Le repérage dans le plan en 4ème permet de décrire une position par deux nombres ordonnés. Dans , le premier nombre indique un déplacement horizontal depuis l'origine, le second un déplacement vertical. Inverser ces nombres place généralement un autre point.
Au-delà du vocabulaire, il faut savoir lire une graduation, choisir une échelle et exploiter les coordonnées pour construire ou vérifier une figure. Ces compétences servent ensuite aux translations, aux graphiques de fonctions et à la géométrie analytique.
Repère, origine, axes et unité graphique
Repère du plan
Un repère est formé de deux axes sécants : l'axe horizontal des abscisses et l'axe vertical des ordonnées. Leur intersection est l'origine . Chaque axe possède un sens et une unité graphique.
Un repère est orthogonal lorsque les axes sont perpendiculaires. Il est orthonormé lorsque les unités graphiques sont en plus identiques sur les deux axes.
Lire les coordonnées dans le bon ordre
Abscisse puis ordonnée
Les coordonnées d'un point s'écrivent (M). Le nombre est son abscisse et son ordonnée.
Pour lire un point, on le projette mentalement sur l'axe horizontal puis sur l'axe vertical. Pour placer , on part de l'origine, on va quatre unités vers la gauche et trois vers le haut.
Erreur fréquente : et n'occupent pas la même position. L'ordre des coordonnées fait partie de l'information.
Lire une graduation non unitaire
Avant de lire les points, on calcule la valeur d'un petit intervalle. Si cinq intervalles séparent 0 de 10, chaque intervalle vaut 2. Cette étape doit être faite séparément sur chaque axe, car leurs échelles peuvent différer.
| Information | Axe des abscisses | Axe des ordonnées |
|---|---|---|
| distance entre repères numérotés | 6 unités | 10 unités |
| nombre d'intervalles | 3 | 5 |
| valeur d'un intervalle | 2 | 2 |
Astuce : compter les intervalles, pas les traits. Entre deux graduations extrêmes, il y a toujours un intervalle de moins que de traits.
Quadrants et signes des coordonnées
| Zone | Signe de l'abscisse | Signe de l'ordonnée |
|---|---|---|
| en haut à droite | + | + |
| en haut à gauche | − | + |
| en bas à gauche | − | − |
| en bas à droite | + | − |
Ce tableau permet un contrôle immédiat : un point situé en bas à gauche ne peut pas avoir une coordonnée positive. Un point sur l'axe des abscisses a une ordonnée nulle ; sur l'axe des ordonnées, son abscisse est nulle.
Coordonnées et symétries par rapport aux axes
Effet d’une symétrie sur les coordonnées
- Le symétrique de (M) par rapport à l'axe des abscisses est (M').
- Par rapport à l'axe des ordonnées, il est (M''(-x;y)).
- Par rapport à l'origine, il est (M'''(-x;-y)).
Chaque transformation conserve la coordonnée portée par son axe et change le signe de la distance mesurée perpendiculairement. Le cours sur la symétrie axiale donne la construction géométrique correspondante.
Décrire un déplacement par une variation de coordonnées
Passer de à ajoute à l'abscisse et à l'ordonnée. Le déplacement se décrit par le couple , indépendamment du point de départ.
Cette lecture prépare la construction d'une translation. Elle repose sur la soustraction des nombres relatifs en 4ème.
Construire et contrôler une figure dans un repère
Pour construire un quadrilatère à partir de coordonnées, on place d'abord tous les points, on les nomme, puis on relie uniquement les sommets demandés. Les coordonnées permettent ensuite de vérifier des alignements horizontaux ou verticaux : même ordonnée pour une horizontale, même abscisse pour une verticale.
Erreur fréquente : l'apparence d'une figure dépend de l'échelle des axes. Dans un repère non orthonormé, un angle visuellement droit peut ne pas représenter un angle droit.
Calculer les coordonnées d’un milieu
Dans un repère, le milieu d'un segment possède pour abscisse la moyenne des abscisses et pour ordonnée la moyenne des ordonnées. Si et , alors :
Le point obtenu doit se situer entre A et B sur chaque direction. Une abscisse extérieure à l'intervalle signalerait une erreur de signe ou de division.
Décrire une construction par des coordonnées
Pour construire un rectangle dont les côtés sont parallèles aux axes, les sommets d'un même côté horizontal ont la même ordonnée et ceux d'un même côté vertical la même abscisse. Avec , et , le quatrième sommet est .
Cette méthode ne dépend pas d'une mesure sur le dessin. Elle traduit les propriétés de la figure en égalités de coordonnées et permet de vérifier la construction même si les unités graphiques diffèrent sur les axes.
Astuce : écrire à côté de chaque segment s'il est horizontal ou vertical. La coordonnée qui doit rester constante devient alors évidente.
Compléter un rectangle à partir de trois sommets
On donne , et . Les points A et B ont la même ordonnée : [AB] est horizontal. B et C ont la même abscisse : [BC] est vertical. Pour former le rectangle ABCD, D doit partager l'abscisse de A et l'ordonnée de C, donc .
Les longueurs se lisent par différences : unités et unités. L'aire vaut alors 24 unités carrées. Cette vérification confirme à la fois les coordonnées et la cohérence de la figure sans mesurer l'écran.
Si les axes n'utilisent pas la même unité graphique, le rectangle peut sembler déformé sur la feuille. Les coordonnées établissent malgré tout les côtés horizontaux et verticaux et les longueurs en unités du repère. Il faut lire les graduations avant de convertir ces unités en centimètres ou en une grandeur réelle.
Repérage dans le plan 4ème : l’essentiel à retenir
Le repérage dans le plan en 4ème exige de lire l'échelle avant les points, puis de respecter l'ordre abscisse-ordonnée. Signes, symétries et variations de coordonnées transforment le repère en outil de raisonnement.
Le programme officiel de mathématiques du cycle 4 relie cette compétence aux transformations, aux graphiques et à la modélisation.