Développement Limité (DL) Cours : définition et formules

Le développement limité est un outil fondamental de l'analyse mathématique qui permet d'approcher localement une fonction par un polynôme. Cette technique, directement issue de la formule de Taylor-Young, joue un rôle central dans le calcul de limites difficiles, l'étude locale des courbes et la résolution de nombreux problèmes en physique et en ingénierie. Loin d'être une simple formule abstraite, le développement limité offre une vision concrète du comportement d'une fonction au voisinage d'un point.

Définition rigoureuse du développement limité

Définition formelle

Soit I I un intervalle de R \mathbb{R} , f:I→R f : I \to \mathbb{R} une fonction et x0∈I x_0 \in I . On dit que f f admet un développement limité d'ordre n n (noté DLn_n) au point x0 x_0 s'il existe n+1 n + 1 réels a0,a1,…,an a_0, a_1, \ldots, a_n et une fonction ε \varepsilon définie au voisinage de x0 x_0 tels que :

f(x)=a0+a1(x−x0)+a2(x−x0)2+⋯+an(x−x0)n+(x−x0)nε(x)f(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)^2 + \cdots + a_n(x - x_0)^n + (x - x_0)^n \varepsilon(x)

avec la condition essentielle :

lim⁡x→x0ε(x)=0\lim_{x \to x_0} \varepsilon(x) = 0

On peut également écrire cette formule de manière plus compacte en posant h=x−x0 h = x - x_0 :

f(x0+h)=a0+a1h+a2h2+⋯+anhn+o(hn)f(x_0 + h) = a_0 + a_1 h + a_2 h^2 + \cdots + a_n h^n + o(h^n)

où la notation o(hn) o(h^n) signifie « négligeable devant hn h^n » lorsque h→0 h \to 0 .

Vocabulaire et notations essentielles

  • Partie régulière (ou partie polynomiale) : le polynôme P(x)=a0+a1(x−x0)+⋯+an(x−x0)n P(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + \cdots + a_n(x - x_0)^n
  • Reste : le terme (x−x0)nε(x) (x - x_0)^n \varepsilon(x) , qui devient négligeable devant le dernier terme polynomial
  • Ordre du développement : l'entier n n , qui indique jusqu'à quelle puissance on développe
  • Point de développement : le point x0 x_0 autour duquel on effectue l'approximation

Remarque importante : Dans la très grande majorité des cas, on calcule des développements limités au voisinage de 0, c'est-à-dire x0=0 x_0 = 0 . Les formules sont alors beaucoup plus simples, et c'est pourquoi tous les développements limités usuels que vous devez connaître sont donnés en 0.

Lien avec la formule de Taylor-Young

La formule de Taylor-Young constitue le pont entre la dérivabilité d'une fonction et l'existence d'un développement limité. Elle fournit un moyen direct de calculer les coefficients du développement.

Théorème (Formule de Taylor-Young)

Soit f:I→R f : I \to \mathbb{R} une fonction de classe Cn \mathcal{C}^n sur un intervalle I I et soit a∈I a \in I . Alors f f admet un développement limité d'ordre n n au point a a donné par :

f(a+h)=f(a)+f′(a)h+f′′(a)2!h2+f′′′(a)3!h3+⋯+f(n)(a)n!hn+o(hn)f(a + h) = f(a) + f'(a) h + \frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!} h^2 + \frac{f^{\prime\prime\prime}(a)}{3!} h^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!} h^n + o(h^n)

Autrement dit, les coefficients du développement limité sont :

ak=f(k)(a)k!pour k=0,1,2,…,na_k = \frac{f^{(k)}(a)}{k!} \quad \text{pour } k = 0, 1, 2, \ldots, n

Conséquence pratique : Si une fonction est suffisamment dérivable, on peut toujours calculer son développement limité en utilisant Taylor-Young. Cependant, en pratique, on utilise rarement cette méthode directe car elle nécessite le calcul de nombreuses dérivées successives. On préfère s'appuyer sur les développements limités usuels des fonctions de référence et utiliser les opérations algébriques.

Propriétés fondamentales

Propriété 1 : Unicité

Si une fonction f f admet un développement limité d'ordre n n au point x0 x_0 , alors ce développement est unique. Autrement dit, la partie régulière est entièrement déterminée.

Propriété 2 : Parité et imparité

  • Si f f est une fonction paire, alors son développement limité en 0 ne contient que des puissances paires : a0+a2x2+a4x4+⋯ a_0 + a_2 x^2 + a_4 x^4 + \cdots
  • Si f f est une fonction impaire, alors son développement limité en 0 ne contient que des puissances impaires : a1x+a3x3+a5x5+⋯ a_1 x + a_3 x^3 + a_5 x^5 + \cdots

Exemples : La fonction cosinus (paire) a un DL de la forme 1−x22+x424+⋯ 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \cdots , tandis que le sinus (impair) a un DL de la forme x−x36+x5120+⋯ x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + \cdots

Propriété 3 : Troncature

Si f f admet un DL d'ordre n n en x0 x_0 , alors elle admet un DL d'ordre k k en x0 x_0 pour tout k<n k < n . Il suffit de tronquer la partie régulière en ne gardant que les termes jusqu'à l'ordre k k .

Interprétation géométrique intuitive

Pour bien comprendre l'intérêt du développement limité, il est essentiel de visualiser ce qu'il représente graphiquement.

Développement limité d’ordre 1 : approximation affine

Le développement limité d'ordre 1 d'une fonction f f en x0 x_0 s'écrit :

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+o(x−x0)f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + o(x - x_0)

La partie régulière f(x0)+f′(x0)(x−x0) f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) est exactement l'équation de la tangente à la courbe de f f au point (x0,f(x0)) (x_0, f(x_0)) . Ainsi, le DL d'ordre 1 revient à approximer localement la courbe par sa tangente. L'existence d'un DL1_1 en x0 x_0 équivaut à la dérivabilité de f f en x0 x_0 .

Développement limité d’ordre 2 : approximation parabolique

Le développement limité d'ordre 2 s'écrit :

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2(x−x0)2+o((x−x0)2)f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \frac{f^{\prime\prime}(x_0)}{2}(x - x_0)^2 + o((x - x_0)^2)

Cette fois, la partie régulière est une parabole qui épouse la courbe encore mieux que la simple tangente. Le DL d'ordre 2 permet notamment de préciser la position de la courbe par rapport à sa tangente :

  • Si f′′(x0)>0 f^{\prime\prime}(x_0) > 0 , la courbe est au-dessus de sa tangente au voisinage de x0 x_0 (concavité tournée vers le haut)
  • Si f′′(x0)<0 f^{\prime\prime}(x_0) < 0 , la courbe est au-dessous de sa tangente (concavité tournée vers le bas)
  • Si f′′(x0)=0 f^{\prime\prime}(x_0) = 0 , il faut examiner les termes d'ordre supérieur

Développements limités usuels

Les développements limités suivants sont fondamentaux. Ils sont tous donnés au voisinage de 0 (c'est-à-dire x0=0 x_0 = 0 ) et doivent être mémorisés, car ils servent de base à tous les calculs.

Fonction exponentielle

ex=1+x+x22!+x33!+⋯+xnn!+o(xn)e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)

Logarithme népérien

ln⁡(1+x)=x−x22+x33−x44+⋯+(−1)n−1xnn+o(xn)\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n)

Fonctions trigonométriques

sin⁡x=x−x33!+x55!−x77!+⋯+(−1)px2p+1(2p+1)!+o(x2p+2)\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^p \frac{x^{2p+1}}{(2p+1)!} + o(x^{2p+2})
cos⁡x=1−x22!+x44!−x66!+⋯+(−1)px2p(2p)!+o(x2p+1)\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^p \frac{x^{2p}}{(2p)!} + o(x^{2p+1})
tan⁡x=x+x33+2x515+o(x5)\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + o(x^5)

Puissances et racines

(1+x)α=1+αx+α(α−1)2!x2+α(α−1)(α−2)3!x3+⋯+o(xn)(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!} x^3 + \cdots + o(x^n)

Cas particuliers importants :

1+x=1+x2−x28+x316+o(x3)\sqrt{1 + x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} + \frac{x^3}{16} + o(x^3)
11+x=1−x+x2−x3+⋯+(−1)nxn+o(xn)\frac{1}{1 + x} = 1 - x + x^2 - x^3 + \cdots + (-1)^n x^n + o(x^n)
11−x=1+x+x2+x3+⋯+xn+o(xn)\frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n + o(x^n)

Fonctions hyperboliques

cosh⁡x=1+x22!+x44!+x66!+o(x6)\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + o(x^6)
sinh⁡x=x+x33!+x55!+o(x5)\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + o(x^5)

Opérations sur les développements limités

L'un des grands avantages des développements limités est qu'on peut les combiner algébriquement. Voici les règles essentielles.

Somme et combinaison linéaire

Si f f et g g admettent des DL d'ordre n n en x0 x_0 :

f(x)=P(x)+o((x−x0)n)etg(x)=Q(x)+o((x−x0)n)f(x) = P(x) + o((x - x_0)^n) \quad \text{et} \quad g(x) = Q(x) + o((x - x_0)^n)

alors pour tout λ,μ∈R \lambda, \mu \in \mathbb{R} :

λf(x)+μg(x)=λP(x)+μQ(x)+o((x−x0)n)\lambda f(x) + \mu g(x) = \lambda P(x) + \mu Q(x) + o((x - x_0)^n)

Produit

Si f f et g g admettent des DL d'ordre n n en x0 x_0 , alors f×g f \times g admet un DL d'ordre n n dont la partie régulière s'obtient en multipliant les parties régulières de f f et g g et en ne conservant que les termes de degré ≤n \leq n .

Exemple : Calculons le DL d'ordre 3 de excos⁡x e^x \cos x en 0.

ex=1+x+x22+x36+o(x3)e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)
cos⁡x=1−x22+o(x3)\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3)

On multiplie :

excos⁡x=(1+x+x22+x36)(1−x22)+o(x3)e^x \cos x = \left(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}\right) \left(1 - \frac{x^2}{2}\right) + o(x^3)
=1+x+x22+x36−x22−x32−x44+o(x3)=1+x+(x22−x22)+(x36−x32)+o(x3)=1+x−x33+o(x3)\begin{align*} &= 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{2} - \frac{x^4}{4} + o(x^3) \\ &= 1 + x + \left(\frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{2}\right) + \left(\frac{x^3}{6} - \frac{x^3}{2}\right) + o(x^3) \\ &= 1 + x - \frac{x^3}{3} + o(x^3) \end{align*}

Quotient

Si f f et g g admettent des DL d'ordre n n en x0 x_0 et si g(x0)≠0 g(x_0) \neq 0 , alors fg \frac{f}{g} admet un DL d'ordre n n . Pour le calculer, on se ramène souvent à une forme 11+u \frac{1}{1 + u} où u→0 u \to 0 , puis on utilise le développement de l'inverse.

Exemple : Calculons le DL d'ordre 3 de tan⁡x=sin⁡xcos⁡x \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} en 0.

sin⁡x=x−x36+o(x3)\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)
cos⁡x=1−x22+o(x3)\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^3)

On effectue une division suivant les puissances croissantes (méthode analogue à la division euclidienne) pour obtenir :

tan⁡x=x+x33+o(x3)\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)

Composition

Si u u admet un DL d'ordre n n en x0 x_0 avec u(x0)=0 u(x_0) = 0 , et si v v admet un DL d'ordre n n en 0, alors v∘u v \circ u admet un DL d'ordre n n en x0 x_0 .

La méthode consiste à :

  1. Calculer le DL de u(x) u(x) en x0 x_0
  2. Calculer le DL de v(t) v(t) en 0
  3. Remplacer t t par le DL de u(x) u(x) dans le DL de v v
  4. Ne conserver que les termes jusqu'à l'ordre n n

Exemple : Calculons le DL d'ordre 3 de sin⁡(ex−1) \sin(e^x - 1) en 0.

Posons u(x)=ex−1 u(x) = e^x - 1 . On a u(0)=0 u(0) = 0 et :

u(x)=x+x22+x36+o(x3)u(x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)

Ensuite, sin⁡t=t−t36+o(t3) \sin t = t - \frac{t^3}{6} + o(t^3) . On remplace t t par u(x) u(x) :

sin⁡(u(x))=u(x)−u(x)36+o(u(x)3)=(x+x22+x36)−16(x+x22)3+o(x3)=x+x22+x36−x36+o(x3)=x+x22+o(x3)\begin{align*} \sin(u(x)) &= u(x) - \frac{u(x)^3}{6} + o(u(x)^3) \\ &= \left(x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}\right) - \frac{1}{6}\left(x + \frac{x^2}{2}\right)^3 + o(x^3) \\ &= x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \\ &= x + \frac{x^2}{2} + o(x^3) \end{align*}

Intégration

Si f f est continue et admet un DL d'ordre n n en x0 x_0 , alors toute primitive F F de f f admet un DL d'ordre n+1 n + 1 en x0 x_0 . La partie régulière de F F s'obtient en intégrant terme à terme la partie régulière de f f .

Exemple : Calculons le DL d'ordre 4 de arctan⁡x \arctan x en 0.

On sait que (arctan⁡x)′=11+x2 (\arctan x)' = \frac{1}{1 + x^2} . On calcule d'abord :

11+x2=1−x2+x4+o(x4)\frac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 + o(x^4)

En intégrant :

arctan⁡x=x−x33+x55+o(x5)\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + o(x^5)

La constante d'intégration est nulle car arctan⁡(0)=0 \arctan(0) = 0 .

Attention à la dérivation ! Contrairement à l'intégration, il n'existe pas de théorème général permettant de dériver un développement limité. Une fonction peut admettre un DL d'ordre n n sans que sa dérivée admette un DL d'ordre n−1 n - 1 .

Développement limité en un point quelconque

Pour calculer un DL en un point x0≠0 x_0 \neq 0 , on utilise le changement de variable h=x−x0 h = x - x_0 . On se ramène alors à un DL en 0 pour la fonction g(h)=f(x0+h) g(h) = f(x_0 + h) .

Exemple : Calculons le DL d'ordre 2 de cos⁡x \cos x au point x0=π2 x_0 = \frac{\pi}{2} .

Posons h=x−π2 h = x - \frac{\pi}{2} . On a :

cos⁡x=cos⁡(π2+h)=cos⁡π2cos⁡h−sin⁡π2sin⁡h=−sin⁡h\cos x = \cos\left(\frac{\pi}{2} + h\right) = \cos\frac{\pi}{2} \cos h - \sin\frac{\pi}{2} \sin h = -\sin h

Or, le DL de sin⁡h \sin h en 0 est :

sin⁡h=h−h36+o(h3)\sin h = h - \frac{h^3}{6} + o(h^3)

Donc :

cos⁡x=−(x−π2)+16(x−π2)3+o((x−π2)3)\cos x = -\left(x - \frac{\pi}{2}\right) + \frac{1}{6}\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^3 + o\left(\left(x - \frac{\pi}{2}\right)^3\right)

Développement limité à l’infini

Pour étudier le comportement d'une fonction en +∞ +\infty ou −∞ -\infty , on utilise le changement de variable X=1x X = \frac{1}{x} , qui tend vers 0 lorsque x→±∞ x \to \pm\infty . On calcule alors le DL de f(1X) f\left(\frac{1}{X}\right) en 0.

Exemple : Cherchons l'asymptote de f(x)=2x2+x+1x+1 f(x) = \frac{2x^2 + x + 1}{x + 1} en +∞ +\infty .

Posons X=1x X = \frac{1}{x} , donc x=1X x = \frac{1}{X} :

f(1X)=2⋅1X2+1X+11X+1=2+X+X2X21+XX=2+X+X2X(1+X)f\left(\frac{1}{X}\right) = \frac{2 \cdot \frac{1}{X^2} + \frac{1}{X} + 1}{\frac{1}{X} + 1} = \frac{\frac{2 + X + X^2}{X^2}}{\frac{1 + X}{X}} = \frac{2 + X + X^2}{X(1 + X)}
=2+X+X2X+X2=2X⋅1+X2+X221+X= \frac{2 + X + X^2}{X + X^2} = \frac{2}{X} \cdot \frac{1 + \frac{X}{2} + \frac{X^2}{2}}{1 + X}

En utilisant 11+X=1−X+X2+o(X2) \frac{1}{1 + X} = 1 - X + X^2 + o(X^2) :

f(1X)=2X(1+X2)(1−X)+o(1)=2X−32+o(1)f\left(\frac{1}{X}\right) = \frac{2}{X}\left(1 + \frac{X}{2}\right)(1 - X) + o(1) = \frac{2}{X} - \frac{3}{2} + o(1)

En revenant à x x :

f(x)=2x−32+o(1)f(x) = 2x - \frac{3}{2} + o(1)

Donc la droite y=2x−32 y = 2x - \frac{3}{2} est une asymptote oblique en +∞ +\infty .

Applications pratiques des développements limités

Application 1 : Calcul de limites

Les développements limités sont particulièrement efficaces pour lever les formes indéterminées du type 00 \frac{0}{0} , 0×∞ 0 \times \infty , 1∞ 1^\infty , etc.

Exemple 1 : Calculer lim⁡x→0sin⁡x−xx3 \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}

On utilise le DL du sinus :

sin⁡x=x−x36+o(x3)\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)

Donc :

sin⁡x−xx3=−x36+o(x3)x3=−16+o(1)→x→0−16\frac{\sin x - x}{x^3} = \frac{-\frac{x^3}{6} + o(x^3)}{x^3} = -\frac{1}{6} + o(1) \xrightarrow[x \to 0]{} -\frac{1}{6}

Exemple 2 : Calculer lim⁡x→0ex−1−xx2 \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}

ex=1+x+x22+o(x2)e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)
ex−1−xx2=x22+o(x2)x2=12+o(1)→x→012\frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2} = \frac{1}{2} + o(1) \xrightarrow[x \to 0]{} \frac{1}{2}

Application 2 : Étude locale de courbes

Le développement limité permet de déterminer l'allure locale d'une courbe : tangente, position par rapport à la tangente, points d'inflexion.

Exemple : Étudier la fonction f(x)=xln⁡(1+x) f(x) = x \ln(1 + x) au voisinage de 0.

ln⁡(1+x)=x−x22+x33+o(x3)\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)
f(x)=x(x−x22+x33)+o(x4)=x2−x32+x43+o(x4)f(x) = x \left(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}\right) + o(x^4) = x^2 - \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{3} + o(x^4)

Conséquences :

  • f(0)=0 f(0) = 0 : la courbe passe par l'origine
  • f′(0)=0 f'(0) = 0 : la tangente en 0 est horizontale (équation y=0 y = 0 )
  • Le terme dominant non nul est x2>0 x^2 > 0 , donc la courbe est au-dessus de sa tangente au voisinage de 0

Application 3 : Recherche d’équivalents

L'équivalent d'une fonction est donné par le premier terme non nul de son développement limité.

Exemple : Trouver un équivalent de 1−cos⁡x 1 - \cos x au voisinage de 0.

cos⁡x=1−x22+o(x2)\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2)
1−cos⁡x=x22+o(x2)∼x22lorsque x→01 - \cos x = \frac{x^2}{2} + o(x^2) \sim \frac{x^2}{2} \quad \text{lorsque } x \to 0

Résumé de cours

  • Le développement limité d'ordre n en x₀ permet d'approximer une fonction par un polynôme : f(x) = a₀ + a₁(x - x₀) + ... + aₙ(x - x₀)ⁿ + o((x - x₀)ⁿ)
  • La formule de Taylor-Young donne les coefficients explicites : aₖ = f⁽ᵏ⁾(x₀) / k! pour les fonctions de classe Cⁿ
  • Le développement limité est unique : la partie régulière est entièrement déterminée
  • Les fonctions paires ont des DL avec uniquement des puissances paires, les fonctions impaires avec uniquement des puissances impaires
  • Le DL d'ordre 1 représente l'équation de la tangente, le DL d'ordre 2 précise la position par rapport à cette tangente
  • Les développements limités usuels (exp, ln, sin, cos, tan, puissances) au voisinage de 0 doivent être mémorisés
  • Les opérations algébriques (somme, produit, composition) permettent de calculer de nouveaux DL sans utiliser Taylor-Young
  • Pour calculer un DL au quotient, on se ramène à la forme 1/(1 + u) puis on utilise le développement de l'inverse
  • L'intégration terme à terme d'un DL d'ordre n donne un DL d'ordre n + 1, mais la dérivation n'est pas toujours possible
  • Pour un DL en un point x₀ ≠ 0, on pose h = x - x₀ et on se ramène à un DL en 0
  • Pour un DL à l'infini, on pose X = 1/x et on calcule le DL de f(1/X) en 0
  • Les DL sont essentiels pour lever les formes indéterminées et calculer des limites difficiles
  • L'équivalent d'une fonction au voisinage d'un point est donné par le premier terme non nul de son DL
  • Le développement limité permet de déterminer les asymptotes obliques et l'allure locale des courbes
  • Ne jamais confondre développement limité (approximation locale) et série entière (égalité globale)

Pour approfondir : Vous pouvez consulter l'article Développement limité sur Wikipédia pour des compléments théoriques et historiques.

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