Séries de fourier exercices corrigés

Les séries de Fourier constituent un outil fondamental de l'analyse mathématique : elles permettent de décomposer toute fonction périodique en une somme infinie de fonctions trigonométriques. Cette page rassemble des exercices corrigés sur les séries de Fourier, organisés par thème et classés du niveau facile au niveau difficile. Vous y travaillerez le calcul des coefficients de Fourier (réels et complexes), l'exploitation de la parité des fonctions, les théorèmes de Dirichlet et de convergence, la formule de Parseval, ainsi que les applications aux sommes de séries numériques. Chaque exercice est accompagné d'une indication et d'un corrigé détaillé pas à pas.

Sommaire6 parties

Calcul des coefficients de Fourier : fonctions élémentaires

Cette première section aborde le calcul direct des coefficients de Fourier trigonométriques $a_0$ , $a_n$ et $b_n$ pour des fonctions périodiques simples. C'est l'étape fondatrice : maîtriser ces intégrales est indispensable avant d'aborder la convergence ou les applications.

Exercice 1 : Développement en série de Fourier de la fonction valeur absolue

Facile

Soit $f$ la fonction $2\pi$ -périodique définie par $f(x) = |x|$ pour $x \in [-\pi, \pi]$ .

Justifier que $f$ est paire et en déduire que tous les coefficients $b_n$ sont nuls.
Calculer le coefficient $a_0$ puis les coefficients $a_n$ pour $n \geq 1$ .
Écrire le développement en série de Fourier de $f$ .

Indication

Une fonction paire ne possède que des termes en cosinus dans sa série de Fourier. Pour $a_n$ , calculez $\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x \cos(nx)\,dx$ en utilisant une intégration par parties avec $u = x$ et $v' = \cos(nx)$ .

Voir le corrigé

Solution de la question 1 :

La fonction $x \mapsto |x|$ vérifie $f(-x) = |-x| = |x| = f(x)$ , donc $f$ est paire. Pour une fonction paire, on a $b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx = 0$ car l'intégrande est le produit d'une fonction paire et d'une fonction impaire, soit une fonction impaire.

Solution de la question 2 :

a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\,dx = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\,dx = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^2}{2} = \pi

Pour $n \geq 1$ , en intégrant par parties ( $u = x$ , $v' = \cos(nx)$ ) :

a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\cos(nx)\,dx = \frac{2}{\pi}\left[\frac{x\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} - \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\frac{\sin(nx)}{n}\,dx

= \frac{2}{\pi}\cdot 0 + \frac{2}{\pi n}\left[\frac{\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} = \frac{2}{\pi n^2}\left(\cos(n\pi) - 1\right) = \frac{2((-1)^n - 1)}{\pi n^2}

Ainsi $a_n = 0$ si $n$ est pair, et $a_n = -\dfrac{4}{\pi n^2}$ si $n$ est impair.

Solution de la question 3 :

f(x) \sim \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\cos\!\big((2k+1)x\big)}{(2k+1)^2}

Exercice 2 : Série de Fourier de la fonction identité sur [-π, π]

Facile

Soit $f$ la fonction $2\pi$ -périodique définie par $f(x) = x$ pour $x \in [-\pi, \pi[$ .

Justifier que $f$ est impaire et en déduire que tous les coefficients $a_n$ sont nuls.
Calculer les coefficients $b_n$ pour $n \geq 1$ .
Écrire la série de Fourier de $f$ .

Indication

Pour une fonction impaire, seuls les $b_n$ sont non nuls. Utilisez une intégration par parties pour calculer $b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx$ .

Voir le corrigé

Solution de la question 1 :

On a $f(-x) = -x = -f(x)$ , donc $f$ est impaire. L'intégrande de $a_n$ est le produit de $f$ (impaire) et de $\cos(nx)$ (paire), soit une fonction impaire sur $[-\pi,\pi]$ , d'où $a_n = 0$ pour tout $n \geq 0$ .

Solution de la question 2 :

Intégration par parties avec $u = x$ et $v' = \sin(nx)$ :

b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \frac{2}{\pi}\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} + \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\frac{\cos(nx)}{n}\,dx

= \frac{2}{\pi}\cdot\left(-\frac{\pi\cos(n\pi)}{n}\right) + \frac{2}{\pi n}\left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} = -\frac{2(-1)^n}{n} + 0 = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}

Solution de la question 3 :

f(x) \sim 2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx) = 2\left(\sin x - \frac{\sin 2x}{2} + \frac{\sin 3x}{3} - \cdots\right)

Exercice 3 : Coefficients de Fourier d’un signal créneau

Facile

Soit $f$ la fonction $2\pi$ -périodique définie par

f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \in [0, \pi[ \\ -1 & \text{si } x \in [-\pi, 0[ \end{cases}

Montrer que $f$ est impaire. En déduire $a_0 = 0$ et $a_n = 0$ pour tout $n \geq 1$ .
Calculer les coefficients $b_n$ pour $n \geq 1$ .
Écrire la série de Fourier de $f$ en ne retenant que les termes non nuls.

Indication

Calculez $b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\sin(nx)\,dx$ . Distinguez les cas $n$ pair et $n$ impair en évaluant $\cos(n\pi)$ .

Voir le corrigé

Solution de la question 1 :

On vérifie directement que $f(-x) = -f(x)$ : si $x \in ]0,\pi[$ , alors $-x \in ]-\pi, 0[$ et $f(-x) = -1 = -f(x)$ . Donc $f$ est impaire, ce qui annule tous les $a_n$ .

Solution de la question 2 :

b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\sin(nx)\,dx = \frac{2}{\pi}\left[-\frac{\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} = \frac{2}{\pi n}(1 - \cos(n\pi)) = \frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n}

Ainsi $b_n = 0$ si $n$ est pair, et $b_n = \dfrac{4}{\pi n}$ si $n$ est impair.

Solution de la question 3 :

f(x) \sim \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\sin\!\big((2k+1)x\big)}{2k+1} = \frac{4}{\pi}\left(\sin x + \frac{\sin 3x}{3} + \frac{\sin 5x}{5} + \cdots\right)

Convergence des séries de Fourier : théorème de Dirichlet et applications

Une fois les coefficients calculés, il est indispensable de savoir vers quelle fonction converge la série. Le théorème de Dirichlet donne une condition suffisante de convergence simple, et permet d'identifier la somme de la série en tout point, y compris aux points de discontinuité. Cette section entraîne également à déduire des sommes de séries numériques célèbres à partir des séries de Fourier.

Exercice 4 : Convergence et somme de la série $\sum \frac{1}{n^2}$

Moyen

Soit $f$ la fonction $2\pi$ -périodique définie par $f(x) = x^2$ pour $x \in [-\pi, \pi]$ .

Calculer les coefficients de Fourier $a_0$ , $a_n$ ( $n \geq 1$ ) et $b_n$ de $f$ .
En appliquant le théorème de Dirichlet, justifier que la série de Fourier converge vers $f$ en tout point de $\mathbb{R}$ .
En prenant $x = \pi$ , déduire la valeur de $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$ .
En prenant $x = 0$ , retrouver la valeur de $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$ .

Indication

La fonction $x^2$ est paire, donc $b_n = 0$ . Calculez $a_n$ par deux intégrations par parties successives. Le théorème de Dirichlet s'applique car $f$ est $\mathcal{C}^1$ par morceaux et continue sur $\mathbb{R}$ . En $x = \pi$ , la série vaut $f(\pi) = \pi^2$ .

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Solution de la question 1 :

$f$ est paire donc $b_n = 0$ .

a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^3}{3} = \frac{2\pi^2}{3}

Pour $n \geq 1$ , deux intégrations par parties donnent :

a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x^2\cos(nx)\,dx = \frac{2}{\pi}\left[\frac{x^2\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} - \frac{4}{\pi n}\int_0^{\pi}x\sin(nx)\,dx

= 0 - \frac{4}{\pi n}\left(\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi}+\frac{1}{n}\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx\right) = \frac{4(-1)^n}{n^2}

Solution de la question 2 :

La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ et $\mathcal{C}^1$ par morceaux. Le théorème de Dirichlet garantit que la série de Fourier converge vers $f(x)$ en tout point $x$ . On a donc pour tout $x \in \mathbb{R}$ :

x^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx)

Solution de la question 3 :

En $x = \pi$ : $\cos(n\pi) = (-1)^n$ , donc

\pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n \cdot (-1)^n}{n^2} = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}

\boxed{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}}

Solution de la question 4 :

En $x = 0$ : $\cos(0) = 1$ et $f(0) = 0$ , donc

0 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^2} \implies \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^2} = -\frac{\pi^2}{12}

\boxed{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}}

Exercice 5 : Convergence aux points de discontinuité (signal créneau)

Moyen

Reprenons la fonction créneau $f$ de l'exercice 3 :

f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \in [0, \pi[ \\ -1 & \text{si } x \in [-\pi, 0[ \end{cases}

La fonction $f$ est-elle continue sur $\mathbb{R}$ ? Identifier ses points de discontinuité sur $[-\pi, \pi]$ .
Énoncer le théorème de Dirichlet et préciser vers quelle valeur la série de Fourier de $f$ converge en $x = 0$ et en $x = \pi$ .
La convergence de la série peut-elle être uniforme ? Justifier.

Indication

En un point de discontinuité $x_0$ , le théorème de Dirichlet affirme que la série converge vers $\frac{1}{2}\left(f(x_0^-) + f(x_0^+)\right)$ . Pour la convergence uniforme, rappeler que la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue.

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Solution de la question 1 :

La fonction $f$ est discontinue en $x = 0$ et en $x = \pm\pi$ (points de saut). En ces points, la limite à gauche et la limite à droite sont distinctes.

Solution de la question 2 :

Le théorème de Dirichlet s'applique car $f$ est $\mathcal{C}^1$ par morceaux sur $[-\pi, \pi]$ . En tout point de continuité, la série converge vers $f(x)$ . Aux points de discontinuité :

\text{En } x = 0 : \quad S_f(0) = \frac{f(0^-) + f(0^+)}{2} = \frac{-1 + 1}{2} = 0

\text{En } x = \pi : \quad S_f(\pi) = \frac{f(\pi^-) + f(\pi^+)}{2} = \frac{1 + (-1)}{2} = 0

Solution de la question 3 :

Non, la convergence ne peut pas être uniforme. Chaque somme partielle $S_N f$ est une fonction continue (somme finie de sinusoïdes), et si la convergence était uniforme, la limite serait également continue. Or $f$ est discontinue en $x = 0$ . C'est d'ailleurs la manifestation du phénomène de Gibbs au voisinage des discontinuités.

Exercice 6 : Série de Fourier de $f(x) = e^x$ et convergence uniforme

Moyen

Soit $f$ la fonction $2\pi$ -périodique telle que $f(x) = e^x$ pour $x \in ]-\pi, \pi]$ .

Calculer les coefficients de Fourier exponentiels $c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}\,dx$ pour $n \in \mathbb{Z}$ .
La fonction $f$ est-elle continue sur $\mathbb{R}$ ? La série de Fourier converge-t-elle uniformément vers $f$ ?
Écrire le développement en série de Fourier de $f$ et en déduire une expression de $\dfrac{\sinh\pi}{\pi}$ .

Indication

Pour calculer $c_n$ , intégrez $\int_{-\pi}^{\pi}e^x e^{-inx}\,dx = \int_{-\pi}^{\pi}e^{(1-in)x}\,dx$ . Remarquez que $f$ présente un saut en $x = \pm\pi$ puisque $e^\pi \neq e^{-\pi}$ , ce qui empêche la convergence uniforme.

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Solution de la question 1 :

c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{(1-in)x}\,dx = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{e^{(1-in)x}}{1-in}\right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{e^{(1-in)\pi} - e^{-(1-in)\pi}}{2\pi(1-in)}

Comme $e^{-in\pi} = (-1)^n$ , on obtient :

c_n = \frac{(-1)^n(e^{\pi} - e^{-\pi})}{2\pi(1-in)} = \frac{(-1)^n \sinh\pi}{\pi(1-in)}

Solution de la question 2 :

La fonction $f$ possède un saut en $x = \pm\pi$ car $\lim_{x \to \pi^-} f(x) = e^\pi$ mais la périodicité force $f(-\pi) = e^{-\pi}$ (la limite à droite). Donc $f$ n'est pas continue sur $\mathbb{R}$ . La convergence de la série de Fourier ne peut donc pas être uniforme.

Solution de la question 3 :

Par le théorème de Dirichlet, en tout point de continuité :

e^x = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{inx} = \frac{\sinh\pi}{\pi}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{1-in}e^{inx}

En prenant $x = 0$ et en tenant compte de la symétrie :

1 = \frac{\sinh\pi}{\pi}\left(1 + 2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{1+n^2}\right) \implies \frac{\sinh\pi}{\pi} = \frac{1}{1 + 2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{1+n^2}}

Parité, symétries et périodes générales

L'exploitation des propriétés de parité d'une fonction simplifie considérablement le calcul des coefficients de Fourier. De même, savoir traiter des fonctions de période quelconque $T = 2L$ est une compétence essentielle pour les applications en physique et en traitement du signal.

Exercice 7 : Série de Fourier d’une fonction de période 2L

Facile

Soit $f$ la fonction $2$ -périodique (période $T = 2$ , donc $L = 1$ ) définie par $f(x) = |x|$ pour $x \in [-1, 1]$ .

Rappeler les formules des coefficients de Fourier $a_0$ , $a_n$ et $b_n$ pour une fonction de période $2L$ .
Calculer $a_0$ , puis $a_n$ pour $n \geq 1$ . Montrer que $b_n = 0$ sans calcul.
Écrire la série de Fourier de $f$ .

Indication

Pour une période $T = 2L$ , la pulsation fondamentale est $\omega = \pi/L$ . Ici $L = 1$ , donc $\omega = \pi$ . La parité de $|x|$ annule directement les $b_n$ .

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Solution de la question 1 :

a_0 = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,dx, \quad a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx, \quad b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx

Solution de la question 2 :

Avec $L = 1$ :

a_0 = \int_{-1}^{1}|x|\,dx = 2\int_0^1 x\,dx = 1

Intégration par parties pour $a_n$ :

a_n = 2\int_0^1 x\cos(n\pi x)\,dx = 2\left[\frac{x\sin(n\pi x)}{n\pi}\right]_0^1 - \frac{2}{n\pi}\int_0^1\sin(n\pi x)\,dx = \frac{2}{n^2\pi^2}((-1)^n - 1)

Donc $a_n = 0$ si $n$ est pair, et $a_n = -\dfrac{4}{n^2\pi^2}$ si $n$ est impair. Comme $f$ est paire, $b_n = 0$ sans calcul.

Solution de la question 3 :

f(x) \sim \frac{1}{2} - \frac{4}{\pi^2}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\cos\!\big((2k+1)\pi x\big)}{(2k+1)^2}

Exercice 8 : Prolongement pair et impair (demi-domaine)

Moyen

Soit $g(x) = x(\pi - x)$ définie sur $[0, \pi]$ .

Prolonger $g$ en une fonction impaire et $2\pi$ -périodique. Calculer sa série de Fourier (sinus uniquement).
Prolonger $g$ en une fonction paire et $2\pi$ -périodique. Calculer sa série de Fourier (cosinus uniquement).
En déduire la valeur de $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2k-1)^3}$ .

Indication

Pour le prolongement impair, calculez $b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x(\pi-x)\sin(nx)\,dx$ par deux intégrations par parties. Pour l'application numérique, évaluez la série en $x = \pi/2$ .

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Solution de la question 1 :

Le prolongement impair $\tilde{g}$ satisfait $\tilde{g}(-x) = -\tilde{g}(x)$ . Les coefficients en cosinus sont nuls. Par deux intégrations par parties :

b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}(\pi x - x^2)\sin(nx)\,dx

= \frac{2}{\pi}\left[\frac{(\pi x - x^2)(-\cos nx)}{n}\right]_0^{\pi} + \frac{2}{\pi n}\int_0^{\pi}(\pi - 2x)\cos(nx)\,dx

Après calcul complet, $b_n = \dfrac{4}{\pi n^3}(1 - (-1)^n)$ , soit $b_n = 0$ si $n$ pair et $b_n = \dfrac{8}{\pi n^3}$ si $n$ impair.

\tilde{g}(x) \sim \frac{8}{\pi}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\sin\!\big((2k+1)x\big)}{(2k+1)^3}

Solution de la question 2 :

Le prolongement pair a tous les $b_n = 0$ . On calcule :

a_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}(\pi x - x^2)\,dx = \frac{2}{\pi}\left[\frac{\pi x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^{\pi} = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^3}{6} = \frac{\pi^2}{3}

a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}(\pi x - x^2)\cos(nx)\,dx = -\frac{2}{n^2}(1 + (-1)^n \cdot ?) \text{ [par intégrations par parties]}

Après calcul, $a_n = -\dfrac{2(1+(-1)^n)}{n^2}$ , donc $a_n = 0$ si $n$ impair et $a_n = -\dfrac{4}{n^2}$ si $n$ pair.

Solution de la question 3 :

En évaluant la série en sinus en $x = \pi/2$ et en appliquant Dirichlet (continuité de $\tilde{g}$ ) :

\frac{\pi}{2}\left(\pi - \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi^2}{4} = \frac{8}{\pi}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\sin\!\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)}{(2k+1)^3} = \frac{8}{\pi}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^3}

\boxed{\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^3} = \frac{\pi^3}{32}}

Formule de Parseval et calcul de sommes de séries

La formule de Parseval (ou identité de Parseval) établit un lien entre la norme $L^2$ d'une fonction et la somme des carrés de ses coefficients de Fourier. C'est un outil puissant pour calculer des sommes de séries du type $\sum \frac{1}{n^4}$ ou $\sum \frac{1}{(2n-1)^4}$ , inaccessibles par les seules substitutions directes dans la série.

Exercice 9 : Parseval appliqué à $f(x) = x$ (calcul de $\sum \frac{1}{n^2}$ )

Moyen

On sait que la série de Fourier de la fonction $2\pi$ -périodique $f(x) = x$ sur $]-\pi, \pi[$ est :

f(x) \sim 2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)

Énoncer la formule de Parseval pour une fonction de carré intégrable de période $2\pi$ .
Calculer $\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx$ .
En déduire la valeur de $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}$ .

Indication

Avec la convention $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n\geq 1}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))$ , la formule de Parseval s'écrit $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\,dx = \frac{a_0^2}{4} + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n^2 + b_n^2)$ . Ici $a_0 = 0$ , $a_n = 0$ pour tout $n\geq 1$ et $b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ .

Voir le corrigé

Solution de la question 1 :

Si $f$ est de carré intégrable et de période $2\pi$ , avec coefficients $a_0, a_n, b_n$ :

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\,dx = \frac{a_0^2}{4} + \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n^2 + b_n^2}{2}

Solution de la question 2 :

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx = \frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2\pi^3}{3} = \frac{\pi^2}{3}

Solution de la question 3 :

Puisque $a_0 = 0$ , $a_n = 0$ et $b_n = \dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}$ , la formule de Parseval donne :

\frac{\pi^2}{3} = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{n^2} = 2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}

\boxed{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}}

Exercice 10 : Parseval et calcul de $\sum \frac{1}{n^4}$

Difficile

On rappelle que la série de Fourier de $f(x) = x^2$ sur $[-\pi, \pi]$ est :

x^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx)

Rappeler la formule de Parseval pour la fonction $f(x) = x^2$ .
Calculer $\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^4\,dx$ .
En déduire la valeur de $\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}$ .

Indication

Appliquez Parseval à $f(x) = x^2$ : $a_0 = \frac{2\pi^2}{3}$ et $a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}$ , $b_n = 0$ . L'intégrale $\int_{-\pi}^{\pi}x^4\,dx$ se calcule directement.

Voir le corrigé

Solution de la question 1 :

Avec la convention rappelée dans l'énoncé, Parseval donne :

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^4\,dx = \frac{a_0^2}{4}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n^2+b_n^2).

Comme $a_0 = \frac{2\pi^2}{3}$ , $a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}$ et $b_n = 0$ , on obtient :

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^4\,dx = \frac{1}{4}\left(\frac{2\pi^2}{3}\right)^2 + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{16}{n^4}.

Solution de la question 2 :

\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^4\,dx = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}x^4\,dx = \frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi^5}{5} = \frac{\pi^4}{5}

Solution de la question 3 :

Le terme constant vaut $\frac{a_0^2}{4}=\frac{\pi^4}{9}$ , tandis que la somme des carrés des autres coefficients vaut $8\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}$ . Ainsi :

\frac{\pi^4}{5}=\frac{\pi^4}{9} +8\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}.

8\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4} =\pi^4\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{9}\right) =\frac{4\pi^4}{45}.

En divisant par $8$ , on trouve :

\boxed{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}}.

Forme complexe des séries de Fourier

La représentation complexe d'une série de Fourier, via les coefficients $c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}\,dx$ , est particulièrement adaptée au traitement du signal et à l'analyse spectrale. Cette section introduit le calcul en notation exponentielle et les liens avec les coefficients réels.

Exercice 11 : Coefficients complexes et passage à la forme réelle

Moyen

Soit $f$ la fonction $2\pi$ -périodique définie par $f(x) = x$ sur $]-\pi, \pi]$ .

Calculer les coefficients de Fourier complexes $c_n$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$ .
Exprimer $c_n$ en fonction de $a_n$ et $b_n$ (pour $n \geq 1$ ) et vérifier la cohérence avec la forme réelle obtenue à l'exercice 2.
Vérifier que $c_{-n} = \overline{c_n}$ (conjugué de $c_n$ ). Que traduit cette propriété sur $f$ ?

Indication

Pour $n \neq 0$ , intégrez $\int_{-\pi}^{\pi}x e^{-inx}\,dx$ par parties. Pour $n = 0$ , c'est simplement la valeur moyenne. La relation $c_{-n} = \overline{c_n}$ est caractéristique des fonctions à valeurs réelles.

Voir le corrigé

Solution de la question 1 :

Pour $n = 0$ : $c_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\,dx = 0$ (intégrale d'une fonction impaire).

Pour $n \neq 0$ , intégration par parties ( $u = x$ , $v' = e^{-inx}$ ) :

c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x e^{-inx}\,dx = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{x e^{-inx}}{-in}\right]_{-\pi}^{\pi} + \frac{1}{2\pi in}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-inx}\,dx.

Le dernier terme est nul pour $n \neq 0$ . Comme $e^{in\pi}=e^{-in\pi}=(-1)^n$ , le terme de bord donne :

c_n = \frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2\pi(-1)^n}{-in} = \frac{i(-1)^n}{n}.

Solution de la question 2 :

Les relations entre coefficients réels et complexes sont $a_n = c_n + c_{-n}$ et $b_n = i(c_n - c_{-n})$ . Ici $a_n = 0$ et $b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}$ , ce qui correspond bien à $c_n = \frac{i(-1)^n}{n}$ .

Solution de la question 3 :

c_{-n} = \frac{i(-1)^{-n}}{-n} = \frac{-i(-1)^n}{n} = \overline{\left(\frac{i(-1)^n}{n}\right)} = \overline{c_n}

La propriété $c_{-n} = \overline{c_n}$ est équivalente au fait que $f$ est à valeurs réelles. C'est une condition de symétrie hermitienne du spectre.

Applications aux équations différentielles périodiques

Les séries de Fourier permettent de chercher des solutions périodiques d'équations différentielles linéaires. Cette technique, fondamentale en physique (circuits électriques, vibrations), consiste à décomposer le second membre en série de Fourier et à résoudre fréquence par fréquence.

Exercice 12 : Solution périodique d’une équation différentielle du second ordre

Difficile

On considère l'équation différentielle $x''(t) + \omega_0^2\, x(t) = f(t)$ , où $\omega_0 > 0$ n'est pas un entier, et $f$ est la fonction $2\pi$ -périodique définie par $f(t) = t$ sur $]-\pi, \pi]$ .

Rappeler la série de Fourier de $f$ .
On cherche une solution $2\pi$ -périodique $x(t) = \displaystyle\sum_{n \in \mathbb{Z}} d_n e^{int}$ . En substituant dans l'équation, exprimer $d_n$ en fonction des coefficients $c_n$ de $f$ .
En déduire l'expression explicite de $x(t)$ sous forme réelle.
Que se passe-t-il si $\omega_0$ est un entier non nul ?

Indication

En dérivant terme à terme la série de Fourier de $x$ , on obtient $x''(t) = \displaystyle\sum_n (-n^2) d_n e^{int}$ . L'équation donne $(\omega_0^2 - n^2)d_n = c_n$ . Si $\omega_0 \notin \mathbb{Z}$ , le dénominateur ne s'annule jamais et la solution est bien définie.

Voir le corrigé

Solution de la question 1 :

f(t) = 2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nt), \quad \text{soit } c_n = \frac{i(-1)^n}{n} \text{ pour } n \neq 0,\ c_0 = 0

Solution de la question 2 :

En substituant $x(t) = \sum d_n e^{int}$ et $f(t) = \sum c_n e^{int}$ dans l'équation :

\sum_{n \in \mathbb{Z}} (-n^2 + \omega_0^2)\,d_n\, e^{int} = \sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n\, e^{int}

Par unicité des coefficients de Fourier :

d_n = \frac{c_n}{\omega_0^2 - n^2} \quad \text{(bien défini car } \omega_0 \notin \mathbb{Z}\text{)}

Solution de la question 3 :

Pour $n \neq 0$ :

d_n = \frac{i(-1)^n}{n(\omega_0^2 - n^2)}, \quad d_{-n} = \overline{d_n}

En repassant à la forme réelle ( $d_n e^{int} + d_{-n}e^{-int} = 2\,\mathrm{Re}(d_n e^{int})$ ) :

x(t) = 2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n(\omega_0^2 - n^2)}\sin(nt)

Solution de la question 4 :

Si $\omega_0 = m \in \mathbb{Z}^*$ , le coefficient $d_m$ n'est pas défini (division par zéro). Physiquement, cela correspond à un phénomène de résonance : le forçage à la fréquence propre conduit à une croissance non bornée et il n'existe pas de solution périodique.

Exercice 13 : Produit de convolution et noyau de Dirichlet

Difficile

Soit $f \in L^2([-\pi,\pi])$ une fonction $2\pi$ -périodique et $S_N f$ sa somme partielle de Fourier d'ordre $N$ :

S_N f(x) = \sum_{n=-N}^{N} c_n e^{inx}

Montrer que $S_N f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\, D_N(x-t)\,dt$ , où $D_N$ est le noyau de Dirichlet défini par $D_N(u) = \displaystyle\sum_{n=-N}^{N}e^{inu}$ .
Montrer que $D_N(u) = \dfrac{\sin\!\left(\frac{(2N+1)u}{2}\right)}{\sin\!\left(\frac{u}{2}\right)}$ pour $u \not\equiv 0 \pmod{2\pi}$ .
En utilisant $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}D_N(u)\,du = 1$ , interpréter l’opérateur $f \mapsto S_Nf$ . Préciser sa convergence dans $L^2$ et expliquer pourquoi $D_N$ n’est pas une approximation de l’identité positive au sens usuel.

Indication

Pour la question 1, substituez l’expression intégrale de $c_n$ et annoncez votre convention de convolution. Pour la question 2, utilisez la somme géométrique. Pour la question 3, distinguez la projection orthogonale sur les modes $|n|\leq N$ d’une approximation de l’identité positive.

Voir le corrigé

Solution de la question 1 :

On substitue $c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-int}\,dt$ dans la somme partielle :

S_N f(x) = \sum_{n=-N}^{N}\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-int}\,dt\, e^{inx} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sum_{n=-N}^{N}e^{in(x-t)}\,dt

Avec la convention de convolution périodique

(f \ast_{\mathrm{per}} g)(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)g(x-t)\,dt,

l’identité obtenue s’écrit $S_Nf=f\ast_{\mathrm{per}}D_N$ . Avec la convolution non normalisée $(f*g)(x)=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)g(x-t)\,dt$ , on aurait $S_Nf=(f*D_N)/(2\pi)$ .

Solution de la question 2 :

$D_N(u)$ est une somme géométrique de raison $e^{iu}$ de $N+1$ termes positifs et $N$ termes négatifs. En factorisant par $e^{iu/2}$ :

D_N(u) = e^{-iNu}\frac{1 - e^{i(2N+1)u}}{1 - e^{iu}} = \frac{e^{-iNu} - e^{i(N+1)u}}{1 - e^{iu}}

En multipliant numérateur et dénominateur par $e^{-iu/2}$ :

D_N(u) = \frac{e^{-i(N+1/2)u} - e^{i(N+1/2)u}}{e^{-iu/2} - e^{iu/2}} \cdot \frac{-1}{-1} = \frac{\sin\!\left(\frac{(2N+1)u}{2}\right)}{\sin\!\left(\frac{u}{2}\right)}

Solution de la question 3 :

L’égalité $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}D_N(u)\,du=1$ vient de l’orthogonalité des exponentielles : seul le mode $n=0$ contribue. L’opérateur $S_N$ est la projection orthogonale de $L^2([ -\pi,\pi])$ sur les polynômes trigonométriques de degré au plus $N$ ; ainsi $\lVert S_Nf-f\rVert_2\to0$ pour tout $f\in L^2$ . Toutefois, $D_N$ change de signe et sa norme $L^1$ n’est pas uniformément bornée. Il ne s’agit donc pas d’une approximation de l’identité positive au sens usuel, contrairement au noyau de Fejér.

Calcul des coefficients de Fourier : fonctions élémentaires

Exercice 1 : Développement en série de Fourier de la fonction valeur absolue

Exercice 2 : Série de Fourier de la fonction identité sur [-π, π]

Exercice 3 : Coefficients de Fourier d’un signal créneau

Convergence des séries de Fourier : théorème de Dirichlet et applications

Exercice 4 : Convergence et somme de la série ∑1n2\sum \frac{1}{n^2}∑n21​

Exercice 5 : Convergence aux points de discontinuité (signal créneau)

Exercice 6 : Série de Fourier de f(x)=exf(x) = e^xf(x)=ex et convergence uniforme

Parité, symétries et périodes générales

Exercice 7 : Série de Fourier d’une fonction de période 2L

Exercice 8 : Prolongement pair et impair (demi-domaine)

Formule de Parseval et calcul de sommes de séries

Exercice 9 : Parseval appliqué à f(x)=xf(x) = xf(x)=x (calcul de ∑1n2\sum \frac{1}{n^2}∑n21​)

Exercice 10 : Parseval et calcul de ∑1n4\sum \frac{1}{n^4}∑n41​

Forme complexe des séries de Fourier

Exercice 11 : Coefficients complexes et passage à la forme réelle

Applications aux équations différentielles périodiques

Exercice 12 : Solution périodique d’une équation différentielle du second ordre

Exercice 13 : Produit de convolution et noyau de Dirichlet

Exercice 4 : Convergence et somme de la série $\sum \frac{1}{n^2}$

Exercice 6 : Série de Fourier de $f(x) = e^x$ et convergence uniforme

Exercice 9 : Parseval appliqué à $f(x) = x$ (calcul de $\sum \frac{1}{n^2}$ )

Exercice 10 : Parseval et calcul de $\sum \frac{1}{n^4}$