Suites de fonctions exercices corrigés

Solution de la question 1 :

Soit $x \in [0,1[$. Puisque $|x| < 1$, on a $\lim_{n \to +\infty} x^n = 0$. Pour $x = 1$, on a $1^n = 1$ pour tout $n$. La suite $(f_n)$ converge donc simplement sur $[0,1]$ vers la fonction :

$$f(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \in [0,1[, \\ 1 & \text{si } x = 1. \end{cases}$$ Solution de la question 2 :

Chaque $f_n$ est continue sur $[0,1]$. Pourtant la fonction limite $f$ est discontinue en $x=1$ : elle vaut $0$ pour $x < 1$ et $1$ pour $x=1$. La continuité n'est donc pas préservée par convergence simple, ce qui illustre pourquoi une notion plus forte (la convergence uniforme) est nécessaire.

Solution de la question 1 :

Pour $x = 0$ : $f_n(0) = 0$ pour tout $n$. Pour $x \neq 0$, on écrit $f_n(x) = \dfrac{nx}{n^2 x^2(1/(n^2x^2)+1)} = \dfrac{1}{nx(1+1/(n^2x^2))}$. Lorsque $n \to +\infty$, $\dfrac{1}{nx} \to 0$, donc $f_n(x) \to 0$. La fonction limite est $f \equiv 0$ sur $\mathbb{R}$.

Solution de la question 2 :

On calcule $f_n'(x) = \dfrac{n(1-n^2x^2)}{(1+n^2x^2)^2}$. Celle-ci s'annule pour $x = \pm 1/n$. On obtient $f_n(1/n) = \dfrac{n \cdot (1/n)}{1 + n^2 \cdot (1/n^2)} = \dfrac{1}{2}$. Donc :

$$\sup_{x \in \mathbb{R}} |f_n(x)| = \frac{1}{2} \quad \text{pour tout } n \geq 1.$$

Ce sup ne tend pas vers $0$, donc la convergence n'est pas uniforme sur $\mathbb{R}$.

Solution de la question 1 :

Pour $x \geq 0$ fixé, si $x=0$ : $f_n(0)=0$. Si $x>0$ : $f_n(x) = \dfrac{x}{1+nx^2} \leq \dfrac{x}{nx^2} = \dfrac{1}{nx} \to 0$. La convergence simple vers $f=0$ est établie.

Solution de la question 2 :

On cherche $\sup_{x \geq 0} f_n(x)$. On calcule $f_n'(x) = \dfrac{1-nx^2}{(1+nx^2)^2}$, qui s'annule en $x_0 = 1/\sqrt{n}$. On obtient $f_n(x_0) = \dfrac{1/\sqrt{n}}{2} = \dfrac{1}{2\sqrt{n}}$. Donc $\|f_n\|_\infty = \dfrac{1}{2\sqrt{n}} \to 0$ : la convergence est uniforme sur $\mathbb{R}_+$.

Sur $[a,+\infty[$ avec $a>0$, on peut majorer encore plus simplement : $f_n(x) \leq \dfrac{1}{nx} \leq \dfrac{1}{na} \to 0$.

Question 1 :

Convergence simple : Vrai. Si $x \leq y$, alors $f_n(x) \leq f_n(y)$ pour tout $n$, et en passant à la limite : $f(x) \leq f(y)$. Les inégalités larges se conservent à la limite.

Convergence uniforme : Vrai également (le même argument suffit).

Question 2 :

Convergence simple : Faux. Contre-exemple : $f_n(x) = x^n$ sur $[0,1]$. Chaque $f_n$ est continue, mais la limite $f$ vaut $0$ sur $[0,1[$ et $1$ en $1$ : elle est discontinue en $1$.

Convergence uniforme : Vrai. C'est le théorème fondamental : la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue.

Question 3 :

Convergence simple : Vrai. Pour tout $x$, $f_n(x+T) = f_n(x)$ pour tout $n$, donc à la limite $f(x+T) = f(x)$.

Convergence uniforme : Vrai (même argument).

Solution de la question 1 :

Pour $x = 0$ : $f_n(0) = 0$. Pour $x \in (0,1]$ fixé, il existe $N$ tel que pour $n \geq N$, $x > 1/n$, donc $f_n(x) = 0$. La limite simple est $f \equiv 0$.

Solution de la question 2 :

Le maximum de $f_n$ sur $[0,1/n]$ est atteint en $x = 1/(2n)$ :

$$f_n\!\left(\tfrac{1}{2n}\right) = n^2 \cdot \tfrac{1}{2n} \cdot \left(1 - n \cdot \tfrac{1}{2n}\right) = n^2 \cdot \tfrac{1}{2n} \cdot \tfrac{1}{2} = \frac{n}{4} \xrightarrow[n\to+\infty]{} +\infty.$$

Donc $\|f_n - f\|_\infty = \|f_n\|_\infty = n/4 \not\to 0$ : la convergence n'est pas uniforme.

Solution de la question 3 : $$\int_0^1 f_n(x)\,dx = \int_0^{1/n} n^2 x(1-nx)\,dx = n^2 \left[\frac{x^2}{2} - \frac{nx^3}{3}\right]_0^{1/n} = n^2\left(\frac{1}{2n^2} - \frac{1}{3n^2}\right) = \frac{1}{6}.$$

Ainsi $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \int_0^1 f_n = \frac{1}{6} \neq 0 = \int_0^1 f$. L'interversion limite-intégrale échoue ici, précisément parce que la convergence n'est pas uniforme.

Solution de la question 1 :

Pour $x \in [0,1[$ fixé, $x^n \to 0$ et même $n x^n \to 0$, donc $g_n(x) \to 0$. En revanche, en $x=1$, on a $g_n(1)=\dfrac{n}{2}\to+\infty$.

Solution de la question 2 :

La convergence n'est pas uniforme sur $[0,1]$, puisque $g_n(1)=n/2$. On ne peut donc pas conclure que $\int_0^1 g_n(x)\,dx$ tend vers l'intégrale de la limite simple.

Solution de la question 3 :

On écrit :

$$I_n-\frac{1}{2}\int_0^1 n x^n\,dx =\int_0^1 n x^n\left(\frac{1}{1+x}-\frac{1}{2}\right)dx.$$

Or $\displaystyle \int_0^1 n x^n\,dx=\dfrac{n}{n+1}\to 1$. Il suffit donc de montrer que l'intégrale d'erreur tend vers 0. Soit $\varepsilon>0$. Sur $[1-\delta,1]$, on choisit $\delta>0$ tel que $\left|\dfrac{1}{1+x}-\dfrac{1}{2}\right|\leq \varepsilon$. Sur $[0,1-\delta]$, on a $x^n\leq(1-\delta)^n$, donc la contribution tend vers 0. Ainsi :

$$\int_0^1 n x^n\left(\frac{1}{1+x}-\frac{1}{2}\right)dx \xrightarrow[n\to+\infty]{} 0.$$

Par conséquent :

$$I_n \sim \frac{1}{2}\cdot\frac{n}{n+1} \quad\text{et donc}\quad \lim_{n\to+\infty} I_n=\frac{1}{2}.$$

Solution de la question 1 :

Pour $x$ fixé, $f_n(x) = \dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1} f\!\left(x+\dfrac{i}{n}\right)$ est la somme de Riemann de $f$ sur $[x, x+1]$ (subdivision uniforme, pas $1/n$, point gauche). Puisque $f$ est continue, donc intégrable sur $[x,x+1]$ :

$$f_n(x) \xrightarrow[n\to+\infty]{} \int_x^{x+1} f(t)\,dt =: F(x).$$ Solution de la question 2 :

Les points $x+i/n$, avec $x\in[a,b]$ et $0\leq i\leq n-1$, restent dans le compact $K=[a,b+1]$. La fonction $f$ est donc uniformément continue sur $K$. Posons $F(x)=\int_x^{x+1} f(t)\,dt=\int_0^1 f(x+t)\,dt$. Alors :

$$\left|f_n(x)-F(x)\right| \leq \sum_{i=0}^{n-1}\int_{i/n}^{(i+1)/n}\left|f\!\left(x+\frac{i}{n}\right)-f(x+t)\right|dt.$$

Lorsque $t\in[i/n,(i+1)/n]$, on a $\left|\left(x+\frac{i}{n}\right)-(x+t)\right|\leq\frac{1}{n}$. Par continuité uniforme, le membre de droite tend vers 0 indépendamment de $x\in[a,b]$. La convergence est donc uniforme sur $[a,b]$.

Solution de la question 1 :

Soient $x, y \in [0,1]$. Pour tout $n$, $|f_n(x) - f_n(y)| \leq M|x-y|$. En faisant tendre $n \to +\infty$ (passage à la limite dans une inégalité) : $|f(x)-f(y)| \leq M|x-y|$. Donc $f$ est $M$-lipschitzienne.

Solution de la question 2 :

Soit $\varepsilon > 0$. On couvre $[0,1]$ par un nombre fini de points $x_1, \ldots, x_k$ tels que tout $x$ soit à distance $\leq \varepsilon/(3M)$ de l'un d'eux. Par convergence simple, pour chaque $x_j$ il existe $N_j$ tel que $n \geq N_j \Rightarrow |f_n(x_j)-f(x_j)| \leq \varepsilon/3$. Posons $N = \max_j N_j$. Pour $n \geq N$ et $x$ quelconque, il existe $x_j$ avec $|x-x_j| \leq \varepsilon/(3M)$, et :

$$|f_n(x)-f(x)| \leq \underbrace{|f_n(x)-f_n(x_j)|}_{\leq M|x-x_j| \leq \varepsilon/3} + \underbrace{|f_n(x_j)-f(x_j)|}_{\leq \varepsilon/3} + \underbrace{|f(x_j)-f(x)|}_{\leq M|x-x_j| \leq \varepsilon/3} \leq \varepsilon.$$

La convergence est donc uniforme sur $[0,1]$.

Solution de la question 1 :

Pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $n \geq 1$ : $|f_n(x)| = \dfrac{|\sin(nx)|}{n} \leq \dfrac{1}{n}$. Donc $\|f_n\|_\infty \leq \dfrac{1}{n} \to 0$. La suite converge uniformément sur $\mathbb{R}$ vers $f \equiv 0$.

Solution de la question 2 :

On a $f_n'(x) = \cos(nx)$. Pour $x = 0$ : $f_n'(0) = 1 \to 1$. Pour $x \neq 0$, la suite $(\cos(nx))$ n'admet pas de limite (elle oscille entre $-1$ et $1$). La suite $(f_n')$ ne converge donc pas simplement sur $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, et a fortiori pas uniformément.

Solution de la question 3 :

La fonction limite est $f \equiv 0$, donc $f'(x) = 0$ pour tout $x$. Or $f_n'(0) = 1 \not\to 0 = f'(0)$. La dérivée de la limite n'est donc pas la limite des dérivées. Cela illustre que pour le théorème de dérivation terme à terme, il ne suffit pas de supposer la convergence uniforme des $f_n$ : on doit aussi supposer que la suite des dérivées $(f_n')$ converge uniformément.

Solution de la question 1 :

Par convergence uniforme de $(P_n)$ vers $f$, pour $\varepsilon = 1/2$, il existe $N$ tel que pour tout $n \geq N$ et tout $x \in \mathbb{R}$ : $|P_n(x) - f(x)| \leq \dfrac{1}{2}$. Par l'inégalité triangulaire :

$$|P_n(x) - P_N(x)| \leq |P_n(x)-f(x)| + |f(x)-P_N(x)| \leq \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.$$ Solution de la question 2 :

$Q_n = P_n - P_N$ est un polynôme (différence de polynômes). Il vérifie $|Q_n(x)| \leq 1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Or un polynôme non constant est non borné sur $\mathbb{R}$ (son module tend vers $+\infty$ quand $|x| \to +\infty$). Donc $Q_n$ est nécessairement un polynôme de degré $0$, i.e. une constante $c_n \in \mathbb{R}$.

Solution de la question 3 :

On a $P_n = P_N + c_n$ pour tout $n \geq N$. En évaluant en $x = 0$ : $P_n(0) \to f(0)$, donc $(c_n)$ est convergente de limite $\lambda = f(0) - P_N(0)$. Par unicité de la limite uniforme, $f = P_N + \lambda$, qui est bien une fonction polynomiale.