Probabilités 4ème : événements et contraires expliqués

Les probabilités en 4ème mesurent l'incertitude d'une expérience dont on connaît les résultats possibles sans pouvoir prévoir celui qui se produira. Lancer un dé équilibré donne six issues ; l'événement « obtenir un nombre pair » en regroupe trois.

La formule « cas favorables sur cas possibles » n'est juste que si les issues sont équiprobables. Ce cours installe donc d'abord le vocabulaire, vérifie le modèle, puis utilise les événements contraires pour calculer plus efficacement.

Table des Matières

Expérience aléatoire, issue et univers

Expérience aléatoire

Une expérience est aléatoire lorsqu'on connaît ses résultats possibles mais qu'on ne peut pas prévoir avec certitude celui qui se réalisera. Chaque résultat possible est une issue ; l'ensemble des issues est l'univers.

Pour un dé à six faces, l'univers est ${1;2;3;4;5;6}$ . Une issue est précise, par exemple 4. « Obtenir un nombre pair » n'est pas une issue mais un événement regroupant 2, 4 et 6.

Événement élémentaire, certain ou impossible

Type	Définition	Probabilité
élémentaire	une seule issue	entre 0 et 1
certain	toutes les issues	$1$
impossible	aucune issue	$0$

La probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1. Elle peut aussi s'écrire sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage.

Équiprobabilité : condition avant le quotient

Équiprobabilité

Une expérience est équiprobable lorsque toutes ses issues ont la même probabilité.

Roue à huit secteurs équiprobables dont trois favorables — Sur une roue partagée en huit secteurs égaux, chaque secteur a la même probabilité.

Calcul en situation d’équiprobabilité

$P(A)=\frac{\text{nombre d'issues favorables à }A}{\text{nombre total d'issues}}$ .

P(A)=\frac38=0{,}375=37{,}5\,\%.

Erreur fréquente : sur une roue dont les secteurs n'ont pas la même aire, compter les couleurs ne suffit pas. Il faut tenir compte de la probabilité propre à chaque secteur.

Probabilité d’un événement composé de plusieurs issues

Somme des probabilités des issues

La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des issues qui le réalisent. En équiprobabilité, cette somme conduit au quotient des effectifs.

Avec un dé équilibré, l'événement $A$ « obtenir au moins 4 » contient 4, 5 et 6. On obtient $P(A)=\frac16+\frac16+\frac16=\frac12$ .

Événement contraire : calculer par complément

Événement contraire

L'événement contraire de $A$ , noté (overline A), contient exactement toutes les issues qui ne réalisent pas $A$ . L'un des deux événements se réalise toujours, mais jamais les deux ensemble.

P(\overline A)=1-P(A).

Si la probabilité de réussir au moins une fois vaut $1-P(\text{aucune réussite})$ , calculer l'échec total peut être plus simple que compter tous les cas favorables.

Erreur fréquente : deux événements incompatibles ne sont pas forcément contraires. « obtenir 1 » et « obtenir 2 » ne peuvent pas arriver ensemble, mais d'autres issues restent possibles.

Stabilisation des fréquences et probabilité

Lorsqu'on répète un grand nombre de fois une expérience dans les mêmes conditions, la fréquence d'une issue tend à se stabiliser près de sa probabilité théorique. Sur quelques essais seulement, des écarts importants restent normaux.

Cette observation prolonge les situations équiprobables de 5ème et explique pourquoi une probabilité de $\frac12$ ne garantit pas exactement cinq succès en dix essais.

Rédiger un calcul de probabilité

Décrire l'expérience et l'univers.
Nommer l'événement par une phrase claire.
Vérifier si les issues sont équiprobables.
Compter les issues favorables sans doublon.
Calculer, simplifier et interpréter.

Les fractions en 4ème servent à simplifier et convertir le résultat, mais le raisonnement probabiliste doit précéder le calcul.

Astuce : écrire l'événement sous forme d'une liste d'issues quand l'univers est petit. Le comptage devient vérifiable.

Représenter un événement par un ensemble d’issues

Lors du lancer d'un dé, l'univers est $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$ . L'événement $A$ « obtenir un nombre pair » est l'ensemble $\{2,4,6\}$ . L'événement $B$ « obtenir au moins 5 » est $\{5,6\}$ . Écrire les issues rend les intersections et réunions visibles.

Expression	Issues
$A\cap B$	$\{6\}$
$A\cup B$	$\{2,4,5,6\}$
$\overline A$	$\{1,3,5\}$

Construire un arbre pour une expérience à deux étapes

Une urne contient une boule rouge et deux bleues. On tire une boule, on la remet, puis on tire de nouveau. Un arbre représente les choix successifs. La probabilité d'un chemin se calcule en multipliant les probabilités de ses branches ; celles de plusieurs chemins favorables s'additionnent.

P(R\ \text{puis}\ R)=\frac13\times\frac13=\frac19.

Avec remise, les probabilités restent identiques au second tirage. Sans remise, le contenu de l'urne change : il faut recalculer les branches au second niveau.

Distinguer fréquence observée et probabilité

La probabilité décrit un modèle théorique ; la fréquence est le quotient obtenu lors d'une série réelle d'expériences. Sur peu d'essais, la fréquence peut s'éloigner fortement de la probabilité. Lorsque le nombre d'essais augmente, elle tend généralement à s'en rapprocher.

Erreur fréquente : obtenir six fois pile sur dix lancers ne prouve pas que la probabilité de pile vaut 0,6. C'est seulement la fréquence de cette série.

Calculer plus vite avec l’événement contraire

On lance deux dés équilibrés. Calculer directement la probabilité d'obtenir au moins un 6 demanderait de compter les cas avec un seul 6 et avec deux 6. L'événement contraire est « aucun dé ne montre 6 ». Pour chaque dé, sa probabilité vaut $5/6$ .

P(\text{au moins un }6)=1-\frac56\times\frac56=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}.

Le produit est possible parce que les deux lancers sont indépendants. La méthode par complément est particulièrement utile pour les expressions « au moins un », « pas tous » ou « jamais », dont le contraire possède souvent une description unique.

Un comptage direct confirme le résultat : parmi les 36 couples ordonnés, 6 ont un premier dé égal à 6 et 6 un second dé égal à 6, mais le couple $(6;6)$ a été compté deux fois. Il y a donc $6+6-1=11$ issues favorables. Les deux méthodes donnent $11/36$ .

Probabilités 4ème : l’essentiel à retenir

Les probabilités en 4ème commencent par un modèle correct : univers, issues, événement et éventuelle équiprobabilité. On calcule alors un quotient d'issues ou une somme, et l'événement contraire fournit le complément à 1.

Le programme officiel de mathématiques du cycle 4 vise autant la précision du vocabulaire que le calcul numérique de la probabilité.