Probabilités 5ème : issues, événements et équiprobabilité

Décrire correctement une expérience aléatoire

Pour un dé équilibré à six faces, les issues sont $1,2,3,4,5,6$. L'ensemble de toutes les issues est appelé univers ; on peut l'écrire $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$.

La description de l'expérience doit être assez précise. « Tirer une boule d'un sac puis la remettre » et « tirer sans remise » ne produisent pas les mêmes expériences lorsqu'on répète le tirage.

Un événement peut contenir plusieurs issues

Un événement contenant une seule issue est élémentaire. Celui qui contient tout l'univers est certain ; celui qui ne contient aucune issue est impossible.

Erreur fréquente : « obtenir un nombre pair » n'est pas une issue unique : c'est un événement composé des trois issues $2,4,6$.

Associer une probabilité à une chance

Un événement impossible a une probabilité $0$, un événement certain une probabilité $1$. Une probabilité peut aussi s'écrire en pourcentage : $0,25=25\,\%$.

La probabilité ne prédit pas le prochain résultat. Même si $P(\text{obtenir }6)=\frac16$, le prochain lancer peut donner $6$ ou une autre face.

Quand peut-on compter les cas favorables ?

La formule exige l'équiprobabilité. Dans une roue dont les secteurs n'ont pas la même aire, compter les couleurs ne suffit pas ; un grand secteur a plus de chances d'être atteint qu'un petit.

Exemple visuel : compter après avoir vérifié

Le dessin montre pourquoi le dénominateur vaut $8$ et le numérateur $3$. Si les secteurs avaient des tailles différentes, cette fraction ne serait plus justifiée par un simple comptage.

Événement contraire et somme à un

Avec un dé, si $A$ est « obtenir un nombre pair », alors non $A$ est « obtenir un nombre impair ». Chaque événement contient trois issues, donc leurs probabilités valent $\frac12$.

Pour calculer « ne pas obtenir $6$ », il est plus rapide d'écrire $1-\frac16=\frac56$ que de lister cinq issues, même si les deux raisonnements sont corrects.

Comparer des événements sans confondre nombre et résultat

Avec deux dés, l'événement « somme égale à $7$ » possède six couples favorables, tandis que « somme égale à $12$ » n'en possède qu'un. Les sommes $2$ à $12$ ne sont donc pas équiprobables, même si chaque dé est équilibré.

Ce sont les couples ordonnés $(1;1),(1;2),\ldots,(6;6)$ qui forment $36$ issues équiprobables. Regrouper ces issues par somme produit des événements de tailles différentes.

Erreur fréquente : ne jamais supposer que des résultats nommés différemment sont équiprobables. Il faut identifier les issues élémentaires du modèle.

Fréquence expérimentale et probabilité théorique

En répétant une expérience, la fréquence d'un événement est le nombre de réalisations divisé par le nombre d'essais. Sur $60$ lancers, obtenir $6$ neuf fois donne une fréquence $\frac{9}{60}=0,15$, qui n'est pas exactement $\frac16$.

Quand le nombre d'essais augmente, la fréquence a tendance à se rapprocher de la probabilité théorique, sans être obligée de lui être égale. Les outils d'effectif et de fréquence viennent du cours de statistiques en 5ème.

Astuce : avant d'utiliser une formule, écrire l'univers, les issues favorables et une phrase justifiant l'équiprobabilité.

Résoudre un problème de tirage simple

Un sac opaque contient $4$ jetons bleus, $3$ rouges et $1$ vert, identiques au toucher. On tire un jeton. Les huit jetons sont modélisés comme équiprobables.

L'expression « identiques au toucher » justifie que la couleur ne permet pas de sélectionner un jeton. Sans cette information, l'équiprobabilité serait une hypothèse non fondée.

Les fractions employées dans ces calculs sont celles étudiées dans Fractions 5ème : quotient, égalité et comparaison.

Tableau à double entrée pour deux pièces

On lance deux pièces équilibrées. Pour distinguer les lancers, on note le résultat de la première puis de la seconde. L'univers contient $PP,PF,FP,FF$, quatre issues équiprobables.

« Au moins une » inclut le cas d'une seule pile et celui de deux piles. Son événement contraire est « aucune pile », ce qui permet aussi le calcul $1-\frac14=\frac34$.

Écrire seulement $PF$ pour « une pile et une face » oublierait l'issue $FP$. L'ordre ne change pas le nombre de piles, mais il distingue deux déroulements possibles de l'expérience.

Probabilité ou fréquence : une simulation courte

Une pièce équilibrée est lancée $20$ fois et donne $13$ piles. La fréquence observée est $\frac{13}{20}=0,65$, alors que la probabilité théorique de pile vaut $0,5$.

Cette différence n'indique pas nécessairement que la pièce est truquée. Sur une petite série, les fluctuations sont visibles. Répéter davantage tend à stabiliser la fréquence autour de la probabilité.

Il faut donc écrire « fréquence de pile dans cette expérience : $0,65$ » et « probabilité de pile dans le modèle équilibré : $0,5$ ». Les deux nombres ne décrivent pas le même objet.

Probabilités 5ème : l’essentiel à retenir

Les probabilités en 5ème exigent d'abord un modèle précis : expérience, univers, issues et événement. La formule « cas favorables sur cas possibles » n'est valable que lorsque les issues sont équiprobables.

Le programme officiel de mathématiques du cycle 4 installe ce vocabulaire et relie les expériences répétées aux fréquences observées, sans confondre hasard et prédiction.