Nombres Complexes : Exercices Corrigés

Solution de la question : $z_1 = 4 - 7i$ : $$\operatorname{Re}(z_1) = 4, \quad \operatorname{Im}(z_1) = -7, \quad \overline{z_1} = 4 + 7i$$ Solution : $z_2 = -3i$ : $$\operatorname{Re}(z_2) = 0, \quad \operatorname{Im}(z_2) = -3, \quad \overline{z_2} = 3i$$ Solution : $z_3 = 5$ : $$\operatorname{Re}(z_3) = 5, \quad \operatorname{Im}(z_3) = 0, \quad \overline{z_3} = 5$$ Solution : $z_4 = i(3 - 2i)$ :

On développe d'abord :

$$z_4 = 3i - 2i^2 = 3i - 2(-1) = 2 + 3i$$ $$\operatorname{Re}(z_4) = 2, \quad \operatorname{Im}(z_4) = 3, \quad \overline{z_4} = 2 - 3i$$

Solution 1 : $$z_1 = (3+1) + (2-5)i = 4 - 3i$$ Solution 2 : $$z_2 = 8 + 6i - 4i - 3i^2 = 8 + 2i + 3 = 11 + 2i$$ Solution 3 : $$(1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i$$ $$z_3 = (1+i)^2 \cdot (1+i) = 2i(1+i) = 2i + 2i^2 = -2 + 2i$$ Solution 4 : $$\overline{2-3i} = 2+3i$$ $$z_4 = (2+3i)(1+i) = 2 + 2i + 3i + 3i^2 = 2 + 5i - 3 = -1 + 5i$$

Solution 1 : $$z_1 = \frac{1}{2+i} = \frac{1 \cdot (2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{2-i}{4+1} = \frac{2}{5} - \frac{1}{5}i$$ Solution 2 : $$z_2 = \frac{(3-i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)} = \frac{3 - 6i - i + 2i^2}{1 + 4} = \frac{3 - 7i - 2}{5} = \frac{1 - 7i}{5} = \frac{1}{5} - \frac{7}{5}i$$ Solution 3 :

On calcule d'abord $(1+i)^2 = 2i$, donc :

$$z_3 = \frac{2i}{1-i} = \frac{2i(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{2i + 2i^2}{2} = \frac{-2 + 2i}{2} = -1 + i$$

Solution 1 :

Posons $z = a + bi$ et $z' = c + di$.

$$\overline{z + z'} = \overline{(a+c) + (b+d)i} = (a+c) - (b+d)i$$ $$\overline{z} + \overline{z'} = (a - bi) + (c - di) = (a+c) - (b+d)i$$ Les deux membres sont égaux.Solution 2 : $$z \cdot z' = (ac - bd) + (ad + bc)i$$ $$\overline{z \cdot z'} = (ac - bd) - (ad + bc)i$$ $$\overline{z} \cdot \overline{z'} = (a - bi)(c - di) = ac - adi - bci + bdi^2 = (ac - bd) - (ad + bc)i$$ Les deux membres sont égaux.Solution 3 :

Si $P(z) = 0$, alors :

$$\overline{P(z)} = \overline{z^2 - 3z + 5} = \overline{z^2} - 3\overline{z} + 5 = \overline{z}^2 - 3\overline{z} + 5 = P(\overline{z})$$

Donc $P(z) = 0 \Rightarrow P(\overline{z}) = \overline{0} = 0$. Ainsi $\overline{z}$ est également racine de $P$.

Solution : $z_1 = 1 + i$ : $$|z_1| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}, \quad \cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}},\ \sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}$$ $$z_1 = \sqrt{2}\,e^{i\pi/4}$$Solution : $z_2 = -\sqrt{3} + i$ : $$|z_2| = \sqrt{3 + 1} = 2, \quad \cos\theta = \frac{-\sqrt{3}}{2},\ \sin\theta = \frac{1}{2} \Rightarrow \theta = \frac{5\pi}{6}$$ $$z_2 = 2\,e^{i5\pi/6}$$Solution ($z_3 = -2i$ : $$|z_3| = 2, \quad \theta = -\frac{\pi}{2}$$ $$z_3 = 2\,e^{-i\pi/2}$$Solution) $z_4 = -3$ : $$|z_4| = 3, \quad \theta = \pi$$ $$z_4 = 3\,e^{i\pi}$$

Solution 1 : $$z_1 \cdot z_2 = 6\,e^{i(\pi/3 - \pi/6)} = 6\,e^{i\pi/6} = 6\!\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right) = 6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + 6\cdot\frac{1}{2}\,i = 3\sqrt{3} + 3i$$ $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{2}{3}\,e^{i(\pi/3 + \pi/6)} = \frac{2}{3}\,e^{i\pi/2} = \frac{2}{3}\!\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) = \frac{2}{3}i$$Solution 2 :

La forme exponentielle de $z_1 z_2$ donne directement :

$$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$$

Solution 1 : inégalité de droite : $$|z + z'|^2 = (z+z')\overline{(z+z')} = |z|^2 + z\overline{z'} + \overline{z}z' + |z'|^2$$

Or $z\overline{z'} + \overline{z}z' = 2\operatorname{Re}(z\overline{z'}) \leq 2|z\overline{z'}| = 2|z||z'|$, donc :

$$|z+z'|^2 \leq |z|^2 + 2|z||z'| + |z'|^2 = \bigl(|z|+|z'|\bigr)^2$$

En prenant la racine (modules positifs) : $|z+z'| \leq |z| + |z'|$.

L'inégalité de gauche s'obtient en écrivant $|z| = |(z+z') - z'| \leq |z+z'| + |z'|$, soit $|z| - |z'| \leq |z+z'|$, et de même en échangeant les rôles.

Solution 2 : cas d'égalité :

L'égalité $|z+z'| = |z|+|z'|$ a lieu si et seulement si $\operatorname{Re}(z\overline{z'}) = |z||z'|$. Or $\operatorname{Re}(z\overline{z'}) = |z\overline{z'}|\cos(\arg(z\overline{z'}))$ et $|z\overline{z'}| = |z||z'|$, donc il faut $\cos(\arg(z) - \arg(z')) = 1$, soit $\arg(z) - \arg(z') = 0 \pmod{2\pi}$. Cela équivaut à l'existence de $\lambda \geq 0$ tel que $z' = \lambda z$.

Solution 1 : racines de $3 + 4i$ :

On pose $z = a + bi$ et on résout $(a+bi)^2 = 3 + 4i$, soit :

$$\begin{cases} a^2 - b^2 = 3 \\ 2ab = 4 \end{cases}$$

On utilise également $a^2 + b^2 = |3 + 4i| = 5$. En ajoutant les deux égalités :

$$2a^2 = 8 \Rightarrow a^2 = 4 \Rightarrow a = \pm 2$$ $$2b^2 = 2 \Rightarrow b^2 = 1 \Rightarrow b = \pm 1$$

La condition $2ab = 4 > 0$ impose que $a$ et $b$ soient de même signe. Les deux racines sont donc :

$$z = 2 + i \quad \text{et} \quad z = -2 - i$$Solution 2 : racines de $-5 + 12i$ : $$\begin{cases} a^2 - b^2 = -5 \\ 2ab = 12 \end{cases}, \quad a^2 + b^2 = |-5+12i| = 13$$ $$2a^2 = 8 \Rightarrow a = \pm 2, \quad 2b^2 = 18 \Rightarrow b = \pm 3$$

La condition $2ab = 12 > 0$ impose $a$ et $b$ de même signe. Les racines sont :

$$z = 2 + 3i \quad \text{et} \quad z = -2 - 3i$$

Solution 1 : $$\left(e^{i\theta/2}\right)^2 = e^{i\theta} = w$$

Donc $e^{i\theta/2}$ est bien une racine carrée de $w$, et $-e^{i\theta/2} = e^{i(\theta/2 + \pi)}$ est l'autre.

Solution 2 :

Les racines carrées de $e^{i\pi/3}$ sont $\pm e^{i\pi/6}$.

$$e^{i\pi/6} = \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i$$

Les deux racines sont donc :

$$\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i \quad \text{et} \quad -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$$

Solution 1 : $z^2 - 2z + 5 = 0$ : $$\Delta = 4 - 20 = -16 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{\Delta} = 4i$$ $$z = \frac{2 \pm 4i}{2} \quad \Rightarrow \quad z_1 = 1 + 2i, \quad z_2 = 1 - 2i$$Solution 2 : $z^2 + z + 1 = 0$ : $$\Delta = 1 - 4 = -3 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{\Delta} = i\sqrt{3}$$ $$z = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} \quad \Rightarrow \quad j = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}, \quad \overline{j} = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$$

Ces deux racines sont les racines primitives cubiques de l'unité, notées $j$ et $\overline{j}$.

Solution : $$\Delta = (3+i)^2 - 4(2+2i) = 9 + 6i + i^2 - 8 - 8i = 9 + 6i - 1 - 8 - 8i = -2i$$

On cherche $\sqrt{-2i}$, soit $z = a + bi$ vérifiant $z^2 = -2i$ :

$$\begin{cases} a^2 - b^2 = 0 \\ 2ab = -2 \end{cases}, \quad a^2 + b^2 = 2$$ $$a^2 = b^2 = 1, \quad ab = -1 \Rightarrow a \text{ et } b \text{ de signes opposés}$$ $$\sqrt{-2i} = 1 - i \quad \text{ou} \quad -(1 - i) = -1 + i$$

Les solutions sont :

$$z_1 = \frac{(3+i) + (1-i)}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$z_2 = \frac{(3+i) + (-1+i)}{2} = \frac{2 + 2i}{2} = 1 + i$$

Vérification : $(z-2)(z-(1+i)) = z^2 - (3+i)z + 2(1+i) = z^2 - (3+i)z + 2 + 2i$. ✓

Solution 1 : $$P(-2) = (-2)^3 + 2(-2)^2 + (-2) + 2 = -8 + 8 - 2 + 2 = 0 \quad \checkmark$$Solution 2 :

Division de $z^3 + 2z^2 + z + 2$ par $(z+2)$ :

$$z^3 + 2z^2 + z + 2 = (z+2)(z^2 + 1)$$

Vérification : $(z+2)(z^2+1) = z^3 + z + 2z^2 + 2 = z^3 + 2z^2 + z + 2$. ✓

Solution 3 :

On résout $(z+2)(z^2+1) = 0$, soit $z = -2$ ou $z^2 = -1$.

$$z^2 = -1 \Rightarrow z = i \quad \text{ou} \quad z = -i$$

L'ensemble des solutions est $\{-2,\, i,\, -i\}$.

Solution 1 :

Les 6 racines sont $\omega_k = e^{ik\pi/3}$ pour $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ :

Ces 6 points sont régulièrement répartis sur le cercle unité.

Solution 2 : Somme :

Soit $\omega = e^{i\pi/3}$. La somme est une suite géométrique de raison $\omega \neq 1$ et de premier terme $1$ :

$$S = \sum_{k=0}^{5} \omega^k = \frac{\omega^6 - 1}{\omega - 1} = \frac{e^{2i\pi} - 1}{\omega - 1} = \frac{1 - 1}{\omega - 1} = 0 \quad \checkmark$$Solution 3 : Produit : $$\prod_{k=0}^{5} e^{ik\pi/3} = e^{i\pi/3(0+1+2+3+4+5)} = e^{i\pi/3 \cdot 15} = e^{5i\pi} = e^{i\pi} = -1$$

Solution 1 : $$z_I = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{(2+i) + (-1+3i)}{2} = \frac{1 + 4i}{2} = \frac{1}{2} + 2i$$Solution 2 :

$ABDC$ est un parallélogramme signifie $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, soit $z_B - z_A = z_D - z_C$.

$$z_D = z_C + z_B - z_A = (4-2i) + (-1+3i) - (2+i) = 1$$Solution 3 : $$AB = |z_B - z_A| = |(-1+3i) - (2+i)| = |-3 + 2i| = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$$

Solution 1 : $|z - 1| = |z + i|$ :

C'est la médiatrice du segment joignant les points d'affixes $1$ et $-i$, c'est-à-dire les points $A(1, 0)$ et $B(0, -1)$. Son équation cartésienne s'obtient par $MA = MB$ :

$$(x-1)^2 + y^2 = x^2 + (y+1)^2 \Rightarrow -2x + 1 = 2y + 1 \Rightarrow x + y = 0$$

L'ensemble est la droite d'équation $y = -x$.

Solution 2 : $|z - 2| = 3$ :

C'est le cercle de centre $2$ (coordonnées $(2, 0)$) et de rayon $3$.

Solution 3 :

Posons $z = x + yi$. On calcule :

$$\frac{z-1}{z+1} = \frac{(x-1+yi)((x+1)-yi)}{|z+1|^2} = \frac{(x^2-1+y^2) + (y(x+1) - y(x-1))i}{(x+1)^2+y^2}$$ $$= \frac{(x^2+y^2-1) + 2yi}{(x+1)^2+y^2}$$

La partie réelle est nulle si et seulement si $x^2 + y^2 = 1$. L'ensemble est le cercle unité privé du point $(-1, 0)$.

Solution 1 :

Ici $a = 1 + i$. C'est bien une similitude directe car $a \neq 0$.

$$|a| = |1+i| = \sqrt{2} \quad \Rightarrow \text{ rapport } k = \sqrt{2}$$ $$\arg(1+i) = \frac{\pi}{4} \quad \Rightarrow \text{ angle } \frac{\pi}{4}$$

Le centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ vérifie $f(\omega) = \omega$ :

$$(1+i)\omega - 2 + i = \omega \Rightarrow i\omega = 2 - i \Rightarrow \omega = \frac{2-i}{i} = \frac{(2-i)(-i)}{i \cdot (-i)} = \frac{-2i + i^2}{1} = \frac{-1-2i}{1} = -1 - 2i$$

Le centre de la similitude est le point d'affixe $-1 - 2i$.

Solution 2 : $$f(1) = (1+i)(1) - 2 + i = 1 + i - 2 + i = -1 + 2i$$

L'image de $A(1)$ est le point d'affixe $-1 + 2i$.

Solution 3 :

Le seul point invariant est le centre de la similitude, c'est-à-dire le point d'affixe $-1 - 2i$. (En dehors de l'identité, une similitude non triviale admet au plus un point fixe.)

Solution 1 : $$z_B - z_A = (1 + i\sqrt{3}) - 2 = -1 + i\sqrt{3}$$ $$z_C - z_A = (-1 + i\sqrt{3}) - 2 = -3 + i\sqrt{3}$$ $$\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \frac{-3 + i\sqrt{3}}{-1 + i\sqrt{3}} = \frac{(-3 + i\sqrt{3})(-1 - i\sqrt{3})}{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \frac{3 + 3i\sqrt{3} - i\sqrt{3} - i^2 \cdot 3}{4}$$ $$= \frac{3 + 3 + (3\sqrt{3} - \sqrt{3})i}{4} = \frac{6 + 2\sqrt{3}\,i}{4} = \frac{3 + \sqrt{3}\,i}{2}$$

Le module est $\left|\dfrac{3+\sqrt{3}\,i}{2}\right| = \dfrac{\sqrt{9+3}}{2} = \dfrac{\sqrt{12}}{2} = \sqrt{3}$. Donc $AC = \sqrt{3} \cdot AB$. L'angle en $A$ est $\arg\!\left(\dfrac{3+\sqrt{3}i}{2}\right)$. On a $\cos\theta = \dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = \dfrac{1}{2}$, donc $\theta = \dfrac{\pi}{6}$. Le triangle $ABC$ est un triangle ayant un angle de $30°$ en $A$.

Solution 2 : $$|z_A| = |2| = 2$$ $$|z_B| = |1 + i\sqrt{3}| = \sqrt{1 + 3} = 2$$ $$|z_C| = |-1 + i\sqrt{3}| = \sqrt{1 + 3} = 2$$

Les trois points sont sur le cercle de centre $O$ et de rayon $2$.

Solution 3 : $$\frac{z_C - z_O}{z_B - z_O} = \frac{z_C}{z_B} = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{1 + i\sqrt{3}}$$ $$= \frac{(-1+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})}{|1+i\sqrt{3}|^2} = \frac{-1 + i\sqrt{3} + i\sqrt{3} - i^2 \cdot 3}{4} = \frac{2 + 2i\sqrt{3}}{4} = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2} = e^{i\pi/3}$$

Donc l'angle orienté $\widehat{BOC} = \dfrac{\pi}{3}$, soit $60°$.