Équations Différentielles Exercices Corrigés : 18 Exercices

Les équations différentielles sont des outils mathématiques fondamentaux permettant de modéliser de nombreux phénomènes physiques, biologiques et économiques. Cette page propose une collection complète d'exercices corrigés sur les équations différentielles, organisés de manière progressive pour accompagner votre apprentissage. Vous trouverez des exercices sur les équations linéaires du premier ordre, les équations du second ordre, les équations à variables séparables ainsi que les problèmes de Cauchy. Chaque exercice est accompagné d'indications et de solutions détaillées pour vous permettre de maîtriser les différentes méthodes de résolution.

Équations différentielles linéaires du premier ordre sans second membre

Exercice 1 : Résolution d’une équation homogène simple

Facile

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle suivante :$$(E_1) : \quad y' - 3y = 0$$

Indication

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire homogène de la forme $y' = ay$. Identifiez le coefficient $a$ et appliquez la formule générale.

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Solution :L'équation $(E_1)$ peut s'écrire sous la forme $y' = 3y$.C'est une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre. La solution générale est de la forme :$$y(x) = C e^{3x}$$où $C \in \mathbb{R}$ est une constante arbitraire.

Exercice 2 : Équation avec coefficient fractionnaire

Facile

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle :$$(E_2) : \quad 5y' + 2y = 0$$

Indication

Commencez par mettre l'équation sous la forme canonique $y' = ay$ en isolant $y'$.

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Solution :On réécrit l'équation sous la forme canonique :$$5y' = -2y \quad \Leftrightarrow \quad y' = -\frac{2}{5}y$$La solution générale est donc :$$y(x) = C e^{-\frac{2}{5}x}$$où $C \in \mathbb{R}$ est une constante arbitraire.

Exercice 3 : Problème de Cauchy avec condition initiale

Moyen

Résoudre le problème de Cauchy suivant :$$(E_3) : \quad y' + 4y = 0, \quad y(0) = 2$$

Indication

Déterminez d'abord la solution générale, puis utilisez la condition initiale $y(0) = 2$ pour trouver la valeur de la constante.

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Solution :L'équation s'écrit $y' = -4y$. La solution générale est :$$y(x) = C e^{-4x}$$Appliquons la condition initiale $y(0) = 2$ :$$y(0) = C e^{0} = C = 2$$Donc la solution particulière du problème de Cauchy est :$$y(x) = 2e^{-4x}$$

Équations différentielles linéaires du premier ordre avec second membre

Exercice 4 : Équation avec second membre constant

Facile

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle :$$(E_4) : \quad y' - 2y = 6$$

Indication

Pour une équation de la forme $y' - ay = b$, la solution générale est $y(x) = Ce^{ax} - \frac{b}{a}$.

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Solution :Cette équation est de la forme $y' - ay = b$ avec $a = 2$ et $b = 6$.La solution générale est :$$y(x) = Ce^{2x} - \frac{6}{2} = Ce^{2x} - 3$$où $C \in \mathbb{R}$ est une constante arbitraire.

Exercice 5 : Second membre polynomial

Moyen

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle :$$(E_5) : \quad y' + 2y = 4x + 3$$

1. Résoudre l'équation homogène associée.
2. Chercher une solution particulière sous forme polynomiale.
3. En déduire la solution générale de $(E_5)$.

Indication

Pour trouver une solution particulière, cherchez un polynôme de degré 1 : $y_p(x) = ax + b$.

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Solution de la question 1 :L'équation homogène est $y' + 2y = 0$, soit $y' = -2y$.Les solutions sont : $y_h(x) = Ce^{-2x}$Solution de la question 2 :Cherchons une solution particulière de la forme $y_p(x) = ax + b$.Alors $y_p'(x) = a$.En substituant dans l'équation : $a + 2(ax + b) = 4x + 3$$$a + 2ax + 2b = 4x + 3$$Par identification : $2a = 4$ et $a + 2b = 3$D'où $a = 2$ et $b = \frac{1}{2}$.Une solution particulière est : $y_p(x) = 2x + \frac{1}{2}$Solution de la question 3 :La solution générale est :$$y(x) = Ce^{-2x} + 2x + \frac{1}{2}$$

Exercice 6 : Second membre exponentiel

Moyen

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle :$$(E_6) : \quad y' - y = 3e^{2x}$$

Indication

Cherchez une solution particulière sous la forme $y_p(x) = Ae^{2x}$ car l'exponentielle du second membre a un exposant différent de celui de la solution homogène.

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Solution :L'équation homogène $y' - y = 0$ a pour solutions : $y_h(x) = Ce^{x}$Cherchons une solution particulière de la forme $y_p(x) = Ae^{2x}$.Alors $y_p'(x) = 2Ae^{2x}$.En substituant : $2Ae^{2x} - Ae^{2x} = 3e^{2x}$$$Ae^{2x} = 3e^{2x} \quad \Rightarrow \quad A = 3$$La solution générale est donc :$$y(x) = Ce^{x} + 3e^{2x}$$

Exercice 7 : Problème de Cauchy avec second membre

Moyen

Résoudre le problème de Cauchy :$$(E_7) : \quad 2y' - y = 4x + 1, \quad y(0) = 3$$

Indication

Commencez par trouver la solution générale, puis utilisez la condition initiale pour déterminer la constante d'intégration.

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Solution :Réécrivons l'équation : $y' = \frac{1}{2}y + 2x + \frac{1}{2}$Solution homogène : $y_h(x) = Ce^{x/2}$Cherchons $y_p(x) = ax + b$. Alors $y_p'(x) = a$.$$2a - (ax + b) = 4x + 1$$$$-ax + (2a - b) = 4x + 1$$Par identification : $-a = 4$ donc $a = -4$, et $2a - b = 1$ donc $b = -9$.Solution générale : $y(x) = Ce^{x/2} - 4x - 9$Condition initiale : $y(0) = C - 9 = 3$, donc $C = 12$.Solution particulière :$$y(x) = 12e^{x/2} - 4x - 9$$

Équations à variables séparables

Exercice 8 : Introduction aux variables séparables

Facile

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle :$$(E_8) : \quad y' = xy$$

Indication

Séparez les variables en écrivant $\frac{y'}{y} = x$ (pour $y \neq 0$), puis intégrez les deux membres.

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Solution :La fonction $y = 0$ est une solution constante.Pour $y \neq 0$, on peut écrire :$$\frac{y'}{y} = x$$En intégrant : $\ln|y| = \frac{x^2}{2} + C$D'où : $|y| = e^{\frac{x^2}{2} + C} = e^C \cdot e^{\frac{x^2}{2}}$En posant $K = \pm e^C$, on obtient :$$y(x) = K e^{\frac{x^2}{2}}$$où $K \in \mathbb{R}$ (incluant $K = 0$).

Exercice 9 : Variables séparables avec condition initiale

Moyen

Résoudre le problème de Cauchy :$$(E_9) : \quad y' = \frac{x}{1+y}, \quad y(0) = 0$$

Indication

Séparez les variables en écrivant $(1+y)y' = x$, puis intégrez.

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Solution :On sépare les variables : $(1+y) \, dy = x \, dx$En intégrant les deux membres :$$\int (1+y) \, dy = \int x \, dx$$$$y + \frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C$$Appliquons la condition initiale $y(0) = 0$ :$$0 + 0 = 0 + C \quad \Rightarrow \quad C = 0$$Donc : $y + \frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2}$$$y^2 + 2y = x^2$$$$y^2 + 2y - x^2 = 0$$Résolvons cette équation du second degré en $y$ :$$y = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4x^2}}{2} = -1 \pm \sqrt{1 + x^2}$$Avec $y(0) = 0$, on choisit : $y(x) = -1 + \sqrt{1 + x^2}$

Exercice 10 : Équation avec fonction trigonométrique

Difficile

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle :$$(E_{10}) : \quad y' + e^{x-y} = 0$$avec la condition initiale $y(0) = 0$.

Indication

Réécrivez l'équation sous la forme $y' = -e^{x-y} = -e^x \cdot e^{-y}$, puis séparez les variables.

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Solution :On réécrit : $y' = -e^x \cdot e^{-y}$Séparation des variables : $e^y \, dy = -e^x \, dx$En intégrant :$$e^y = -e^x + C$$Condition initiale $y(0) = 0$ :$$e^0 = -e^0 + C \quad \Rightarrow \quad 1 = -1 + C \quad \Rightarrow \quad C = 2$$Donc : $e^y = 2 - e^x$Pour que cette équation ait un sens, il faut $2 - e^x > 0$, soit $x < \ln 2$.La solution est :$$y(x) = \ln(2 - e^x)$$définie sur l'intervalle $]-\infty, \ln 2[$.

Équations différentielles linéaires du second ordre

Exercice 11 : Équation homogène - racines réelles distinctes

Moyen

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle :$$(E_{11}) : \quad y^{\prime\prime} - 5y' + 6y = 0$$

Indication

Cherchez l'équation caractéristique $r^2 - 5r + 6 = 0$ et résolvez-la pour trouver les racines.

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Solution :L'équation caractéristique est : $r^2 - 5r + 6 = 0$Calculons le discriminant : $\Delta = 25 - 24 = 1$Les racines sont :$$r_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \quad \text{et} \quad r_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$$Comme les racines sont réelles et distinctes, la solution générale est :$$y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{2x}$$où $C_1, C_2 \in \mathbb{R}$ sont des constantes arbitraires.

Exercice 12 : Équation homogène - racine double

Moyen

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle :$$(E_{12}) : \quad y^{\prime\prime} - 4y' + 4y = 0$$

Indication

Si l'équation caractéristique admet une racine double $r_0$, la solution générale est $y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{r_0 x}$.

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Solution :L'équation caractéristique est : $r^2 - 4r + 4 = 0$On peut factoriser : $(r - 2)^2 = 0$Cette équation admet une racine double : $r_0 = 2$La solution générale est donc :$$y(x) = (C_1 + C_2 x)e^{2x}$$où $C_1, C_2 \in \mathbb{R}$ sont des constantes arbitraires.

Exercice 13 : Équation homogène - racines complexes

Difficile

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle :$$(E_{13}) : \quad y^{\prime\prime} + 2y' + 5y = 0$$

Indication

Si les racines sont complexes conjuguées $r = \alpha \pm i\beta$, la solution est $y(x) = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$.

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Solution :L'équation caractéristique est : $r^2 + 2r + 5 = 0$Discriminant : $\Delta = 4 - 20 = -16 < 0$Les racines sont complexes conjuguées :$$r = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$$On a $\alpha = -1$ et $\beta = 2$.La solution générale est :$$y(x) = e^{-x}(C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x))$$où $C_1, C_2 \in \mathbb{R}$ sont des constantes arbitraires.

Exercice 14 : Équation avec second membre polynomial

Difficile

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle :$$(E_{14}) : \quad y^{\prime\prime} + 3y' + 2y = 4x + 1$$

1. Résoudre l'équation homogène associée.
2. Chercher une solution particulière.
3. En déduire la solution générale.

Indication

Pour la solution particulière, essayez un polynôme de degré 1 : $y_p(x) = ax + b$.

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Solution de la question 1 :Équation caractéristique : $r^2 + 3r + 2 = 0$On factorise : $(r+1)(r+2) = 0$Racines : $r_1 = -1$ et $r_2 = -2$Solution homogène : $y_h(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}$Solution de la question 2 :Cherchons $y_p(x) = ax + b$.Alors $y_p'(x) = a$ et $y_p^{\prime\prime}(x) = 0$.Substituons dans l'équation :$$0 + 3a + 2(ax + b) = 4x + 1$$$$2ax + (3a + 2b) = 4x + 1$$Par identification : $2a = 4$ donc $a = 2$, et $3a + 2b = 1$ donc $b = -\frac{5}{2}$.Solution particulière : $y_p(x) = 2x - \frac{5}{2}$Solution de la question 3 :La solution générale est :$$y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} + 2x - \frac{5}{2}$$

Exercice 15 : Problème de Cauchy du second ordre

Difficile

Résoudre le problème de Cauchy :$$(E_{15}) : \quad y^{\prime\prime} - y = 0, \quad y(0) = 1, \quad y'(0) = 2$$

Indication

Trouvez d'abord la solution générale, puis utilisez les deux conditions initiales pour déterminer les constantes.

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Solution :Équation caractéristique : $r^2 - 1 = 0$, donc $r = \pm 1$Solution générale : $y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x}$Dérivée : $y'(x) = C_1 e^{x} - C_2 e^{-x}$Condition $y(0) = 1$ :$$C_1 + C_2 = 1$$Condition $y'(0) = 2$ :$$C_1 - C_2 = 2$$Résolvons ce système :En additionnant : $2C_1 = 3$, donc $C_1 = \frac{3}{2}$En soustrayant : $2C_2 = -1$, donc $C_2 = -\frac{1}{2}$Solution particulière :$$y(x) = \frac{3}{2}e^{x} - \frac{1}{2}e^{-x}$$

Méthodes avancées et cas particuliers

Exercice 16 : Méthode de variation de la constante

Difficile

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle par la méthode de variation de la constante :$$(E_{16}) : \quad y' + y = \frac{1}{1+e^x}$$

1. Résoudre l'équation homogène.
2. Chercher une solution particulière sous la forme $y_p(x) = C(x)e^{-x}$.
3. Déterminer $C(x)$ puis la solution générale.

Indication

Si $y_p(x) = C(x)e^{-x}$, alors $y_p'(x) = C'(x)e^{-x} - C(x)e^{-x}$. Substituez dans l'équation pour trouver $C'(x)$.

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Solution de la question 1 :L'équation homogène $y' + y = 0$ a pour solutions : $y_h(x) = Ke^{-x}$Solution de la question 2 :Posons $y_p(x) = C(x)e^{-x}$.Alors $y_p'(x) = C'(x)e^{-x} - C(x)e^{-x}$Substituons dans l'équation :$$C'(x)e^{-x} - C(x)e^{-x} + C(x)e^{-x} = \frac{1}{1+e^x}$$$$C'(x)e^{-x} = \frac{1}{1+e^x}$$$$C'(x) = \frac{e^x}{1+e^x}$$Solution de la question 3 :Intégrons : $C(x) = \int \frac{e^x}{1+e^x} \, dx$Posons $u = 1 + e^x$, alors $du = e^x dx$.$$C(x) = \int \frac{du}{u} = \ln|u| = \ln(1 + e^x)$$Une solution particulière est : $y_p(x) = e^{-x}\ln(1 + e^x)$La solution générale est :$$y(x) = Ke^{-x} + e^{-x}\ln(1 + e^x) = e^{-x}\left(K + \ln(1 + e^x)\right)$$

Exercice 17 : Équation à coefficients non constants

Difficile

Résoudre sur $]0, +\infty[$ l'équation différentielle :$$(E_{17}) : \quad xy' - 2y = x^3$$

Indication

Commencez par diviser par $x$ pour obtenir $y' - \frac{2}{x}y = x^2$, puis résolvez l'équation homogène.

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Solution :Pour $x > 0$, on divise par $x$ :$$y' - \frac{2}{x}y = x^2$$Équation homogène : $y' - \frac{2}{x}y = 0$, soit $\frac{y'}{y} = \frac{2}{x}$En intégrant : $\ln|y| = 2\ln|x| + C = \ln(x^2) + C$Donc : $y_h(x) = Kx^2$Pour une solution particulière, cherchons $y_p(x) = ax^3$.Alors $y_p'(x) = 3ax^2$.Substituons : $3ax^2 - \frac{2ax^3}{x} = x^2$$$3ax^2 - 2ax^2 = x^2 \quad \Rightarrow \quad ax^2 = x^2 \quad \Rightarrow \quad a = 1$$Solution générale sur $]0, +\infty[$ :$$y(x) = Kx^2 + x^3$$

Exercice 18 : Système d’équations différentielles

Difficile

Déterminer les fonctions $y, z : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dérivables qui vérifient le système :$$\begin{cases} y' - y = z \\ z' + z = 3y \end{cases}$$

1. Exprimer $z$ et $z'$ en fonction de $y$ et ses dérivées.
2. En déduire une équation différentielle du second ordre vérifiée par $y$.
3. Résoudre cette équation et en déduire $z$.

Indication

De la première équation, tirez $z = y' - y$, puis dérivez pour obtenir $z' = y^{\prime\prime} - y'$. Substituez dans la seconde équation.

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Solution de la question 1 :De la première équation : $z = y' - y$En dérivant : $z' = y^{\prime\prime} - y'$Solution de la question 2 :Substituons dans la seconde équation :$$(y^{\prime\prime} - y') + (y' - y) = 3y$$$$y^{\prime\prime} - y = 3y$$$$y^{\prime\prime} - 4y = 0$$Solution de la question 3 :Équation caractéristique : $r^2 - 4 = 0$, donc $r = \pm 2$Solution générale pour $y$ :$$y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}$$Calculons $y'$ :$$y'(x) = 2C_1 e^{2x} - 2C_2 e^{-2x}$$Donc :$$z(x) = y' - y = (2C_1 - C_1)e^{2x} + (-2C_2 - C_2)e^{-2x}$$$$z(x) = C_1 e^{2x} - 3C_2 e^{-2x}$$Les solutions du système sont :$$\begin{cases} y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \\ z(x) = C_1 e^{2x} - 3C_2 e^{-2x} \end{cases}$$