractérisation de la limite
Difficile
Soit \((P_n)\) une suite de fonctions polynomiales convergeant uniformément vers une fonction \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\).
- Montrer qu’il existe un entier \(N\) tel que pour tout \(n \geq N\) et tout \(x \in \mathbb{R}\), \(|P_n(x) – P_N(x)| \leq 1\).
- En posant \(Q_n = P_n – P_N\) pour \(n \geq N\), montrer que \(Q_n\) est un polynôme borné sur \(\mathbb{R}\), puis en déduire que \(Q_n\) est une constante.
- Conclure que \(f\) est nécessairement une fonction polynomiale.
Indication
Pour la question 1, utilisez la définition de la convergence uniforme avec \(\varepsilon = 1/2\), puis l’inégalité triangulaire pour passer de \(\|P_n – f\|\) et \(\|P_N – f\|\) à \(\|P_n – P_N\|\). Pour la question 2, le seul polynôme borné sur \(\mathbb{R}\) est le polynôme constant.
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Par convergence uniforme de \((P_n)\) vers \(f\), pour \(\varepsilon = 1/2\), il existe \(N\) tel que pour tout \(n \geq N\) et tout \(x \in \mathbb{R}\) : \(|P_n(x) – f(x)| \leq \dfrac{1}{2}\). Par l’inégalité triangulaire :
\[ |P_n(x) – P_N(x)| \leq |P_n(x)-f(x)| + |f(x)-P_N(x)| \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1. \]
Solution de la question 2 :
\(Q_n = P_n – P_N\) est un polynôme (différence de polynômes). Il vérifie \(|Q_n(x)| \leq 1\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Or un polynôme non constant est non borné sur \(\mathbb{R}\) (son module tend vers \(+\infty\) quand \(|x| \to +\infty\)). Donc \(Q_n\) est nécessairement un polynôme de degré \(0\), i.e. une constante \(c_n \in \mathbb{R}\).
Solution de la question 3 :
On a \(P_n = P_N + c_n\) pour tout \(n \geq N\). En évaluant en \(x = 0\) : \(P_n(0) \to f(0)\), donc \((c_n)\) est convergente de limite \(\lambda = f(0) – P_N(0)\). Par unicité de la limite uniforme, \(f = P_N + \lambda\), qui est bien une fonction polynomiale.