Les aires et conversions en 5ème étendent les formules du rectangle et du carré au triangle, au parallélogramme et au disque. Chaque formule dépend de mesures précises : base et hauteur perpendiculaire, ou rayon du disque.
Une réponse correcte exige aussi des unités cohérentes. Nous apprendrons à convertir avant le calcul, à choisir une décomposition de figure et à contrôler la vraisemblance d’une surface.
Commencer par identifier la surface
Avant d’écrire une formule, on nomme la figure et on repère ses dimensions utiles. Une longueur de contour demande un périmètre ; la surface intérieure demande une aire en unité carrée.
Le triangle et le parallélogramme utilisent une hauteur perpendiculaire à la base. Le disque utilise le rayon, distance du centre au cercle.
Aire du triangle : la moitié d’un parallélogramme
Formule du triangle
La lettre \(b\) désigne la longueur d’une base et \(h\) la hauteur correspondante. Pour \(b=9\) cm et \(h=4\) cm, l’aire vaut \(\frac{9\times4}{2}=18\,\text{cm}^2\).
On peut choisir un autre côté comme base, à condition d’utiliser la hauteur qui lui est perpendiculaire. Les différentes paires donnent la même aire.
Aire du parallélogramme : déplacer sans changer la surface
Formule du parallélogramme
En découpant un triangle à une extrémité et en le déplaçant à l’autre, on forme un rectangle de même base et de même hauteur. Le déplacement conserve l’aire.
La hauteur peut se trouver à l’extérieur de la figure si le parallélogramme est très oblique. Le côté incliné ne remplace pas la distance perpendiculaire.
Aire du disque et rôle du nombre pi
Formule du disque
Pour un rayon de \(5\) cm, l’aire exacte est \(25\pi\,\text{cm}^2\). Avec \(\pi\approx3,14\), une valeur approchée est \(78,5\,\text{cm}^2\).
Si le diamètre est donné, on commence par le diviser par \(2\). Un disque de diamètre \(12\) cm a un rayon de \(6\) cm, donc une aire \(36\pi\,\text{cm}^2\).
Erreur fréquente : dans \(\pi r^2\), seul le rayon est élevé au carré. L’écriture ne signifie ni \(2\pi r\) ni \((\pi r)^2\).
Mettre les longueurs dans la même unité
On ne multiplie pas directement \(2\) m par \(35\) cm. On peut convertir \(35\) cm en \(0,35\) m, puis calculer \(2\times0,35=0,70\,\text{m}^2\). On pourrait aussi convertir \(2\) m en \(200\) cm et obtenir \(7\,000\,\text{cm}^2\).
Les deux résultats sont équivalents, car \(1\,\text{m}^2=10\,000\,\text{cm}^2\). Choisir l’unité finale avant le calcul réduit les conversions inutiles.
Convertir une unité d’aire
| Égalité | Facteur |
|---|---|
| \(1\,\text{m}^2=100\,\text{dm}^2\) | \(\times100\) |
| \(1\,\text{dm}^2=100\,\text{cm}^2\) | \(\times100\) |
| \(1\,\text{cm}^2=100\,\text{mm}^2\) | \(\times100\) |
Chaque changement d’unité de longueur vaut un facteur \(10\), mais pour l’aire ce facteur est mis au carré : \(10^2=100\). Ainsi \(3,2\,\text{m}^2=320\,\text{dm}^2\), et \(8\,500\,\text{cm}^2=0,85\,\text{m}^2\).
Erreur fréquente : \(1\,\text{m}^2\neq100\,\text{cm}^2\). Un carré de \(1\) m de côté mesure \(100\) cm sur \(100\) cm, donc contient \(10\,000\,\text{cm}^2\).
Figures composées : additionner ou soustraire
Une figure en L peut être découpée en rectangles sans chevauchement, puis les aires sont additionnées. Une figure trouée peut être calculée en soustrayant l’aire du trou à celle d’une grande figure simple.
Pour une couronne circulaire de rayon extérieur \(R\) et intérieur \(r\), on obtient :
Le dessin doit montrer clairement quelles zones sont conservées ou retirées. Deux découpages différents peuvent donner le même résultat ; le meilleur est celui qui demande le moins de longueurs inconnues.
Retrouver une dimension à partir d’une aire
Un parallélogramme a une aire de \(42\,\text{cm}^2\) et une base de \(7\) cm. Sa hauteur \(h\) vérifie \(7h=42\), donc \(h=6\) cm.
Pour un triangle de même aire et de base \(7\) cm, l’équation devient \(\frac{7h}{2}=42\), donc \(h=12\) cm. La présence du facteur \(\frac12\) change l’opération inverse.
Les méthodes d’isolement sont détaillées dans Équations simples 5ème.
Une grille de contrôle avant de conclure
| Contrôle | Question |
|---|---|
| Grandeur | Cherche-t-on une surface ? |
| Données | La hauteur correspond-elle à la base ? |
| Unités | Toutes les longueurs sont-elles cohérentes ? |
| Formule | Rayon ou diamètre ? Division par deux ? |
| Résultat | L’unité est-elle au carré ? |
Les bases sur le périmètre, l’aire et les conversions sont rappelées dans Périmètres et aires 6ème, tandis que la distinction hauteur-médiane est développée dans Hauteurs, médianes et aire d’un triangle.
Astuce : écrire la formule avec des lettres avant de remplacer par les valeurs. Cette ligne révèle immédiatement une hauteur ou un rayon mal choisi.
Figure composée : piste autour d’un disque
Une piste circulaire forme une couronne de rayon extérieur \(12\) m et de rayon intérieur \(9\) m. Son aire est la différence de deux disques.
Soustraire les rayons avant de calculer, \(\pi(12-9)^2\), donnerait l’aire d’un disque de rayon \(3\), pas celle de la couronne. La surface retirée dépend du carré de chaque rayon.
Comparer deux surfaces exprimées différemment
Une parcelle A mesure \(0,48\,\text{hm}^2\) et une parcelle B \(5\,200\,\text{m}^2\). Comme \(1\,\text{hm}^2=10\,000\,\text{m}^2\), la parcelle A mesure \(4\,800\,\text{m}^2\).
La parcelle B est donc plus grande de \(400\,\text{m}^2\). Comparer directement \(0,48\) et \(5\,200\) aurait été dépourvu de sens, car les unités ne sont pas les mêmes.
Une conversion avant la comparaison rend aussi la soustraction possible. L’unité choisie doit être commune et adaptée à la taille des surfaces.
Aires et conversions 5ème : l’essentiel à retenir
Les aires et conversions en 5ème demandent un diagnostic avant le calcul : figure, dimensions utiles, unité commune et formule. Triangle, parallélogramme et disque obéissent à des constructions différentes qu’un simple formulaire ne doit pas masquer.
Le programme officiel de mathématiques du cycle 4 relie ces formules à la décomposition de figures et à la résolution de problèmes de mesure.