Calcul d’intégrales exercices corrigés

Le calcul d'intégrales est l'une des compétences fondamentales des mathématiques de Terminale et du supérieur. Maîtriser le calcul d'une intégrale définie suppose de savoir déterminer une primitive d'une fonction, d'appliquer les propriétés de linéarité et de relation de Chasles, puis de mettre en œuvre des techniques plus avancées telles que l'intégration par parties ou le changement de variable. Cette page propose une progression pédagogique complète (du calcul direct de primitives usuelles jusqu'aux suites d'intégrales et au calcul d'aires) avec, pour chaque exercice, une indication guidée et un corrigé détaillé pas à pas.

Primitives usuelles et calcul direct d’intégrales

Exercice 1 : Intégrales de polynômes

Facile

On considère les fonctions polynomiales suivantes, définies sur R\mathbb{R}.

  1. Calculer I=∫02(3x2−4x+1) dx\displaystyle I = \int_{0}^{2} (3x^2 - 4x + 1)\, dx.
  2. Calculer J=∫−13(x3−2x) dx\displaystyle J = \int_{-1}^{3} (x^3 - 2x)\, dx.
Indication

Pour chaque terme de la forme xnx^n, la primitive est xn+1n+1\dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Calculer la primitive de l'expression entière, puis appliquer la règle de Barrow : ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a).

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Solution de la question 1 :

Une primitive de 3x2−4x+13x^2 - 4x + 1 est F(x)=x3−2x2+xF(x) = x^3 - 2x^2 + x.

I=[x3−2x2+x]02=(8−8+2)−(0)=2 I = \left[x^3 - 2x^2 + x\right]_0^2 = \bigl(8 - 8 + 2\bigr) - \bigl(0\bigr) = 2 Solution de la question 2 :

Une primitive de x3−2xx^3 - 2x est G(x)=x44−x2G(x) = \dfrac{x^4}{4} - x^2.

J=[x44−x2]−13=(814−9)−(14−1)=814−9−14+1=804−8=20−8=12 J = \left[\frac{x^4}{4} - x^2\right]_{-1}^{3} = \left(\frac{81}{4} - 9\right) - \left(\frac{1}{4} - 1\right) = \frac{81}{4} - 9 - \frac{1}{4} + 1 = \frac{80}{4} - 8 = 20 - 8 = 12

Exercice 2 : Primitives de fonctions exponentielles et trigonométriques

Facile

Calculer les intégrales suivantes en utilisant le tableau des primitives usuelles.

  1. I=∫01(2ex+3cos⁡x) dx\displaystyle I = \int_{0}^{1} (2e^x + 3\cos x)\, dx
  2. J=∫0πsin⁡(2x) dx\displaystyle J = \int_{0}^{\pi} \sin(2x)\, dx
Indication

Rappeler que la primitive de exe^x est exe^x, celle de cos⁡x\cos x est sin⁡x\sin x, et celle de sin⁡(ax)\sin(ax) est −1acos⁡(ax)-\dfrac{1}{a}\cos(ax). Utiliser la linéarité de l'intégrale pour traiter chaque terme séparément.

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Solution de la question 1 :

Par linéarité, une primitive de 2ex+3cos⁡x2e^x + 3\cos x est F(x)=2ex+3sin⁡xF(x) = 2e^x + 3\sin x.

I=[2ex+3sin⁡x]01=(2e+3sin⁡1)−(2+0)=2e+3sin⁡1−2 I = \left[2e^x + 3\sin x\right]_0^1 = \bigl(2e + 3\sin 1\bigr) - \bigl(2 + 0\bigr) = 2e + 3\sin 1 - 2 Solution de la question 2 :

Une primitive de sin⁡(2x)\sin(2x) est −12cos⁡(2x)-\dfrac{1}{2}\cos(2x).

J=[−12cos⁡(2x)]0π=−12cos⁡(2π)+12cos⁡(0)=−12(1)+12(1)=0 J = \left[-\frac{1}{2}\cos(2x)\right]_0^{\pi} = -\frac{1}{2}\cos(2\pi) + \frac{1}{2}\cos(0) = -\frac{1}{2}(1) + \frac{1}{2}(1) = 0

Ce résultat est cohérent : la fonction sin⁡(2x)\sin(2x) est symétrique sur [0,π][0,\pi] et les aires s'annulent.

Exercice 3 : Reconnaissance de forme (dérivée d’une composée)

Moyen

Pour chacune des intégrales suivantes, reconnaître la structure u′u\dfrac{u'}{u} ou u′⋅f(u)u' \cdot f(u) afin d'obtenir directement une primitive.

  1. I=∫1e2xx2+1 dx\displaystyle I = \int_{1}^{e} \frac{2x}{x^2 + 1}\, dx
  2. J=∫01x ex2 dx\displaystyle J = \int_{0}^{1} x\, e^{x^2}\, dx
  3. K=∫0π2cos⁡(x) sin⁡x dx\displaystyle K = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x)\,\sqrt{\sin x}\, dx
Indication

Pour la question 1, identifier u=x2+1u = x^2+1 et u′=2xu' = 2x : l'intégrale est de la forme ∫u′u dx=ln⁡∣u∣+C\displaystyle\int \frac{u'}{u}\,dx = \ln|u| + C. Pour la question 2, poser mentalement u=x2u = x^2 et constater que u′=2xu' = 2x, ce qui impose un facteur 12\frac{1}{2}. Pour la question 3, identifier u=sin⁡xu = \sin x et u′=cos⁡xu' = \cos x.

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Solution de la question 1 :

On reconnaît u′u\dfrac{u'}{u} avec u=x2+1u = x^2+1, donc une primitive est ln⁡(x2+1)\ln(x^2+1).

I=[ln⁡(x2+1)]1e=ln⁡(e2+1)−ln⁡2 I = \left[\ln(x^2+1)\right]_1^e = \ln(e^2+1) - \ln 2 Solution de la question 2 :

On écrit x ex2=12(2x) ex2x\,e^{x^2} = \dfrac{1}{2}(2x)\,e^{x^2}. Une primitive est 12ex2\dfrac{1}{2}e^{x^2}.

J=[12ex2]01=12e1−12e0=e−12 J = \left[\frac{1}{2}e^{x^2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}e^1 - \frac{1}{2}e^0 = \frac{e-1}{2} Solution de la question 3 :

On reconnaît u′⋅u1/2u' \cdot u^{1/2} avec u=sin⁡xu = \sin x. Une primitive est 23(sin⁡x)3/2\dfrac{2}{3}(\sin x)^{3/2}.

K=[23(sin⁡x)3/2]0π/2=23(1)3/2−23(0)3/2=23 K = \left[\frac{2}{3}(\sin x)^{3/2}\right]_0^{\pi/2} = \frac{2}{3}(1)^{3/2} - \frac{2}{3}(0)^{3/2} = \frac{2}{3}

Propriétés de l’intégrale : linéarité, Chasles et encadrement

Exercice 4 : Relation de Chasles et décomposition d’intervalle

Facile

Soit ff la fonction définie sur [−3,4][-3, 4] telle que :

f(x)={2x+6si x∈[−3,0]3−xsi x∈[0,4] f(x) = \begin{cases} 2x + 6 & \text{si } x \in [-3, 0] \\ 3 - x & \text{si } x \in [0, 4] \end{cases}
  1. Vérifier que ff est continue en 00.
  2. Calculer ∫−34f(x) dx\displaystyle\int_{-3}^{4} f(x)\, dx en utilisant la relation de Chasles.
Indication

La relation de Chasles indique que ∫−34f(x) dx=∫−30f(x) dx+∫04f(x) dx\displaystyle\int_{-3}^{4} f(x)\,dx = \int_{-3}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{4} f(x)\,dx. Calculer chaque intégrale séparément en utilisant la définition de ff sur chaque sous-intervalle.

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Solution de la question 1 :

On vérifie : lim⁡x→0−(2x+6)=6\lim_{x \to 0^-}(2x+6) = 6 et f(0)=3−0=3f(0) = 3 - 0 = 3. Comme 6≠36 \neq 3, la fonction n'est pas continue en 00. (Elle est cependant intégrable sur [−3,4][-3,4] car elle est bornée et n'a qu'un seul point de discontinuité.)

Solution de la question 2 : ∫−30(2x+6) dx=[x2+6x]−30=0−(9−18)=9 \int_{-3}^{0}(2x+6)\,dx = \left[x^2 + 6x\right]_{-3}^{0} = 0 - (9 - 18) = 9 ∫04(3−x) dx=[3x−x22]04=(12−8)−0=4 \int_{0}^{4}(3-x)\,dx = \left[3x - \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{4} = \left(12 - 8\right) - 0 = 4 ∫−34f(x) dx=9+4=13 \int_{-3}^{4} f(x)\,dx = 9 + 4 = 13

Exercice 5 : Encadrement d’une intégrale

Moyen

On considère la fonction f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2} sur l'intervalle [0,1][0, 1].

  1. Montrer que pour tout x∈[0,1]x \in [0,1], on a e−1≤e−x2≤1e^{-1} \leq e^{-x^2} \leq 1.
  2. En déduire un encadrement de I=∫01e−x2 dx\displaystyle I = \int_{0}^{1} e^{-x^2}\, dx.
Indication

Pour la question 1, étudier les variations de x↦−x2x \mapsto -x^2 sur [0,1][0,1] afin d'encadrer l'exposant, puis conclure sur e−x2e^{-x^2} en utilisant la monotonie de l'exponentielle. Pour la question 2, intégrer l'encadrement sur [0,1][0,1].

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Solution de la question 1 :

Pour x∈[0,1]x \in [0,1], on a 0≤x2≤10 \leq x^2 \leq 1, donc −1≤−x2≤0-1 \leq -x^2 \leq 0. Comme l'exponentielle est strictement croissante :

e−1≤e−x2≤e0=1 e^{-1} \leq e^{-x^2} \leq e^{0} = 1 Solution de la question 2 :

En intégrant l'encadrement sur [0,1][0,1] (intervalle de longueur 1) :

∫01e−1 dx≤∫01e−x2 dx≤∫011 dx \int_{0}^{1} e^{-1}\, dx \leq \int_{0}^{1} e^{-x^2}\, dx \leq \int_{0}^{1} 1\, dx 1e≤I≤1 \boxed{\frac{1}{e} \leq I \leq 1}

La valeur exacte de II n'est pas calculable à l'aide des primitives élémentaires ; cet encadrement est donc particulièrement utile.

Intégration par parties

Exercice 6 : Première intégration par parties

Facile

Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'une intégration par parties.

  1. I=∫01x ex dx\displaystyle I = \int_{0}^{1} x\,e^x\, dx
  2. J=∫1eln⁡x dx\displaystyle J = \int_{1}^{e} \ln x\, dx
Indication

Rappel de la formule : ∫abu v′ dx=[u v]ab−∫abu′ v dx\displaystyle\int_a^b u\,v'\,dx = \bigl[u\,v\bigr]_a^b - \int_a^b u'\,v\,dx. Pour la question 1, poser u=xu = x et v′=exv' = e^x. Pour la question 2, poser u=ln⁡xu = \ln x et v′=1v' = 1 (astuce classique pour intégrer le logarithme).

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Solution de la question 1 :

On pose u=xu = x, v′=exv' = e^x, d'où u′=1u' = 1 et v=exv = e^x.

I=[x ex]01−∫01ex dx=(e−0)−[ex]01=e−(e−1)=1 I = \left[x\,e^x\right]_0^1 - \int_0^1 e^x\, dx = \bigl(e - 0\bigr) - \left[e^x\right]_0^1 = e - (e - 1) = 1 Solution de la question 2 :

On pose u=ln⁡xu = \ln x, v′=1v' = 1, d'où u′=1xu' = \dfrac{1}{x} et v=xv = x.

J=[xln⁡x]1e−∫1exx dx=(e⋅1−1⋅0)−[x]1e=e−(e−1)=1 J = \left[x\ln x\right]_1^e - \int_1^e \frac{x}{x}\, dx = \bigl(e\cdot 1 - 1\cdot 0\bigr) - \left[x\right]_1^e = e - (e - 1) = 1

Exercice 7 : Double intégration par parties

Moyen

Calculer les intégrales suivantes, qui nécessitent deux intégrations par parties successives.

  1. I=∫0πx2cos⁡x dx\displaystyle I = \int_{0}^{\pi} x^2 \cos x\, dx
  2. J=∫1ex2ln⁡x dx\displaystyle J = \int_{1}^{e} x^2 \ln x\, dx
Indication

Pour la question 1, effectuer une première IPP avec u=x2u = x^2 et v′=cos⁡xv' = \cos x. L'intégrale résultante fera apparaître xsin⁡xx \sin x, qui nécessite une seconde IPP. Pour la question 2, poser u=ln⁡xu = \ln x et v′=x2v' = x^2 à la première étape.

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Solution de la question 1 :

Première IPP : u=x2u = x^2, v′=cos⁡xv' = \cos x, donc u′=2xu' = 2x, v=sin⁡xv = \sin x.

I=[x2sin⁡x]0π−∫0π2xsin⁡x dx=0−2∫0πxsin⁡x dx I = \left[x^2 \sin x\right]_0^{\pi} - \int_0^{\pi} 2x \sin x\, dx = 0 - 2\int_0^{\pi} x \sin x\, dx

Seconde IPP : u=xu = x, v′=sin⁡xv' = \sin x, donc u′=1u' = 1, v=−cos⁡xv = -\cos x.

∫0πxsin⁡x dx=[−xcos⁡x]0π+∫0πcos⁡x dx=π+[sin⁡x]0π=π+0=π \int_0^{\pi} x \sin x\, dx = \left[-x\cos x\right]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos x\, dx = \pi + \left[\sin x\right]_0^{\pi} = \pi + 0 = \pi I=−2π I = -2\pi Solution de la question 2 :

IPP : u=ln⁡xu = \ln x, v′=x2v' = x^2, donc u′=1xu' = \dfrac{1}{x}, v=x33v = \dfrac{x^3}{3}.

J=[x33ln⁡x]1e−∫1ex33⋅1x dx=e33−0−13∫1ex2 dx=e33−13[x33]1e J = \left[\frac{x^3}{3}\ln x\right]_1^e - \int_1^e \frac{x^3}{3}\cdot\frac{1}{x}\, dx = \frac{e^3}{3} - 0 - \frac{1}{3}\int_1^e x^2\, dx = \frac{e^3}{3} - \frac{1}{3}\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^e =e33−13⋅e3−13=e33−e3−19=3e3−e3+19=2e3+19 = \frac{e^3}{3} - \frac{1}{3}\cdot\frac{e^3 - 1}{3} = \frac{e^3}{3} - \frac{e^3 - 1}{9} = \frac{3e^3 - e^3 + 1}{9} = \frac{2e^3 + 1}{9}

Exercice 8 : Intégration par parties avec retour à l’intégrale initiale

Difficile

Calculer I=∫0π/2excos⁡x dx\displaystyle I = \int_{0}^{\pi/2} e^x \cos x\, dx.

  1. Effectuer une première intégration par parties en posant u=exu = e^x et v′=cos⁡xv' = \cos x.
  2. Effectuer une seconde intégration par parties sur l'intégrale obtenue.
  3. Exprimer II en fonction de lui-même et en déduire sa valeur.
Indication

Après deux intégrations par parties, l'intégrale II réapparaît dans le membre de droite. Il suffit alors de résoudre l'équation en II ainsi obtenue. Cette méthode est classique pour les produits de la forme eaxcos⁡(bx)e^{ax}\cos(bx) ou eaxsin⁡(bx)e^{ax}\sin(bx).

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Solution de la question 1 :

u=exu = e^x, v′=cos⁡xv' = \cos x, d'où u′=exu' = e^x, v=sin⁡xv = \sin x.

I=[exsin⁡x]0π/2−∫0π/2exsin⁡x dx=eπ/2−∫0π/2exsin⁡x dx I = \left[e^x \sin x\right]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} e^x \sin x\, dx = e^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} e^x \sin x\, dx Solution de la question 2 :

On pose u=exu = e^x, v′=sin⁡xv' = \sin x, d'où u′=exu' = e^x, v=−cos⁡xv = -\cos x.

∫0π/2exsin⁡x dx=[−excos⁡x]0π/2+∫0π/2excos⁡x dx=(0+1)+I=1+I \int_0^{\pi/2} e^x \sin x\, dx = \left[-e^x \cos x\right]_0^{\pi/2} + \int_0^{\pi/2} e^x \cos x\, dx = \bigl(0 + 1\bigr) + I = 1 + I Solution de la question 3 :

En substituant dans l'expression de l'étape 1 :

I=eπ/2−(1+I)  ⟹  2I=eπ/2−1  ⟹  I=eπ/2−12 I = e^{\pi/2} - (1 + I) \implies 2I = e^{\pi/2} - 1 \implies \boxed{I = \frac{e^{\pi/2} - 1}{2}}

Changement de variable

Exercice 9 : Changement de variable affine

Facile

Calculer les intégrales suivantes par un changement de variable simple.

  1. I=∫02(2x+1)4 dx\displaystyle I = \int_{0}^{2} (2x+1)^4\, dx, en posant t=2x+1t = 2x+1.
  2. J=∫0π/6sin⁡(3x) dx\displaystyle J = \int_{0}^{\pi/6} \sin(3x)\, dx, en posant t=3xt = 3x.
Indication

Exprimer dxdx en fonction de dtdt et penser à changer les bornes d'intégration : si t=φ(x)t = \varphi(x), alors les bornes aa et bb en xx deviennent φ(a)\varphi(a) et φ(b)\varphi(b) en tt.

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Solution de la question 1 :

t=2x+1⇒dt=2 dx⇒dx=dt2t = 2x+1 \Rightarrow dt = 2\,dx \Rightarrow dx = \dfrac{dt}{2}. Bornes : x=0⇒t=1x=0 \Rightarrow t=1 ; x=2⇒t=5x=2 \Rightarrow t=5.

I=∫15t4⋅dt2=12[t55]15=12⋅55−15=3125−110=312410=312,4 I = \int_1^5 t^4 \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2}\left[\frac{t^5}{5}\right]_1^5 = \frac{1}{2}\cdot\frac{5^5 - 1}{5} = \frac{3125 - 1}{10} = \frac{3124}{10} = 312{,}4 Solution de la question 2 :

t=3x⇒dt=3 dx⇒dx=dt3t = 3x \Rightarrow dt = 3\,dx \Rightarrow dx = \dfrac{dt}{3}. Bornes : x=0⇒t=0x=0 \Rightarrow t=0 ; x=π/6⇒t=π/2x=\pi/6 \Rightarrow t=\pi/2.

J=∫0π/2sin⁡(t)⋅dt3=13[−cos⁡t]0π/2=13(0+1)=13 J = \int_0^{\pi/2} \sin(t)\cdot\frac{dt}{3} = \frac{1}{3}\left[-\cos t\right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{3}(0 + 1) = \frac{1}{3}

Exercice 10 : Changement de variable par substitution trigonométrique

Difficile

Calculer I=∫0111−x2 dx\displaystyle I = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\, dx en posant x=sin⁡tx = \sin t.

  1. Exprimer dxdx en fonction de dtdt et déterminer les nouvelles bornes d'intégration.
  2. Simplifier l'intégrande et calculer l'intégrale résultante.
Indication

Si x=sin⁡tx = \sin t, alors 1−x2=1−sin⁡2t=∣cos⁡t∣=cos⁡t\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2 t} = |\cos t| = \cos t pour t∈[0,π/2]t \in [0, \pi/2]. L'intégrale se simplifie remarquablement. Le résultat fait intervenir arcsin⁡\arcsin.

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Solution de la question 1 :

x=sin⁡t⇒dx=cos⁡t dtx = \sin t \Rightarrow dx = \cos t\, dt. Bornes : x=0⇒t=0x = 0 \Rightarrow t = 0 ; x=1⇒t=π2x = 1 \Rightarrow t = \dfrac{\pi}{2}.

Solution de la question 2 : I=∫0π/2cos⁡t dt1−sin⁡2t=∫0π/2cos⁡tcos⁡t dt=∫0π/21 dt=π2 I = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos t\, dt}{\sqrt{1-\sin^2 t}} = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos t}{\cos t}\, dt = \int_0^{\pi/2} 1\, dt = \frac{\pi}{2}

On retrouve ainsi que ∫01dx1−x2=arcsin⁡(1)−arcsin⁡(0)=π2\displaystyle\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin(1) - \arcsin(0) = \dfrac{\pi}{2}, ce qui est cohérent avec la primitive arcsin⁡x\arcsin x de 11−x2\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Intégrales de fonctions rationnelles

Exercice 11 : Décomposition en éléments simples (cas simple)

Moyen

On souhaite calculer I=∫231x2−1 dx\displaystyle I = \int_{2}^{3} \frac{1}{x^2 - 1}\, dx.

  1. Décomposer 1x2−1\dfrac{1}{x^2-1} en éléments simples de la forme Ax−1+Bx+1\dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+1}.
  2. En déduire la valeur de II.
Indication

Factoriser x2−1=(x−1)(x+1)x^2 - 1 = (x-1)(x+1). Pour trouver AA et BB, multiplier les deux membres par (x−1)(x-1) et faire x=1x = 1 ; de même avec (x+1)(x+1) et x=−1x = -1. La primitive de 1x−a\dfrac{1}{x-a} est ln⁡∣x−a∣\ln|x-a|.

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Solution de la question 1 :

On cherche AA et BB tels que 1(x−1)(x+1)=Ax−1+Bx+1\dfrac{1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+1}.

En multipliant par (x−1)(x-1) et en posant x=1x = 1 : A=12A = \dfrac{1}{2}.

En multipliant par (x+1)(x+1) et en posant x=−1x = -1 : B=−12B = -\dfrac{1}{2}.

1x2−1=12⋅1x−1−12⋅1x+1 \frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x-1} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x+1} Solution de la question 2 : I=∫23(12(x−1)−12(x+1))dx=12[ln⁡∣x−1∣−ln⁡∣x+1∣]23 I = \int_2^3 \left(\frac{1}{2(x-1)} - \frac{1}{2(x+1)}\right)dx = \frac{1}{2}\left[\ln|x-1| - \ln|x+1|\right]_2^3 =12[ln⁡x−1x+1]23=12(ln⁡24−ln⁡13)=12(ln⁡12−ln⁡13)=12ln⁡32 = \frac{1}{2}\left[\ln\frac{x-1}{x+1}\right]_2^3 = \frac{1}{2}\left(\ln\frac{2}{4} - \ln\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2}\left(\ln\frac{1}{2} - \ln\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}

Exercice 12 : Intégrale d’une fraction rationnelle par complétion du carré

Difficile

On considère l'intégrale I=∫012x+3x2+2x+5 dx\displaystyle I = \int_{0}^{1} \frac{2x + 3}{x^2 + 2x + 5}\, dx.

  1. Mettre x2+2x+5x^2 + 2x + 5 sous la forme (x+a)2+b(x+a)^2 + b.
  2. Décomposer le numérateur 2x+32x+3 de façon à faire apparaître la dérivée du dénominateur et un terme résiduel.
  3. Calculer II en utilisant les primitives de u′u\dfrac{u'}{u} et de 1u2+k2\dfrac{1}{u^2+k^2}.
Indication

La dérivée de x2+2x+5x^2+2x+5 est 2x+22x+2. Écrire 2x+3=(2x+2)+12x+3 = (2x+2) + 1 pour séparer la partie u′u\dfrac{u'}{u} de la partie 1(x+1)2+4\dfrac{1}{(x+1)^2+4}, dont la primitive fait intervenir arctan⁡\arctan.

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Solution de la question 1 : x2+2x+5=(x+1)2+4 x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4 Solution de la question 2 : 2x+3x2+2x+5=(2x+2)+1x2+2x+5=2x+2x2+2x+5+1(x+1)2+4 \frac{2x+3}{x^2+2x+5} = \frac{(2x+2) + 1}{x^2+2x+5} = \frac{2x+2}{x^2+2x+5} + \frac{1}{(x+1)^2+4} Solution de la question 3 :

Pour la première partie, on reconnaît la forme u′u\dfrac{u'}{u} avec u=x2+2x+5u = x^2+2x+5 :

∫012x+2x2+2x+5 dx=[ln⁡(x2+2x+5)]01=ln⁡8−ln⁡5=ln⁡85 \int_0^1 \frac{2x+2}{x^2+2x+5}\,dx = \left[\ln(x^2+2x+5)\right]_0^1 = \ln 8 - \ln 5 = \ln\frac{8}{5}

Pour la seconde partie, on pose x+1=2ux+1 = 2u ou l'on reconnaît directement la primitive de 1(x+1)2+4\dfrac{1}{(x+1)^2+4} :

∫01dx(x+1)2+4=12[arctan⁡x+12]01=12(arctan⁡1−arctan⁡12)=12(π4−arctan⁡12) \int_0^1 \frac{dx}{(x+1)^2+4} = \frac{1}{2}\left[\arctan\frac{x+1}{2}\right]_0^1 = \frac{1}{2}\left(\arctan 1 - \arctan\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{4} - \arctan\frac{1}{2}\right) I=ln⁡85+π8−12arctan⁡12 \boxed{I = \ln\frac{8}{5} + \frac{\pi}{8} - \frac{1}{2}\arctan\frac{1}{2}}

Calcul d’aires et applications géométriques

Exercice 13 : Aire comprise entre une courbe et l’axe des abscisses

Facile

Soit f(x)=x2−4f(x) = x^2 - 4 définie sur R\mathbb{R}.

  1. Déterminer les racines de ff et étudier le signe de ff sur [−2,2][-2, 2].
  2. Calculer l'aire de la région du plan délimitée par la courbe de ff et l'axe des abscisses sur [−2,2][-2, 2].
Indication

Sur un intervalle où f(x)≤0f(x) \leq 0, l'aire est −∫abf(x) dx\displaystyle -\int_a^b f(x)\,dx. Ici, ff est négative sur [−2,2][-2, 2], donc l'aire vaut −∫−22(x2−4) dx\displaystyle -\int_{-2}^{2}(x^2-4)\,dx.

Voir le corrigé
Solution de la question 1 :

f(x)=0  ⟺  x2=4  ⟺  x=±2f(x) = 0 \iff x^2 = 4 \iff x = \pm 2. Sur ]−2,2[]-2,2[, x2<4x^2 < 4 donc f(x)<0f(x) < 0.

Solution de la question 2 :

L'aire est A=−∫−22(x2−4) dx\mathcal{A} = -\displaystyle\int_{-2}^{2}(x^2-4)\,dx.

∫−22(x2−4) dx=[x33−4x]−22=(83−8)−(−83+8)=163−16=−323 \int_{-2}^{2}(x^2-4)\,dx = \left[\frac{x^3}{3} - 4x\right]_{-2}^{2} = \left(\frac{8}{3}-8\right) - \left(-\frac{8}{3}+8\right) = \frac{16}{3} - 16 = -\frac{32}{3} A=−(−323)=323 u.a. \mathcal{A} = -\left(-\frac{32}{3}\right) = \frac{32}{3} \text{ u.a.}

Exercice 14 : Aire comprise entre deux courbes

Moyen

On considère les fonctions f(x)=x2f(x) = x^2 et g(x)=2xg(x) = 2x définies sur R\mathbb{R}.

  1. Trouver les points d'intersection des courbes Cf\mathcal{C}_f et Cg\mathcal{C}_g.
  2. Déterminer sur quel intervalle g(x)≥f(x)g(x) \geq f(x).
  3. Calculer l'aire de la région délimitée par les deux courbes.
Indication

L'aire entre deux courbes est ∫ab∣f(x)−g(x)∣ dx\displaystyle\int_a^b |f(x) - g(x)|\,dx. Déterminer d'abord l'intervalle [a,b][a,b] délimité par les abscisses des intersections, puis vérifier quel graphe est au-dessus de l'autre.

Voir le corrigé
Solution de la question 1 :

f(x)=g(x)  ⟺  x2=2x  ⟺  x2−2x=0  ⟺  x(x−2)=0f(x) = g(x) \iff x^2 = 2x \iff x^2 - 2x = 0 \iff x(x-2) = 0. Les points d'intersection sont (0,0)(0, 0) et (2,4)(2, 4).

Solution de la question 2 :

Pour x∈[0,2]x \in [0,2], g(x)−f(x)=2x−x2=x(2−x)≥0g(x) - f(x) = 2x - x^2 = x(2-x) \geq 0. Donc g≥fg \geq f sur [0,2][0,2].

Solution de la question 3 : A=∫02(g(x)−f(x)) dx=∫02(2x−x2) dx=[x2−x33]02=(4−83)−0=43 u.a. \mathcal{A} = \int_0^2 (g(x) - f(x))\,dx = \int_0^2 (2x - x^2)\,dx = \left[x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \left(4 - \frac{8}{3}\right) - 0 = \frac{4}{3} \text{ u.a.}

Suites d’intégrales et fonctions intégrales

Exercice 15 : Fonction intégrale et dérivation

Moyen

On définit, pour tout réel xx, la fonction FF par :

F(x)=∫0xt e−t dt F(x) = \int_{0}^{x} t\,e^{-t}\, dt
  1. Calculer F(0)F(0).
  2. Montrer que F′(x)=x e−xF'(x) = x\,e^{-x} et en déduire le sens de variation de FF sur [0,+∞[[0, +\infty[.
  3. Calculer F(x)F(x) explicitement à l'aide d'une intégration par parties, puis déterminer lim⁡x→+∞F(x)\displaystyle\lim_{x\to+\infty} F(x).
Indication

Le théorème fondamental du calcul intégral affirme que si gg est continue, alors (∫axg(t) dt)′=g(x)\left(\displaystyle\int_a^x g(t)\,dt\right)' = g(x). Pour la question 3, procéder par IPP avec u=tu = t et v′=e−tv' = e^{-t}, et étudier le comportement à l'infini.

Voir le corrigé
Solution de la question 1 : F(0)=∫00t e−t dt=0 F(0) = \int_0^0 t\,e^{-t}\,dt = 0 Solution de la question 2 :

Par le théorème fondamental de l'analyse, F′(x)=x e−xF'(x) = x\,e^{-x}. Pour x≥0x \geq 0, on a x≥0x \geq 0 et e−x>0e^{-x} > 0, donc F′(x)≥0F'(x) \geq 0 : FF est croissante sur [0,+∞[[0, +\infty[.

Solution de la question 3 :

IPP avec u=tu = t, v′=e−tv' = e^{-t}, d'où u′=1u' = 1, v=−e−tv = -e^{-t}.

F(x)=[−t e−t]0x+∫0xe−t dt=−x e−x+[−e−t]0x=−x e−x−e−x+1=1−(x+1)e−x F(x) = \left[-t\,e^{-t}\right]_0^x + \int_0^x e^{-t}\,dt = -x\,e^{-x} + \left[-e^{-t}\right]_0^x = -x\,e^{-x} - e^{-x} + 1 = 1 - (x+1)e^{-x}

Comme lim⁡x→+∞(x+1)e−x=0\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x+1)e^{-x} = 0 (croissances comparées), on a lim⁡x→+∞F(x)=1\displaystyle\lim_{x\to+\infty} F(x) = 1.

Exercice 16 : Suite d’intégrales avec relation de récurrence

Difficile

Pour tout entier n∈Nn \in \mathbb{N}, on définit :

In=∫01xn ex dx I_n = \int_{0}^{1} x^n\,e^x\, dx
  1. Calculer I0I_0.
  2. À l'aide d'une intégration par parties, établir la relation de récurrence In=e−n In−1I_n = e - n\,I_{n-1} pour tout n≥1n \geq 1.
  3. Calculer I1I_1 et I2I_2.
  4. Montrer que pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}, on a 0≤In≤en+10 \leq I_n \leq \dfrac{e}{n+1}, puis en déduire lim⁡n→+∞In\displaystyle\lim_{n\to+\infty} I_n.
Indication

Pour la relation de récurrence, poser u=xnu = x^n et v′=exv' = e^x dans la formule d'IPP. Pour l'encadrement, utiliser que 0≤xn≤xn0 \leq x^n \leq x^n et que 1≤ex≤e1 \leq e^x \leq e sur [0,1][0,1], ce qui donne 0≤In≤e∫01xn dx0 \leq I_n \leq e\displaystyle\int_0^1 x^n\,dx.

Voir le corrigé
Solution de la question 1 : I0=∫01ex dx=[ex]01=e−1 I_0 = \int_0^1 e^x\,dx = \left[e^x\right]_0^1 = e - 1 Solution de la question 2 :

IPP avec u=xnu = x^n, v′=exv' = e^x :

In=[xn ex]01−∫01n xn−1 ex dx=e−n In−1 I_n = \left[x^n\,e^x\right]_0^1 - \int_0^1 n\,x^{n-1}\,e^x\,dx = e - n\,I_{n-1} Solution de la question 3 : I1=e−1⋅I0=e−(e−1)=1 I_1 = e - 1\cdot I_0 = e - (e-1) = 1 I2=e−2⋅I1=e−2 I_2 = e - 2\cdot I_1 = e - 2 Solution de la question 4 :

Pour x∈[0,1]x \in [0,1], xn≥0x^n \geq 0 et ex≥1e^x \geq 1, donc In≥0I_n \geq 0. De plus, ex≤ee^x \leq e, donc :

In≤e∫01xn dx=e⋅1n+1=en+1 I_n \leq e\int_0^1 x^n\,dx = e\cdot\frac{1}{n+1} = \frac{e}{n+1}

Ainsi 0≤In≤en+10 \leq I_n \leq \dfrac{e}{n+1}. Comme en+1→0\dfrac{e}{n+1} \to 0 quand n→+∞n \to +\infty, le théorème des gendarmes donne :

lim⁡n→+∞In=0 \lim_{n\to+\infty} I_n = 0
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