Convergence Uniforme Exercices Corrigés

Solution de la question 1 : Pour $x=0$, $f_n(0)=0$ pour tout $n$. Pour $x \neq 0$ fixé, $f_n(x) = \dfrac{x}{1+nx^2} \underset{n \to +\infty}{\sim} \dfrac{1}{nx} \to 0$. Donc $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur $\mathbb{R}$.

Solution de la question 2 : De $(1-\sqrt{n}|x|)^2 \geq 0$ on tire $1+nx^2 \geq 2\sqrt{n}\,|x|$. Pour $x \neq 0$ : $$|f_n(x)| = \frac{|x|}{1+nx^2} \leq \frac{|x|}{2\sqrt{n}\,|x|} = \frac{1}{2\sqrt{n}}.$$ Cette majoration reste valable trivialement en $x=0$. On obtient donc $$\sup_{x \in \mathbb{R}} |f_n(x)| \leq \frac{1}{2\sqrt{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0,$$ ce qui prouve la convergence uniforme de $(f_n)$ vers $0$ sur $\mathbb{R}$.

Solution de la question 1 : Pour tout $x \in [0,1[$ fixé, $x^n \to 0$ car $0 \leq x < 1$. La limite simple est donc la fonction nulle.

Solution de la question 2 : On a $\sup_{x \in [0,1[} |f_n(x)-0| = \sup_{x \in [0,1[} x^n = 1$, cette borne supérieure n'étant pas atteinte mais approchée quand $x \to 1^-$. Comme cette quantité vaut $1$ pour tout $n$, elle ne tend pas vers $0$ : la convergence n'est pas uniforme sur $[0,1[$.

Solution de la question 3 : Sur $[0,a]$ avec $0 \leq a < 1$, $\sup_{x \in [0,a]} x^n = a^n$, car $x \mapsto x^n$ est croissante. Or $a^n \to 0$ puisque $0 \leq a < 1$. Donc $(f_n)$ converge uniformément vers $0$ sur $[0,a]$.

Solution de la question 1 : En $x=0$ et $x=1$, $f_n(x)=0$. Pour $x \in ]0,1[$ fixé, $(1-x)^n$ décroît géométriquement vers $0$ plus vite que $n$ ne croît, donc $f_n(x) \to 0$. La limite simple est la fonction nulle sur $[0,1]$.

Solution de la question 2 : $$f_n'(x) = n(1-x)^n - n^2x(1-x)^{n-1} = n(1-x)^{n-1}\big[1-(n+1)x\big].$$ $f_n'$ s'annule en $x=1$ (minimum) et en $x^\star = \dfrac{1}{n+1}$, où $f_n$ atteint son maximum. On calcule : $$M_n = f_n(x^\star) = n \cdot \frac{1}{n+1}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n = \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}.$$

Solution de la question 3 : $$M_n = \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} e^{-1}.$$ Comme $\sup_{[0,1]} |f_n - 0| = M_n \to \dfrac{1}{e} \neq 0$, la convergence n'est pas uniforme sur $[0,1]$, bien qu'elle soit simple.

Solution de la question 1 : Pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $n \geq 1$, $$|u_n(x)| = \frac{|\sin(nx)|}{n^2} \leq \frac{1}{n^2}.$$ La série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ converge (exposant $2>1$). Par le test de Weierstrass, $\sum u_n$ converge normalement, donc uniformément, sur $\mathbb{R}$.

Solution de la question 2 : Chaque $u_n$ est continue sur $\mathbb{R}$ comme composée de fonctions continues. La série $\sum u_n$ convergeant uniformément sur $\mathbb{R}$, le théorème de continuité d'une somme de série de fonctions s'applique : $S$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Solution de la question 1 : Pour $x \geq 0$ fixé, la suite $a_n(x) = \frac{1}{n+1+x}$ est positive, décroissante en $n$, et tend vers $0$. Par le critère des séries alternées (Leibniz), $\sum (-1)^n a_n(x)$ converge.

Solution de la question 2 : Le critère des séries alternées donne, pour tout $x \geq 0$ : $$|R_N(x)| \leq a_{N+1}(x) = \frac{1}{N+2+x} \leq \frac{1}{N+2}.$$ Donc $\sup_{x \geq 0} |R_N(x)| \leq \frac{1}{N+2} \to 0$ : la convergence est uniforme sur $[0,+\infty[$ (critère de Cauchy uniforme vérifié sur les sommes partielles).

Solution de la question 3 : $\sup_{x \geq 0} |u_n(x)| = \sup_{x \geq 0} \frac{1}{n+1+x} = \frac{1}{n+1}$, atteint en $x=0$. Or $\sum \frac{1}{n+1}$ diverge (série harmonique). La série ne converge donc pas normalement sur $[0,+\infty[$, bien qu'elle y converge uniformément.

Solution de la question 1 : En $x=0$, $u_n(0) = \frac{(-1)^n}{n}$ : la série converge par le critère des séries alternées, mais pas absolument ($\sum \frac{1}{n}$ diverge). Pour $x>0$, $|u_n(x)| = \frac{e^{-nx}}{n} \leq e^{-nx}$, et $\sum e^{-nx}$ est une série géométrique convergente car $0\lt e^{-x}\lt 1$ : la série converge absolument pour $x>0$. Dans tous les cas, $\sum u_n(x)$ converge sur $[0,+\infty[$.

Solution de la question 2 : Sur $[a,+\infty[$, $x \mapsto e^{-nx}$ étant décroissante, $\sup_{x \geq a} |u_n(x)| = \frac{e^{-na}}{n} \leq e^{-na}$. Comme $\sum e^{-na}$ converge (géométrique de raison $e^{-a}<1$), $\sum u_n$ converge normalement sur $[a,+\infty[$.

Solution de la question 3 : Sur $[0,+\infty[$, $\sup_{x \geq 0} |u_n(x)| = u_n(0) = \frac{1}{n}$, et $\sum \frac{1}{n}$ diverge : pas de convergence normale sur $[0,+\infty[$. Cependant, pour $x \geq 0$ fixé, la suite $a_n(x) = \frac{e^{-nx}}{n}$ vérifie $\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)} = e^{-x}\frac{n}{n+1} \leq 1$, donc elle est décroissante et tend vers $0$ : le critère des séries alternées s'applique pour tout $x$, et donne $$|R_n(x)| \leq a_{n+1}(x) = \frac{e^{-(n+1)x}}{n+1} \leq \frac{1}{n+1},$$ ce majorant étant indépendant de $x$. Donc $\sup_{x \geq 0}|R_n(x)| \to 0$ : la série converge uniformément sur $[0,+\infty[$ sans y converger normalement.

Solution de la question 1 : En multipliant par la quantité conjuguée : $$\left|\sqrt{x^2+\tfrac{1}{n}} - |x|\right| = \frac{1/n}{\sqrt{x^2+\frac{1}{n}}+|x|} \leq \frac{1/n}{\sqrt{1/n}} = \frac{1}{\sqrt{n}},$$ car $\sqrt{x^2+\frac{1}{n}} \geq \sqrt{1/n}$. Cette majoration est indépendante de $x$ et tend vers $0$, donc $(f_n)$ converge uniformément vers $x \mapsto |x|$ sur $\mathbb{R}$.

Solution de la question 2 : Chaque $f_n$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (car $x^2+\frac{1}{n}>0$ partout), avec $f_n'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1/n}}$. En revanche, la fonction limite $x \mapsto |x|$ n'est pas dérivable en $0$. Ceci montre que la convergence uniforme de $(f_n)$ seule ne suffit pas à garantir la dérivabilité de la limite : le théorème de dérivation sous convergence uniforme exige en réalité la convergence uniforme (ou simple en un point, plus convergence uniforme localement) de la suite des dérivées $(f_n')$, hypothèse ici mise en défaut.

Solution de la question 1 : Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $|f_n(x)| = \dfrac{|\sin(nx)|}{\sqrt{n}} \leq \dfrac{1}{\sqrt{n}}$, borne atteinte et indépendante de $x$. Donc $\sup_{\mathbb{R}} |f_n| \leq \frac{1}{\sqrt n} \to 0$ : $(f_n)$ converge uniformément vers $0$ sur $\mathbb{R}$.

Solution de la question 2 : $f_n'(x) = \sqrt{n}\cos(nx)$, donc $f_n'(0) = \sqrt{n} \to +\infty$. La suite $(f_n')$ ne converge même pas simplement (elle n'est pas bornée en $x=0$), alors que $(f_n)$ converge uniformément vers $0$. Cet exemple confirme que la convergence uniforme de $(f_n)$ n'entraîne aucune information sur la convergence de $(f_n')$ : c'est bien la convergence (uniforme) des dérivées qui doit être supposée séparément dans le théorème de dérivation terme à terme.

Solution de la question 1 : En $x=0$, $f_n(0)=0$. Pour $x \in ]0,1]$ fixé, la décroissance exponentielle de $e^{-nx}$ l'emporte sur la croissance polynomiale de $n^2$, donc $f_n(x) \to 0$. La limite simple est la fonction nulle sur $[0,1]$.

Solution de la question 2 : Avec le changement de variable $u=nx$ : $$I_n = \int_0^1 n^2 x e^{-nx}\,dx = \int_0^n u e^{-u}\,du = \Big[-(u+1)e^{-u}\Big]_0^n = 1-(n+1)e^{-n}.$$ Comme $(n+1)e^{-n} \to 0$, on obtient $I_n \to 1$.

Solution de la question 3 : Si $(f_n)$ convergeait uniformément vers $0$ sur $[0,1]$, le théorème d'interversion limite-intégrale donnerait $\lim_n I_n = \int_0^1 0\,dx = 0$. Or on a montré $\lim_n I_n = 1 \neq 0$. Par contraposée, la convergence ne peut donc pas être uniforme sur $[0,1]$.

Solution de la question 1 : Posons, pour $t>x$, $g(t) = t\ln\!\left(1-\frac{x}{t}\right)$, de sorte que $f_n(x) = e^{g(n)}$. En notant $u=x/t \in [0,1[$ : $$g'(t) = \ln(1-u) + \frac{u}{1-u} = h(u).$$ On a $h(0)=0$ et $h'(u) = \dfrac{u}{(1-u)^2} \geq 0$ sur $[0,1[$, donc $h(u) \geq 0$, c'est-à-dire $g'(t) \geq 0$. Ainsi $g$, donc $f_n(x)=e^{g(n)}$, est croissante en $n$. Par ailleurs, le développement limité $g(n) = n\ln(1-x/n) = -x + O(1/n)$ donne $f_n(x) \to e^{-x}$.

Solution de la question 2 : Pour chaque $n>A$, $f_n$ est continue sur $[0,A]$ (composée de fonctions continues, bien définie car $1-x/n>0$ sur $[0,A]$). D'après la question 1, la suite $(f_n)$ croît simplement vers la fonction $x \mapsto e^{-x}$, elle-même continue sur le compact $[0,A]$. Toutes les hypothèses du théorème de Dini sont réunies (monotonie, continuité des termes et de la limite, compacité du domaine) : la convergence est donc uniforme sur $[0,A]$.

Solution de la question 1 : Pour $x \in [0,1]$ fixé, la suite $a_n(x) = \dfrac{x^n}{n}$ est positive, décroissante en $n$ (car $x \leq 1$) et tend vers $0$. Le critère des séries alternées assure la convergence de $S(x)$ pour tout $x \in [0,1]$, y compris en $x=1$.

Solution de la question 2 : Le critère des séries alternées donne, uniformément en $x \in [0,1]$ : $$|R_n(x)| \leq a_{n+1}(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} \leq \frac{1}{n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0.$$ La convergence de $S$ est donc uniforme sur $[0,1]$ (c'est un cas particulier du théorème d'Abel radial, sur le bord du disque de convergence de rayon $1$).

Solution de la question 3 : La convergence étant uniforme sur le segment $[0,1]$ et chaque terme étant continu, le théorème d'intégration terme à terme s'applique : $$\int_0^1 S(x)\,dx = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1}\int_0^1 \frac{x^n}{n}\,dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)}.$$ En décomposant $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$, on sépare la somme et, après réindexation du second terme et utilisation de $\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2$, on obtient $$\int_0^1 S(x)\,dx = 2\ln 2 - 1.$$ On peut vérifier ce résultat en reconnaissant que $S(x) = \ln(1+x)$ sur $[0,1]$, d'où $\int_0^1 \ln(1+x)\,dx = \big[(1+x)\ln(1+x)-(1+x)\big]_0^1 = 2\ln 2 -1$, ce qui confirme le calcul.

Solution de la question 1 : Pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\left|\dfrac{1}{n^2+x^2}\right| \leq \dfrac{1}{n^2}$, terme général d'une série de Riemann convergente. Par le test de Weierstrass, $\sum u_n$ converge normalement sur $\mathbb{R}$, donc uniformément ; comme chaque $u_n$ est continue, $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Solution de la question 2 : On a $u_n'(x) = \dfrac{-2x}{(n^2+x^2)^2}$. Sur un segment $[-A,A]$, comme $n^2+x^2 \geq n^2$ : $$|u_n'(x)| = \frac{2|x|}{(n^2+x^2)^2} \leq \frac{2A}{n^4}.$$ La série $\sum \frac{2A}{n^4}$ converge (Riemann, exposant $4>1$), donc $\sum u_n'$ converge normalement, donc uniformément, sur tout segment $[-A,A]$. Les hypothèses du théorème de dérivation terme à terme sont réunies (convergence simple de $\sum u_n$, termes $C^1$, convergence uniforme de $\sum u_n'$ sur tout segment) : $f$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$, avec $$f'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{-2x}{(n^2+x^2)^2}.$$