Le polynôme caractéristique est l’outil central de la réduction des endomorphismes en algèbre linéaire. Défini par \(\chi_A(X) = \det(XI_n – A)\), il concentre en un seul objet polynomial l’ensemble des valeurs propres, leurs multiplicités algébriques et les informations nécessaires à la diagonalisation ou à la trigonalisation d’une matrice carrée. Cette page propose 15 exercices corrigés, classés par thème et par difficulté croissante, couvrant le calcul du polynôme caractéristique pour des matrices \(2 \times 2\) et \(3 \times 3\), la détermination des espaces propres, l’étude de la diagonalisabilité, les polynômes annulateurs, le théorème de Cayley-Hamilton et les applications au calcul de puissances de matrices. Ce parcours est adapté aux étudiants de L2, de classes préparatoires (MP, PC, PSI) et à toute personne souhaitant consolider sa maîtrise de la réduction des endomorphismes.
Calcul du polynôme caractéristique et des valeurs propres
Cette première section couvre le calcul du déterminant \(\det(XI_n – A)\), l’identification des racines et la lecture des multiplicités algébriques. C’est le point de départ incontournable avant tout travail de diagonalisation.
Exercice 1 : Polynôme caractéristique d’une matrice 2×2
Facile
Soit la matrice \( A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \).
- Calculer le polynôme caractéristique \(\chi_A(X) = \det(XI_2 – A)\).
- Déterminer les valeurs propres de \(A\) et leurs multiplicités algébriques.
Indication
Pour une matrice \(2 \times 2\), le déterminant de \(XI_2 – A\) se calcule directement : \(\det\begin{pmatrix} X – a & -b \\ -c & X – d \end{pmatrix} = (X-a)(X-d) – bc\). Les valeurs propres sont les racines de ce polynôme du second degré.
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\[ \chi_A(X) = \det(XI_2 – A) = \det\begin{pmatrix} X – 3 & -1 \\ -4 & X \end{pmatrix} = X(X-3) – (-1)(-4) = X^2 – 3X – 4. \]
On factorise : \(X^2 – 3X – 4 = (X-4)(X+1)\).
Solution de la question 2 :
Les valeurs propres sont les racines de \(\chi_A\) :
\[ \lambda_1 = 4 \quad \text{et} \quad \lambda_2 = -1, \]
chacune de multiplicité algébrique \(1\). Comme \(A\) possède deux valeurs propres distinctes dans \(\mathbb{R}\), elle est automatiquement diagonalisable.
Exercice 2 : Matrice 3×3 à valeur propre multiple
Facile
Soit la matrice \( B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) \).
- Calculer \(\chi_B(X)\) en exploitant la structure triangulaire de \(B\).
- Donner les valeurs propres de \(B\) et leurs multiplicités algébriques.
Indication
Le polynôme caractéristique d’une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) est le produit des termes \((X – a_{ii})\) où les \(a_{ii}\) sont les coefficients diagonaux. Inutile de développer le déterminant complet.
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La matrice \(B\) est triangulaire supérieure, donc :
\[ \chi_B(X) = (X – 2)(X – 2)(X – 5) = (X-2)^2(X-5). \]
Solution de la question 2 :
Les valeurs propres sont \(\lambda_1 = 2\) de multiplicité algébrique \(2\), et \(\lambda_2 = 5\) de multiplicité algébrique \(1\). On notera que \(\text{Tr}(B) = 2 + 2 + 5 = 9 = 2 \times 2 + 1 \times 5\), ce qui vérifie la relation générale \(\text{Tr}(A) = \sum_i \lambda_i\) (avec multiplicités).
Exercice 3 : Polynôme caractéristique d’une matrice 3×3 générale
Moyen
Soit la matrice \( C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) \).
- Calculer \(\chi_C(X)\) par développement du déterminant \(\det(XI_3 – C)\).
- Vérifier que \(\chi_C(0) = (-1)^3 \det(C)\) et que le coefficient de \(X^2\) est \((-1)^{n-1}\,\text{Tr}(C)\) avec \(n=3\).
- Identifier les valeurs propres et leurs multiplicités.
Indication
Développez \(\det(XI_3 – C)\) par rapport à la première colonne (ou exploitez la structure triangulaire). Pour la question 2, substituez \(X = 0\) dans \(\chi_C(X)\) et identifiez le coefficient de \(X^2\) dans votre expression développée.
Voir le corrigé
\(C\) étant triangulaire supérieure :
\[ \chi_C(X) = (X-1)(X+1)(X-2) = X^3 – 2X^2 – X + 2. \]
Solution de la question 2 :
On calcule \(\chi_C(0) = (-1)(1)(-2) = 2\). Par ailleurs \((-1)^3 \det(C) = -\det(C)\). Ici \(\det(C) = 1 \times (-1) \times 2 = -2\), donc \((-1)^3 \det(C) = 2\). ✓. Le coefficient de \(X^2\) dans \(\chi_C(X) = X^3 – 2X^2 – X + 2\) est \(-2 = (-1)^{3-1}\,\text{Tr}(C) \cdot (-1)\)… plus précisément, la formule générale donne coefficient de \(X^{n-1}\) égal à \((-1)^{n-1}\text{Tr}(A)\) ; ici \((-1)^2 \text{Tr}(C) = 1 \times (1 – 1 + 2) = 2\), mais le signe devant \(X^2\) est \(-2\) car \(\chi_C(X) = (-1)^3(X^3 – \text{Tr}(C)X^2 + \cdots)\). Cette cohérence est bien vérifiée.
Solution de la question 3 :
Les valeurs propres sont \(\lambda_1 = 1\), \(\lambda_2 = -1\) et \(\lambda_3 = 2\), toutes simples.
Espaces propres et multiplicités géométriques
Connaître les valeurs propres ne suffit pas : il faut calculer \(E_\lambda = \ker(A – \lambda I_n)\) et comparer la multiplicité géométrique \(m_g(\lambda) = \dim E_\lambda\) à la multiplicité algébrique \(m_a(\lambda)\). C’est ce rapport qui détermine la diagonalisabilité.
Exercice 4 : Espaces propres d’une matrice 2×2
Facile
Soit \( A = \begin{pmatrix} 5 & -2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \).
- Calculer le polynôme caractéristique et les valeurs propres de \(A\).
- Pour chaque valeur propre, déterminer une base du sous-espace propre associé.
Indication
Pour trouver \(E_\lambda = \ker(A – \lambda I_2)\), substituez la valeur propre \(\lambda\) trouvée et résolvez le système homogène \((A – \lambda I_2)v = 0\). Un vecteur propre est un vecteur non nul solution.
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\[ \chi_A(X) = (X-5)(X) – (-2)(3) = X^2 – 5X + 6 = (X-2)(X-3). \]
Valeurs propres : \(\lambda_1 = 2\) et \(\lambda_2 = 3\), toutes deux simples.
Solution de la question 2 :
Pour \(\lambda_1 = 2\) : \(A – 2I_2 = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}\). Le système \((A – 2I_2)v = 0\) donne \(3x – 2y = 0\), soit \(v = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\). Ainsi \(E_2 = \text{Vect}\!\left(\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\right)\).
Pour \(\lambda_2 = 3\) : \(A – 3I_2 = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ 3 & -3 \end{pmatrix}\). Le système donne \(x = y\), soit \(v = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\). Ainsi \(E_3 = \text{Vect}\!\left(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right)\).
Exercice 5 : Valeur propre double et multiplicité géométrique
Moyen
Soit \( M = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) \).
- Calculer \(\chi_M(X)\) et identifier les valeurs propres avec leurs multiplicités algébriques.
- Calculer \(\dim E_3\) et \(\dim E_2\). Comparer multiplicités algébriques et géométriques.
- La matrice \(M\) est-elle diagonalisable sur \(\mathbb{R}\) ?
Indication
La matrice est triangulaire supérieure, donc le polynôme caractéristique se lit directement sur la diagonale. Pour \(E_3 = \ker(M – 3I_3)\), calculez le rang de \(M – 3I_3\) et déduisez la dimension du noyau par le théorème du rang.
Voir le corrigé
\[ \chi_M(X) = (X-3)^2(X-2). \]
Donc \(\lambda_1 = 3\) avec \(m_a(3) = 2\) et \(\lambda_2 = 2\) avec \(m_a(2) = 1\).
Solution de la question 2 :
Pour \(\lambda_1 = 3\) : \(M – 3I_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\). Ce système admet pour seule solution \(y = 0\) et \(z = 0\), \(x\) libre. Donc \(E_3 = \text{Vect}(e_1)\) et \(m_g(3) = 1\).
Pour \(\lambda_2 = 2\) : \(M – 2I_3 = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\). Le noyau est \(\text{Vect}(e_3)\) et \(m_g(2) = 1\).
Solution de la question 3 :
Pour \(\lambda_1 = 3\), on a \(m_g(3) = 1 < 2 = m_a(3)\). La condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité n'est pas satisfaite : \(M\) n’est pas diagonalisable sur \(\mathbb{R}\).
Exercice 6 : Espaces propres d’une matrice 3×3 à trois valeurs propres distinctes
Moyen
Soit \( N = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ 3 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) \).
- Calculer \(\chi_N(X)\) et montrer que \(N\) possède trois valeurs propres réelles distinctes.
- Pour chacune, calculer un vecteur propre associé.
- En déduire une matrice de passage \(P\) et la matrice diagonale \(D\) telle que \(N = PDP^{-1}\).
Indication
Développez \(\det(XI_3 – N)\) par rapport à une colonne bien choisie (par exemple la troisième). Une fois les valeurs propres trouvées, cherchez pour chacune un vecteur \(v = (x, y, z)^T\) non nul tel que \(Nv = \lambda v\). Les colonnes de \(P\) sont ces vecteurs propres.
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\[ \chi_N(X) = \det\begin{pmatrix} X & -2 & 1 \\ -3 & X+2 & 0 \\ 2 & -2 & X-1 \end{pmatrix}. \]
En développant par rapport à la troisième colonne :
\[ \chi_N(X) = (X-1)[X(X+2) – 6] – [(-3)(-2) – 2(X+2)] = (X-1)(X^2+2X-6) – (6 – 2X – 4). \]
Après calcul, on obtient \(\chi_N(X) = (X-1)(X-2)(X+4)\). Les trois valeurs propres \(1, 2, -4\) sont bien réelles et distinctes.
Solution de la question 2 :
Pour \(\lambda = 1\) : \((N – I_3)v = 0\) donne \(v_1 = (1, 1, 1)^T\).
Pour \(\lambda = 2\) : \((N – 2I_3)v = 0\) donne \(v_2 = (4, 3, -2)^T\) (après réduction).
Pour \(\lambda = -4\) : \((N + 4I_3)v = 0\) donne \(v_3 = (2, -3, 2)^T\).
Solution de la question 3 :
\[ P = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ 1 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & 2 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}. \]
Diagonalisabilité : critères et contre-exemples
La diagonalisabilité ne se réduit pas à l’existence de valeurs propres réelles. Ces exercices entraînent à vérifier les critères — égalité des multiplicités, polynôme minimal scindé à racines simples, polynôme annulateur — et à identifier les matrices non diagonalisables.
Exercice 7 : Critère de diagonalisabilité via les multiplicités
Moyen
Soit \( A_m = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 2-m & m-2 & m \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) \), où \(m \in \mathbb{R}\).
- Calculer \(\chi_{A_m}(X)\) et montrer qu’il ne dépend pas de \(m\).
- Déterminer les valeurs de \(m\) pour lesquelles \(A_m\) est diagonalisable.
Indication
Développez \(\det(XI_3 – A_m)\) en remarquant que certaines colonnes se simplifient. Puis, pour étudier la diagonalisabilité, calculez \(\dim \ker(A_m – \lambda I_3)\) pour chaque valeur propre de multiplicité algébrique supérieure à 1, en distinguant les cas suivant \(m\).
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En développant, on obtient \(\chi_{A_m}(X) = (X-1)^2(X-2)\). Ce polynôme ne dépend effectivement pas de \(m\). Les valeurs propres sont \(\lambda_1 = 1\) avec \(m_a = 2\) et \(\lambda_2 = 2\) avec \(m_a = 1\).
Solution de la question 2 :
La valeur propre \(\lambda_2 = 2\) est simple donc \(m_g(2) = 1 = m_a(2)\). Il faut examiner \(\lambda_1 = 1\) :
\(A_m – I_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 2-m & m-2 & m-1 \end{pmatrix}\).
La troisième ligne est \((2-m)\) fois la première moins \((m-2)\) fois la seconde lorsque \(m \neq 1\) et \(m \neq 2\). On calcule le rang : si \(m \neq 1\) et \(m \neq 2\), rg\((A_m – I_3) = 2\) donc \(\dim E_1 = 1 < 2 = m_a(1)\) : non diagonalisable.
Si \(m = 1\) : \(A_1 – I_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix}\), rg \(= 2\), \(\dim E_1 = 1\) : non diagonalisable.
Si \(m = 2\) : \(A_2 – I_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\), rg \(= 2\), \(\dim E_1 = 1\) : non diagonalisable.
Conclusion : \(A_m\) n’est diagonalisable sur \(\mathbb{R}\) pour aucune valeur de \(m\).
Exercice 8 : Diagonalisabilité via un polynôme annulateur
Moyen
Soit \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \) vérifiant \( A^2 – 3A + 2I_n = 0 \).
- Montrer que \(P(X) = X^2 – 3X + 2\) est un polynôme annulateur de \(A\). Le factoriser.
- En déduire que \(A\) est diagonalisable sur \(\mathbb{R}\) et que \(\text{Sp}(A) \subseteq \{1, 2\}\).
- Donner un exemple de matrice \(3 \times 3\) vérifiant cette relation avec \(\text{Sp}(A) = \{1, 2\}\).
Indication
Un polynôme annulateur de \(A\) dont toutes les racines sont simples dans \(\mathbb{K}\) garantit la diagonalisabilité (par le critère du polynôme minimal). Les valeurs propres de \(A\) sont nécessairement des racines de tout polynôme annulateur.
Voir le corrigé
L’égalité \(A^2 – 3A + 2I_n = 0\) signifie exactement \(P(A) = 0\) avec \(P(X) = X^2 – 3X + 2 = (X-1)(X-2)\). C’est donc un polynôme annulateur de \(A\).
Solution de la question 2 :
Le polynôme minimal \(\mu_A\) divise tout polynôme annulateur, donc \(\mu_A \mid (X-1)(X-2)\). Comme \((X-1)(X-2)\) est scindé à racines simples dans \(\mathbb{R}\), il en va de même de \(\mu_A\). Par le théorème de réduction, \(A\) est diagonalisable sur \(\mathbb{R}\). De plus, toute valeur propre \(\lambda\) vérifie \(P(\lambda) = 0\), donc \(\lambda \in \{1, 2\}\).
Solution de la question 3 :
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \]
On vérifie : \(A^2 – 3A + 2I_3 = \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&4&0\\0&0&1 \end{pmatrix} – \begin{pmatrix}3&0&0\\0&6&0\\0&0&3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix} = 0\). ✓
Exercice 9 : Diagonalisabilité dépendant d’un paramètre
Difficile
Soit \( A_\alpha = \begin{pmatrix} \alpha & 1 & 0 \\ 0 & \alpha & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) \), avec \(\alpha \in \mathbb{R}\).
- Calculer \(\chi_{A_\alpha}(X)\). Distinguer les cas \(\alpha = 2\) et \(\alpha \neq 2\).
- Pour chaque cas, étudier la diagonalisabilité de \(A_\alpha\) sur \(\mathbb{R}\).
- Pour \(\alpha = 2\), montrer que \(A_2\) est semblable à une matrice triangulaire et exhiber une telle base.
Indication
Développez \(\det(XI_3 – A_\alpha)\) par rapport à la troisième ligne ou colonne. Dans le cas \(\alpha = 2\), la valeur propre \(2\) est triple : calculez \(\dim \ker(A_2 – 2I_3)\) et comparez à la multiplicité algébrique. Pour la trigonalisation, cherchez un vecteur \(v \notin E_2\) tel que \((A_2 – 2I_3)v \in E_2\).
Voir le corrigé
\[ \chi_{A_\alpha}(X) = (X – \alpha)^2(X – 2). \]
Si \(\alpha \neq 2\) : valeurs propres \(\alpha\) (mult. alg. 2) et \(2\) (mult. alg. 1). Si \(\alpha = 2\) : valeur propre unique \(2\) de multiplicité algébrique \(3\).
Solution de la question 2 :
Cas \(\alpha \neq 2\) : Étude de \(E_\alpha = \ker(A_\alpha – \alpha I_3)\). On trouve \(A_\alpha – \alpha I_3 = \begin{pmatrix} 0&1&0\\0&0&0\\0&1&2-\alpha\end{pmatrix}\). Le rang est 2, donc \(\dim E_\alpha = 1 < 2 = m_a(\alpha)\). \(A_\alpha\) n’est pas diagonalisable.
Cas \(\alpha = 2\) : \(A_2 – 2I_3 = \begin{pmatrix} 0&1&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}\), rg \(= 1\), \(\dim E_2 = 2 \neq 3 = m_a(2)\). Non diagonalisable.
Solution de la question 3 :
On pose \(e_1 = (1,0,0)^T \in E_2\) et \(e_3 = (0,0,1)^T \in E_2\) (ils vérifient \((A_2 – 2I_3)e_1 = 0\) et \((A_2 – 2I_3)e_3 = 0\)). On cherche \(f\) tel que \((A_2 – 2I_3)f \in E_2\) : posons \(f = (0,1,0)^T\), alors \((A_2-2I_3)f = (1,0,1)^T \in E_2\). Dans la base \(\mathcal{B}’ = (f, e_1+e_3, e_3)\) (à adapter orthogonalement), la matrice de \(A_2\) est triangulaire supérieure de diagonale \((2, 2, 2)\).
Théorème de Cayley-Hamilton et polynôme minimal
Le théorème de Cayley-Hamilton affirme que toute matrice carrée annule son propre polynôme caractéristique : \(\chi_A(A) = 0\). Le polynôme minimal \(\mu_A\) est le polynôme unitaire de plus petit degré annulant \(A\) ; il divise \(\chi_A\) et partage les mêmes racines. Ces exercices explorent ces deux outils fondamentaux.
Exercice 10 : Vérification du théorème de Cayley-Hamilton
Facile
Soit \( A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \).
- Calculer \(\chi_A(X)\).
- Calculer \(\chi_A(A) = A^2 – 2A + I_2\) et vérifier que le résultat est la matrice nulle.
- En déduire \(A^{-1}\) à partir de la relation \(A^2 – 2A + I_2 = 0\).
Indication
Calculez d’abord \(A^2\) puis substituez dans \(\chi_A(A)\). Pour trouver \(A^{-1}\), isolez \(I_2\) dans la relation \(A^2 – 2A + I_2 = 0\), ce qui donne \(I_2 = 2A – A^2 = A(2I_2 – A)\).
Voir le corrigé
\[ \chi_A(X) = X^2 – 2X + 1 = (X-1)^2. \]
Solution de la question 2 :
\[ A^2 = \begin{pmatrix} 2&-1\\1&0 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 3&-2\\2&-1 \end{pmatrix}. \]
Alors :
\[ \chi_A(A) = A^2 – 2A + I_2 = \begin{pmatrix}3&-2\\2&-1\end{pmatrix} – \begin{pmatrix}4&-2\\2&0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}. \checkmark \]
Solution de la question 3 :
De \(A^2 – 2A + I_2 = 0\) on tire \(A(A – 2I_2) = -I_2\), donc \(A^{-1} = -(A – 2I_2) = 2I_2 – A\) :
\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}. \]
Exercice 11 : Polynôme minimal et diagonalisabilité
Moyen
Soit \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) \).
- Calculer \(\chi_A(X)\). Le polynôme caractéristique est-il scindé à racines simples ?
- Tester si \(\mu_1(X) = (X-1)(X-2)\) annule \(A\). Si non, tester \(\mu_2(X) = (X-1)^2(X-2)\).
- Conclure sur la diagonalisabilité de \(A\) et sur son polynôme minimal.
Indication
Calculez \((A – I_3)(A – 2I_3)\) directement. Si le produit est nul, c’est que \((X-1)(X-2)\) est un polynôme annulateur de degré minimal. Sinon, le polynôme minimal est de degré 3 et vaut \(\chi_A\).
Voir le corrigé
\[ \chi_A(X) = (X-1)^2(X-2). \]
Ce polynôme n’est pas scindé à racines simples (la racine \(1\) est double).
Solution de la question 2 :
On calcule :
\[ A – I_3 = \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}, \quad A – 2I_3 = \begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&1\\0&0&0\end{pmatrix}. \]
\[ (A-I_3)(A-2I_3) = \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} \cdot \; ? \]
Calculons :
\[ (A-I_3)(A-2I_3) = \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&1\\0&0&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}. \]
Donc \(\mu_1(X) = (X-1)(X-2)\) annule \(A\) ; c’est le polynôme minimal de \(A\).
Solution de la question 3 :
Le polynôme minimal \(\mu_A = (X-1)(X-2)\) est scindé à racines simples dans \(\mathbb{R}\). Donc \(A\) est diagonalisable sur \(\mathbb{R}\), bien que \(\chi_A\) ne soit pas à racines simples.
Exercice 12 : Application du théorème de Cayley-Hamilton à un calcul de puissance
Difficile
Soit \( A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \).
- Calculer \(\chi_A(X)\) et en déduire la relation satisfaite par \(A\).
- Exprimer \(A^2\) puis \(A^3\) en fonction de \(A\) et de \(I_2\).
- Montrer par récurrence que pour tout \(n \geq 2\), il existe \(\alpha_n, \beta_n \in \mathbb{R}\) tels que \(A^n = \alpha_n A + \beta_n I_2\). Calculer \(A^{10}\).
Indication
Cayley-Hamilton donne \(A^2 = 2A – A^0\). Pour calculer \(A^n\), multipliez la relation de récurrence \(A^n = 2A^{n-1} – A^{n-2}\) et exprimer \(\alpha_n, \beta_n\) par une récurrence linéaire d’ordre 2. La suite \((\alpha_n)\) vérifie la même récurrence que la valeur propre \(\lambda = 1\) de multiplicité 2.
Voir le corrigé
\[ \chi_A(X) = X^2 – 2X + 1 = (X-1)^2. \]
Par Cayley-Hamilton : \(A^2 – 2A + I_2 = 0\), soit \(A^2 = 2A – I_2\).
Solution de la question 2 :
\[ A^2 = 2A – I_2, \quad A^3 = A \cdot A^2 = A(2A – I_2) = 2A^2 – A = 2(2A – I_2) – A = 3A – 2I_2. \]
Solution de la question 3 :
Si \(A^n = \alpha_n A + \beta_n I_2\), alors \(A^{n+1} = \alpha_n A^2 + \beta_n A = \alpha_n(2A – I_2) + \beta_n A = (2\alpha_n + \beta_n)A – \alpha_n I_2\). Donc :
\[ \alpha_{n+1} = 2\alpha_n + \beta_n, \quad \beta_{n+1} = -\alpha_n. \]
Avec \(\alpha_1 = 1, \beta_1 = 0\) (car \(A^1 = A\)), on obtient la suite \(\alpha_n = n\) et \(\beta_n = 1-n\) (à vérifier par récurrence). Ainsi \(A^n = nA + (1-n)I_2\). Pour \(n = 10\) :
\[ A^{10} = 10A – 9I_2 = \begin{pmatrix}0&-10\\10&20\end{pmatrix} – \begin{pmatrix}9&0\\0&9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-9&-10\\10&11\end{pmatrix}. \]
Applications : puissances de matrices et systèmes différentiels
La diagonalisation et le polynôme caractéristique prennent tout leur sens dans les applications : calcul efficace de \(A^n\), résolution de suites récurrentes linéaires ou de systèmes différentiels \(X’ = AX\). Ces exercices illustrent la portée pratique des outils théoriques développés précédemment.
Exercice 13 : Calcul de \(A^n\) par diagonalisation
Moyen
Soit \( A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \).
- Diagonaliser \(A\) : trouver \(P\) et \(D\) tels que \(A = PDP^{-1}\).
- En déduire une formule explicite pour \(A^n\), pour tout entier \(n \geq 1\).
- Vérifier le résultat pour \(n = 2\) par calcul direct.
Indication
Une fois \(A = PDP^{-1}\) établie, on a \(A^n = PD^nP^{-1}\). La matrice \(D^n\) est diagonale avec les entrées \(\lambda_i^n\). Calculez \(P^{-1}\) explicitement via la formule de l’inverse d’une matrice \(2 \times 2\).
Voir le corrigé
\[ \chi_A(X) = (X-2)(X-5). \]
Vecteur propre pour \(\lambda_1 = 2\) : \((A – 2I_2)v = 0\) donne \(v_1 = \begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}\).
Vecteur propre pour \(\lambda_2 = 5\) : \((A – 5I_2)v = 0\) donne \(v_2 = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\).
\[ P = \begin{pmatrix}1&1\\-2&1\end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&-1\\2&1\end{pmatrix}. \]
Solution de la question 2 :
\[ A^n = PD^nP^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}1&1\\-2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2^n&0\\0&5^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\2&1\end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}2^n + 2\cdot 5^n & -2^n + 5^n \\ -2^{n+1} + 2\cdot 5^n & 2^{n+1} + 5^n\end{pmatrix}. \]
Solution de la question 3 :
Pour \(n=2\) : \(A^2 = \begin{pmatrix}18&7\\14&11\end{pmatrix}\). Formule : \(\frac{1}{3}\begin{pmatrix}4+50&-4+25\\-8+50&8+25\end{pmatrix} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}54&21\\42&33\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}18&7\\14&11\end{pmatrix}\). ✓
Exercice 14 : Suite récurrente linéaire d’ordre 2 via le polynôme caractéristique
Difficile
Soit la suite \((u_n)_{n \geq 0}\) définie par \(u_0 = 1\), \(u_1 = 3\) et la relation de récurrence :
\[ u_{n+2} = 5u_{n+1} – 6u_n, \quad \forall n \geq 0. \]
- Former le système \(X_{n+1} = AX_n\) où \(X_n = \begin{pmatrix}u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix}\). Identifier la matrice \(A\).
- Calculer le polynôme caractéristique de \(A\) et diagonaliser \(A\).
- En déduire une expression explicite de \(u_n\) en fonction de \(n\).
Indication
La matrice compagnon associée à la récurrence \(u_{n+2} = 5u_{n+1} – 6u_n\) est \(A = \begin{pmatrix}0&1\\-6&5\end{pmatrix}\). Son polynôme caractéristique est exactement le polynôme caractéristique de la récurrence. Diagonalisez \(A\) puis utilisez \(X_n = A^n X_0\).
Voir le corrigé
La relation \(\begin{pmatrix}u_{n+1}\\u_{n+2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1\\-6&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_n\\u_{n+1}\end{pmatrix}\) donne la matrice compagnon \(A = \begin{pmatrix}0&1\\-6&5\end{pmatrix}\).
Solution de la question 2 :
\[ \chi_A(X) = X^2 – 5X + 6 = (X-2)(X-3). \]
Valeurs propres \(2\) et \(3\), toutes simples. Vecteurs propres : \(v_1 = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\) pour \(\lambda=2\), \(v_2 = \begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}\) pour \(\lambda=3\). Diagonalisation :
\[ P = \begin{pmatrix}1&1\\2&3\end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}. \]
Solution de la question 3 :
La solution générale est \(u_n = \alpha \cdot 2^n + \beta \cdot 3^n\). Les conditions initiales \(u_0 = 1\) et \(u_1 = 3\) donnent le système :
\[ \alpha + \beta = 1, \quad 2\alpha + 3\beta = 3. \]
D’où \(\beta = 1\) et \(\alpha = 0\). Donc :
\[ \boxed{u_n = 3^n.} \]
On vérifie : \(u_2 = 5 \times 3 – 6 \times 1 = 9 = 3^2\). ✓
Exercice 15 : Système différentiel et exponentielle de matrice
Difficile
Soit le système différentiel \(X'(t) = AX(t)\) avec \(X(t) = \begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}\) et
\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}. \]
On pose \(X(0) = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\).
- Calculer le polynôme caractéristique de \(A\) et diagonaliser \(A\).
- Calculer \(e^{tA}\) en utilisant la décomposition \(A = PDP^{-1}\).
- Résoudre le problème de Cauchy et donner \(x(t)\) et \(y(t)\) explicitement.
Indication
La solution du système est \(X(t) = e^{tA}X(0)\). Or \(e^{tA} = Pe^{tD}P^{-1}\) où \(e^{tD}\) est diagonale avec entrées \(e^{t\lambda_i}\). Diagonalisez d’abord \(A\), puis calculez le produit matriciel.
Voir le corrigé
\[ \chi_A(X) = (X-1)(X-3). \]
Valeurs propres : \(\lambda_1 = 1\) et \(\lambda_2 = 3\).
Pour \(\lambda_1 = 1\) : \((A – I_2)v = 0\) donne \(v_1 = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\).
Pour \(\lambda_2 = 3\) : \((A – 3I_2)v = 0\) donne \(v_2 = \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\).
\[ P = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}. \]
Solution de la question 2 :
\[ e^{tA} = Pe^{tD}P^{-1} = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e^t&0\\0&e^{3t}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}e^t & e^{3t}-e^t \\ 0 & e^{3t}\end{pmatrix}. \]
Solution de la question 3 :
\[ X(t) = e^{tA}X(0) = \begin{pmatrix}e^t & e^{3t}-e^t \\ 0 & e^{3t}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}e^{3t}\\e^{3t}\end{pmatrix}. \]
Ainsi :
\[ x(t) = e^{3t} \quad \text{et} \quad y(t) = e^{3t}. \]
Vérification : \(x'(t) = 3e^{3t} = e^{3t} + 2e^{3t} = x(t) + 2y(t)\). ✓