Les probabilités en 5ème mesurent les chances qu’un événement se produise lors d’une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude. Un lancer de dé a six résultats possibles, mais « obtenir un nombre pair » regroupe trois de ces résultats.
La difficulté principale est donc le vocabulaire et l’organisation des possibles. Nous construirons l’univers, distinguerons une issue d’un événement et vérifierons l’équiprobabilité avant tout calcul.
Décrire correctement une expérience aléatoire
Expérience aléatoire et issue
Une expérience est aléatoire lorsque son résultat ne peut pas être connu à l’avance avec certitude. Une issue est l’un des résultats possibles de cette expérience.
Pour un dé équilibré à six faces, les issues sont \(1,2,3,4,5,6\). L’ensemble de toutes les issues est appelé univers ; on peut l’écrire \(\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}\).
La description de l’expérience doit être assez précise. « Tirer une boule d’un sac puis la remettre » et « tirer sans remise » ne produisent pas les mêmes expériences lorsqu’on répète le tirage.
Un événement peut contenir plusieurs issues
Événement
Un événement est une condition qui peut être réalisée ou non après l’expérience. Il correspond à un ensemble d’issues.
| Événement lors d’un lancer de dé | Issues |
|---|---|
| Obtenir un nombre pair | \(\{2;4;6\}\) |
| Obtenir un nombre supérieur à \(4\) | \(\{5;6\}\) |
| Obtenir \(3\) | \(\{3\}\) |
| Obtenir un nombre inférieur à \(7\) | \(\Omega\) |
| Obtenir \(8\) | \(\varnothing\) |
Un événement contenant une seule issue est élémentaire. Celui qui contient tout l’univers est certain ; celui qui ne contient aucune issue est impossible.
Erreur fréquente : « obtenir un nombre pair » n’est pas une issue unique : c’est un événement composé des trois issues \(2,4,6\).
Associer une probabilité à une chance
Probabilité
La probabilité d’un événement est un nombre compris entre \(0\) et \(1\). Plus elle est proche de \(1\), plus l’événement a de chances de se produire.
Un événement impossible a une probabilité \(0\), un événement certain une probabilité \(1\). Une probabilité peut aussi s’écrire en pourcentage : \(0,25=25\,\%\).
La probabilité ne prédit pas le prochain résultat. Même si \(P(\text{obtenir }6)=\frac16\), le prochain lancer peut donner \(6\) ou une autre face.
Quand peut-on compter les cas favorables ?
Équiprobabilité
Une situation est équiprobable lorsque toutes les issues ont la même probabilité. Un dé équilibré ou une pièce équilibrée modélisent cette situation.
Calcul en situation d’équiprobabilité
La formule exige l’équiprobabilité. Dans une roue dont les secteurs n’ont pas la même aire, compter les couleurs ne suffit pas ; un grand secteur a plus de chances d’être atteint qu’un petit.
Exemple visuel : compter après avoir vérifié
Le dessin montre pourquoi le dénominateur vaut \(8\) et le numérateur \(3\). Si les secteurs avaient des tailles différentes, cette fraction ne serait plus justifiée par un simple comptage.
Événement contraire et somme à un
Événement contraire
L’événement contraire de \(A\), noté ici « non \(A\) », est réalisé exactement lorsque \(A\) ne l’est pas. Les deux événements se partagent toutes les issues sans chevauchement.
Avec un dé, si \(A\) est « obtenir un nombre pair », alors non \(A\) est « obtenir un nombre impair ». Chaque événement contient trois issues, donc leurs probabilités valent \(\frac12\).
Pour calculer « ne pas obtenir \(6\) », il est plus rapide d’écrire \(1-\frac16=\frac56\) que de lister cinq issues, même si les deux raisonnements sont corrects.
Comparer des événements sans confondre nombre et résultat
Avec deux dés, l’événement « somme égale à \(7\) » possède six couples favorables, tandis que « somme égale à \(12\) » n’en possède qu’un. Les sommes \(2\) à \(12\) ne sont donc pas équiprobables, même si chaque dé est équilibré.
Ce sont les couples ordonnés \((1;1),(1;2),\ldots,(6;6)\) qui forment \(36\) issues équiprobables. Regrouper ces issues par somme produit des événements de tailles différentes.
Erreur fréquente : ne jamais supposer que des résultats nommés différemment sont équiprobables. Il faut identifier les issues élémentaires du modèle.
Fréquence expérimentale et probabilité théorique
En répétant une expérience, la fréquence d’un événement est le nombre de réalisations divisé par le nombre d’essais. Sur \(60\) lancers, obtenir \(6\) neuf fois donne une fréquence \(\frac{9}{60}=0,15\), qui n’est pas exactement \(\frac16\).
Quand le nombre d’essais augmente, la fréquence a tendance à se rapprocher de la probabilité théorique, sans être obligée de lui être égale. Les outils d’effectif et de fréquence viennent du cours de statistiques en 5ème.
Astuce : avant d’utiliser une formule, écrire l’univers, les issues favorables et une phrase justifiant l’équiprobabilité.
Résoudre un problème de tirage simple
Un sac opaque contient \(4\) jetons bleus, \(3\) rouges et \(1\) vert, identiques au toucher. On tire un jeton. Les huit jetons sont modélisés comme équiprobables.
L’expression « identiques au toucher » justifie que la couleur ne permet pas de sélectionner un jeton. Sans cette information, l’équiprobabilité serait une hypothèse non fondée.
Les fractions employées dans ces calculs sont celles étudiées dans Fractions 5ème : quotient, égalité et comparaison.
Tableau à double entrée pour deux pièces
On lance deux pièces équilibrées. Pour distinguer les lancers, on note le résultat de la première puis de la seconde. L’univers contient \(PP,PF,FP,FF\), quatre issues équiprobables.
| Événement | Issues favorables | Probabilité |
|---|---|---|
| Deux piles | \(PP\) | \(\frac14\) |
| Exactement une pile | \(PF,FP\) | \(\frac24=\frac12\) |
| Au moins une pile | \(PP,PF,FP\) | \(\frac34\) |
| Aucune pile | \(FF\) | \(\frac14\) |
« Au moins une » inclut le cas d’une seule pile et celui de deux piles. Son événement contraire est « aucune pile », ce qui permet aussi le calcul \(1-\frac14=\frac34\).
Écrire seulement \(PF\) pour « une pile et une face » oublierait l’issue \(FP\). L’ordre ne change pas le nombre de piles, mais il distingue deux déroulements possibles de l’expérience.
Probabilité ou fréquence : une simulation courte
Une pièce équilibrée est lancée \(20\) fois et donne \(13\) piles. La fréquence observée est \(\frac{13}{20}=0,65\), alors que la probabilité théorique de pile vaut \(0,5\).
Cette différence n’indique pas nécessairement que la pièce est truquée. Sur une petite série, les fluctuations sont visibles. Répéter davantage tend à stabiliser la fréquence autour de la probabilité.
Il faut donc écrire « fréquence de pile dans cette expérience : \(0,65\) » et « probabilité de pile dans le modèle équilibré : \(0,5\) ». Les deux nombres ne décrivent pas le même objet.
Probabilités 5ème : l’essentiel à retenir
Les probabilités en 5ème exigent d’abord un modèle précis : expérience, univers, issues et événement. La formule « cas favorables sur cas possibles » n’est valable que lorsque les issues sont équiprobables.
Le programme officiel de mathématiques du cycle 4 installe ce vocabulaire et relie les expériences répétées aux fréquences observées, sans confondre hasard et prédiction.