Probabilités 4ème : 10 exercices corrigés

Ces exercices corrigés de probabilités en 4ème apprennent à décrire l'univers, compter les issues favorables et vérifier si elles sont équiprobables. Le cours sur les événements et l'équiprobabilité rappelle le vocabulaire.

Les fréquences expérimentales sont comparées aux probabilités théoriques sans être confondues. Les tableaux d'effectifs peuvent être révisés dans le cours de statistiques.

Décrire l’univers et les événements

Une expérience aléatoire commence par une liste précise des issues possibles et par une formulation non ambiguë de l'événement.

Exercice 1 : Dé à six faces

Facile

On lance un dé équilibré à six faces numérotées de 11 à 66.

  1. Écrire l'univers.
  2. Lister les issues de l'événement A : obtenir un nombre pair.
  3. Lister celles de B : obtenir un nombre supérieur à 44.
  4. Décrire l'événement contraire de A.
Indication

L'univers contient tous les résultats possibles du lancer.

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  1. Ω={1,2,3,4,5,6}\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}.
  2. A={2,4,6}A=\{2,4,6\}.
  3. B={5,6}B=\{5,6\}.
  4. Le contraire de A est « obtenir un nombre impair », soit A‾={1,3,5}\overline A=\{1,3,5\}.

Exercice 2 : Certain, impossible ou aléatoire

Facile

Une roue porte les nombres 2,4,6,82,4,6,8 sur quatre secteurs.

  1. Classer « obtenir un nombre pair ».
  2. Classer « obtenir 55 ».
  3. Classer « obtenir un nombre supérieur à 55 ».
  4. Donner un événement différent ayant une probabilité comprise strictement entre 00 et 11.
Indication

Un événement certain contient toutes les issues ; un événement impossible n'en contient aucune.

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  1. Obtenir un nombre pair est certain.
  2. Obtenir 55 est impossible.
  3. Obtenir un nombre supérieur à 55 est aléatoire : les issues sont 66 et 88.
  4. Par exemple, « obtenir 22 » est un événement de probabilité strictement comprise entre 00 et 11.

Calculer en situation d’équiprobabilité

Quand toutes les issues ont la même chance, la probabilité est le quotient du nombre d'issues favorables par le nombre total d'issues.

Exercice 3 : Une carte parmi douze

Facile

Douze cartes portent les nombres de 11 à 1212. On en tire une au hasard.

  1. Calculer la probabilité d'obtenir un multiple de 33.
  2. Calculer celle d'obtenir un nombre premier.
  3. Calculer celle d'obtenir un nombre à la fois pair et multiple de 33.
Indication

Listez les issues favorables avant d'écrire la fraction.

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  1. Les multiples de 33 sont 3,6,9,123,6,9,12, donc P=4/12=1/3P=4/12=1/3.
  2. Les nombres premiers sont 2,3,5,7,112,3,5,7,11, donc P=5/12P=5/12.
  3. Les issues 66 et 1212 conviennent, donc P=2/12=1/6P=2/12=1/6.

Exercice 4 : Boules colorées

Moyen

Un sac contient 55 boules rouges, 33 bleues et 22 vertes, indiscernables au toucher.

  1. Calculer P(R)P(R), P(B)P(B) et P(V)P(V).
  2. Calculer la probabilité de ne pas tirer rouge.
  3. Comparer la méthode directe et l'événement contraire.
  4. Quelle couleur faudrait-il ajouter une fois pour que le bleu et le vert aient la même probabilité ?
Indication

L'effectif total vaut 1010. Pour le contraire, utilisez 1−P(R)1-P(R).

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  1. P(R)=1/2P(R)=1/2, P(B)=3/10P(B)=3/10, P(V)=1/5P(V)=1/5.
  2. P(R‾)=1−1/2=1/2P(\overline R)=1-1/2=1/2.
  3. Directement, il y a 3+2=53+2=5 boules non rouges sur 1010, soit 1/21/2.
  4. Ajouter une boule verte donne 33 bleues et 33 vertes sur 1111, donc les probabilités deviennent égales.

Exercice 5 : Événements contraires

Moyen

Une expérience vérifie P(A)=0,37P(A)=0{,}37. On sait aussi que P(B)=720P(B)=\frac7{20}.

  1. Calculer P(A‾)P(\overline A).
  2. Calculer P(B‾)P(\overline B).
  3. Dire si A et B peuvent être des événements contraires.
  4. Justifier sans connaître l'univers.
Indication

Deux événements contraires ont des probabilités dont la somme vaut 11.

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  1. P(A‾)=0,63P(\overline A)=0{,}63.
  2. P(B‾)=1−7/20=13/20=0,65P(\overline B)=1-7/20=13/20=0{,}65.
  3. A et B ne peuvent pas être contraires, car 0,37+0,35=0,72≠10{,}37+0{,}35=0{,}72\neq1.
  4. La relation des contraires suffit, indépendamment de la description des issues.

Vérifier l’équiprobabilité et représenter deux étapes

Des secteurs de tailles différentes ou des objets non uniformes imposent d'utiliser les probabilités données plutôt qu'un simple comptage.

Exercice 6 : Une roue trompeuse

Moyen

Une roue a trois secteurs : rouge 180∘180^\circ, bleu 120∘120^\circ, vert 60∘60^\circ.

  1. Expliquer pourquoi les couleurs ne sont pas équiprobables.
  2. Calculer les trois probabilités.
  3. Vérifier leur somme.
  4. Comparer rouge et ensemble bleu ou vert.
Indication

La probabilité d'un secteur est proportionnelle à son angle sur 360∘360^\circ.

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  1. Les secteurs n'ont pas le même angle.
  2. P(R)=180/360=1/2P(R)=180/360=1/2, P(B)=1/3P(B)=1/3, P(V)=1/6P(V)=1/6.
  3. 1/2+1/3+1/6=11/2+1/3+1/6=1.
  4. P(B ou V)=1/3+1/6=1/2=P(R)P(B\text{ ou }V)=1/3+1/6=1/2=P(R).

Exercice 7 : Deux lancers d’une pièce

Moyen

On lance deux fois une pièce équilibrée et on note P pour pile, F pour face.

  1. Écrire les quatre issues ordonnées.
  2. Calculer la probabilité d'obtenir exactement une fois pile.
  3. Calculer celle d'obtenir au moins une fois pile.
  4. Utiliser l'événement contraire pour la dernière.
Indication

Les couples PP, PF, FP et FF sont équiprobables.

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  1. Ω={PP,PF,FP,FF}\Omega=\{PP,PF,FP,FF\}.
  2. Exactement une fois pile correspond à PF ou FP, donc P=2/4=1/2P=2/4=1/2.
  3. Au moins une fois pile correspond à trois issues, donc 3/43/4.
  4. Son contraire est FF, de probabilité 1/41/4, donc 1−1/4=3/41-1/4=3/4.

Exercice 8 : Arbre d’un tirage puis lancer

Difficile

On choisit au hasard une carte A ou B, puis on lance un dé équilibré. On gagne si l'on obtient A avec un nombre pair, ou B avec un nombre supérieur à 44.

  1. Calculer la probabilité de la branche A et pair.
  2. Calculer celle de B et supérieur à 44.
  3. Calculer la probabilité de gagner.
  4. Expliquer pourquoi les deux cas peuvent être additionnés.
  5. Donner la probabilité de perdre.
Indication

La carte et le dé sont indépendants ; multipliez les probabilités le long de chaque branche.

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  1. P(A et pair)=12×36=14P(A\text{ et pair})=\frac12\times\frac36=\frac14.
  2. P(B et >4)=12×26=16P(B\text{ et }\gt 4)=\frac12\times\frac26=\frac16.
  3. Les cas sont incompatibles, donc P(gagner)=14+16=512P(\text{gagner})=\frac14+\frac16=\frac5{12}.
  4. On ne peut pas choisir simultanément A et B, donc les événements des deux branches sont disjoints.
  5. P(perdre)=1−512=712P(\text{perdre})=1-\frac5{12}=\frac7{12}.

Comparer théorie et expérience

Une fréquence observée fluctue sur une petite série ; elle tend à se stabiliser lorsque le nombre d'essais augmente.

Exercice 9 : Fréquences de simulation

Moyen

Un dé est lancé 6060 fois. Le nombre 66 apparaît 77 fois. Après 600600 lancers cumulés, il est apparu 103103 fois.

  1. Calculer les deux fréquences.
  2. Comparer chacune à la probabilité théorique.
  3. Dire quelle série est la plus proche.
  4. Expliquer pourquoi aucune égalité exacte n'est exigée.
Indication

La probabilité théorique d'un six vaut 1/6≈0,16671/6\approx0{,}1667.

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  1. Les fréquences sont 7/60≈0,1177/60\approx0{,}117 et 103/600≈0,172103/600\approx0{,}172.
  2. Elles se comparent à 0,16670{,}1667.
  3. La série de 600600 lancers est plus proche.
  4. Les résultats sont aléatoires ; la fréquence fluctue, même si elle se stabilise généralement autour de la probabilité quand les essais se multiplient.

Exercice 10 : Protocole biaisé

Difficile

Pour tester une pièce, un groupe la lance 2020 fois mais recommence tout lancer où la pièce tombe au sol. Il obtient 1414 piles.

  1. Calculer la fréquence observée de pile.
  2. Dire si elle suffit à prouver que la pièce est truquée.
  3. Identifier un biais possible du protocole.
  4. Proposer un protocole amélioré.
  5. Indiquer une taille d'échantillon plus informative.
Indication

Une fréquence de 0,70{,}7 sur seulement 2020 essais peut résulter du hasard ; les essais supprimés peuvent aussi ne pas être neutres.

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  1. La fréquence vaut 14/20=0,714/20=0{,}7.
  2. Non, vingt essais ne suffisent pas à conclure avec certitude.
  3. Supprimer certains lancers peut introduire un biais si la manière de tomber dépend du geste ou de la surface.
  4. Il faut définir avant l'expérience quels lancers sont valides, utiliser la même surface et conserver tous les essais conformes.
  5. Plusieurs centaines de lancers donnent une estimation plus stable, sans supprimer la nécessité d'analyser le protocole.
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