Prolongement par continuité d'une fonction

Le prolongement par continuité est l'une des techniques les plus élégantes de l'analyse mathématique. Elle répond à une question simple mais profonde : lorsqu'une fonction n'est pas définie en un point - souvent à cause d'une division par zéro - peut-on lui attribuer une valeur en ce point de façon à la rendre continue ? La réponse est oui, à une condition précise : la fonction doit admettre une limite finie en ce point. Cette notion est incontournable dès la terminale, et revient constamment en classes préparatoires (MPSI, PCSI, PTSI) ainsi qu'en licence de mathématiques.

Dans ce cours, vous trouverez la définition rigoureuse, les conditions d'application, une méthode pas à pas, les exemples classiques dont le célèbre sinus cardinal $\frac{\sin x}{x}$ .

Table des Matières

Définition du prolongement par continuité

Avant d'énoncer la définition, rappelons le cadre. Une fonction continue est une fonction définie sur un intervalle, sans « saut » : on peut tracer sa courbe représentative sans lever le crayon. La discontinuité la plus simple à corriger est la discontinuité surmontable (ou point isolé) : la fonction n'est pas définie en $x_0$ , mais sa limite y existe et est finie.

Dans ce cas précis, on peut combler le trou en assignant cette limite comme valeur au point manquant. C'est exactement ce qu'exprime la définition suivante.

Définition. Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $x_0 \in I$ . Soit $f$ une fonction définie sur $I \setminus \{x_0\}$ .
On dit que $f$ est prolongeable par continuité en $x_0$ si et seulement si $f$ admet une limite finie $\ell \in \mathbb{R}$ en $x_0$ :
$\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell \in \mathbb{R}.$
Le prolongement par continuité de $f$ en $x_0$ est alors la fonction $\tilde{f}$ définie sur $I$ par :
$\tilde{f}(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \neq x_0, \\ \ell & \text{si } x = x_0. \end{cases}$
La fonction $\tilde{f}$ est définie et continue sur $I$ tout entier.

Remarque sur la notation. Par abus de notation usuel, on continue souvent à écrire $f$ pour désigner $\tilde{f}$ une fois le prolongement effectué, sans changer de lettre. Dans les énoncés de prépa, l'un ou l'autre usage est courant.

Conditions pour qu’un prolongement par continuité existe

Trois situations peuvent se présenter lorsque l'on tente de prolonger une fonction en un point $x_0$ :

La limite est un réel fini $\ell$ : le prolongement existe et est unique. On pose $\tilde{f}(x_0) = \ell$ . C'est le cas favorable.
La limite est $+\infty$ ou $-\infty$ : aucun prolongement continu n'est possible, car une valeur infinie ne peut pas être assignée à une fonction à valeurs réelles.
La limite n'existe pas (limite à gauche $\neq$ limite à droite, ou oscillation sans limite) : aucun prolongement par continuité n'est possible.

Le prolongement, lorsqu'il existe, est toujours unique : il n'y a qu'une seule valeur à attribuer en $x_0$ pour obtenir la continuité. C'est une propriété fondamentale qui repose sur l'unicité de la limite.

⚠️ Piège fréquent : si la fonction est déjà définie en $x_0$ mais n'y est pas continue (discontinuité de saut), on ne parle pas de prolongement par continuité ; la valeur $f(x_0)$ est déjà fixée et elle ne coïncide pas avec la limite. Le prolongement par continuité ne s'applique qu'aux points absents du domaine de définition où la limite est finie.

Interprétation graphique et intuition

Imaginez la courbe représentative de $f$ . En $x_0$ , il y a un « trou » : le point de coordonnées $(x_0,\, \ell)$ est absent de la courbe, mais la courbe converge vers lui des deux côtés. Prolonger $f$ par continuité revient simplement à combler ce trou en ajoutant ce point manquant.

Géométriquement : si la courbe « arrive bien à un endroit précis » des deux côtés du point absent, on peut y placer le point manquant. Si au contraire la courbe monte vers l'infini ou oscille indéfiniment, aucun point ne peut boucher le trou.

Méthode pas à pas pour trouver un prolongement par continuité

Voici la démarche à suivre systématiquement dans un exercice ou lors d'une étude de fonction :

Identifier le point problématique $x_0$ . C'est généralement un point où le dénominateur s'annule, où une expression logarithmique est indéfinie, ou plus généralement où le domaine de définition $D_f$ présente un « trou ».
Calculer $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x)$ . Si la limite est une forme indéterminée ( $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $0 \cdot \infty$ , etc.), la lever par factorisation, développement limité, règle de L'Hôpital, ou reconnaissance d'un taux d'accroissement.
Vérifier que la limite est finie. Si $\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell \in \mathbb{R}$ , le prolongement existe.
Définir $\tilde{f}(x_0) = \ell$ et conclure. La nouvelle fonction $\tilde{f}$ est continue en $x_0$ ; et même sur $I$ tout entier si $f$ était déjà continue sur $I \setminus \{x_0\}$ .

Exemples classiques de prolongement par continuité

Exemple 1 : le sinus cardinal $\dfrac{\sin x}{x}$

C'est l'exemple emblématique, présent dans tous les cours d'analyse. La fonction $f : x \mapsto \dfrac{\sin x}{x}$ n'est pas définie en $0$ (division par zéro). Étudions si elle est prolongeable par continuité en $0$ .

On reconnaît la définition de la dérivée de $\sin$ en $0$ :

\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \sin 0}{x - 0} = \sin'(0) = \cos(0) = 1.

La limite est finie et vaut $1$ . On définit donc :

\operatorname{sinc}(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x} & \text{si } x \neq 0, \\[8pt] 1 & \text{si } x = 0. \end{cases}

La fonction $\operatorname{sinc}$ ainsi définie s'appelle le sinus cardinal. Elle est continue sur $\mathbb{R}$ tout entier. C'est une fonction fondamentale en traitement du signal et en physique.

Exemple 2 : $\dfrac{\ln x}{x - 1}$ en $x_0 = 1$

La fonction $f : x \mapsto \dfrac{\ln x}{x-1}$ est définie sur $\mathbb{R}_+^* \setminus \{1\}$ . Étudions le prolongement en $1$ .

On reconnaît encore un taux d'accroissement, cette fois de la fonction $\ln$ en $1$ :

\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{\ln x - \ln 1}{x - 1} = (\ln)'(1) = \frac{1}{1} = 1.

La limite vaut $1$ . Le prolongement par continuité en $1$ consiste à poser $\tilde{f}(1) = 1$ .

Exemple 3 : $\dfrac{e^x - 1}{x}$ en $x_0 = 0$

\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^0}{x - 0} = \exp'(0) = e^0 = 1.

On prolonge par continuité en posant $\tilde{f}(0) = 1$ .

Exemple 4 (contre-exemple) : 1/x en x_0 = 0

La fonction $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ n'est pas prolongeable par continuité en $0$ , car $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ . La limite est infinie : aucun prolongement continu n'existe.

⚠️ Attention : lorsque la limite à gauche et la limite à droite existent toutes les deux mais sont différentes, il n'y a pas non plus de prolongement. Par exemple, la fonction signe $\operatorname{sgn}(x)$ a pour limite $-1$ à gauche de $0$ et $+1$ à droite : impossible de choisir une valeur en $0$ qui rende la fonction continue.

Prolongement par continuité et dérivabilité : quelle différence ?

Une fois que l'on a prolongé $f$ par continuité en $x_0$ (obtenant $\tilde{f}$ continue en $x_0$ ) on peut se demander si $\tilde{f}$ est aussi dérivable en $x_0$ . Il faut pour cela étudier le taux d'accroissement :

\lim_{x \to x_0} \frac{\tilde{f}(x) - \tilde{f}(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - \ell}{x - x_0}.

Si cette limite est finie, $\tilde{f}$ est dérivable en $x_0$ et sa dérivée est cette limite. Sinon, $\tilde{f}$ est continue mais non dérivable en $x_0$ (ce qui est possible et fréquent, comme dans l'exercice 2 ci-dessus).

En prépa, le théorème de prolongement de la dérivée énonce : si $f$ est continue sur $I$ , dérivable sur $I \setminus \{x_0\}$ , et si $\displaystyle\lim_{x \to x_0} f'(x) = L \in \mathbb{R}$ , alors $f$ est dérivable en $x_0$ et $f'(x_0) = L$ . Ce théorème est très utile en pratique pour éviter de calculer le taux d'accroissement directement.

Tableau récapitulatif : prolongement par continuité selon le type de limite

Situation en $x_0$	Limite en $x_0$	Prolongement possible ?	Valeur à attribuer
Forme indéterminée $\frac{0}{0}$ levable	$\ell \in \mathbb{R}$	✅ Oui	$\tilde{f}(x_0) = \ell$
Limite infinie $\pm\infty$	$\pm\infty$	❌ Non	Non définie
Limites unilatérales différentes	N'existe pas	❌ Non	Non définie
Oscillation sans limite	N'existe pas	❌ Non	Non définie

Questions fréquentes sur le prolongement par continuité

Qu’est-ce qu’un prolongement par continuité ?

Un prolongement par continuité est une extension du domaine de définition d'une fonction. Si une fonction $f$ n'est pas définie en un point $x_0$ mais y admet une limite finie $\ell$ , on définit une nouvelle fonction $\tilde{f}$ identique à $f$ en dehors de $x_0$ et valant $\ell$ en $x_0$ . La fonction $\tilde{f}$ ainsi construite est continue en $x_0$ .

Comment savoir si une fonction est prolongeable par continuité ?

Il faut et suffit que $f$ admette une limite finie en $x_0$ . Si la limite est $+\infty$ , $-\infty$ , ou n'existe pas (oscillation ou sauts différents à gauche et à droite), la fonction n'est pas prolongeable par continuité en ce point.

Quelle est la différence entre prolongement par continuité et dérivabilité ?

Le prolongement par continuité garantit uniquement que la fonction étendue est continue au point ajouté. La dérivabilité est une condition plus forte : elle exige en plus que le taux d'accroissement admette une limite finie en $x_0$ . Une fonction peut être continue en un point sans y être dérivable (exemple : la valeur absolue en $0$ , ou $x\sin(1/x)$ prolongée en $0$ ).

Conclusion : maîtriser le prolongement par continuité

Le prolongement par continuité est une technique à la fois simple dans son principe et riche dans ses applications. En résumé : une fonction est prolongeable par continuité en un point $x_0$ absent de son domaine si et seulement si elle y admet une limite finie. Dans ce cas, le prolongement est unique (on attribue cette limite comme valeur en $x_0$ ) et la nouvelle fonction est continue sur l'intervalle étendu.

Les exemples canoniques à connaître absolument sont $\frac{\sin x}{x}$ , $\frac{\ln x}{x-1}$ et $\frac{e^x-1}{x}$ , tous prolongeables en $1$ ou en $0$ avec la valeur $1$ . La technique clé pour lever les formes indéterminées $\frac{0}{0}$ est la factorisation ou la reconnaissance d'un taux d'accroissement.

Enfin, ne confondez jamais continuité et dérivabilité : un prolongement par continuité garantit la continuité au point rajouté, mais la dérivabilité en ce point est une question séparée qui mérite une étude spécifique du taux d'accroissement.