La diagonalisation d’une matrice est l’une des techniques centrales de la réduction des endomorphismes en algèbre linéaire. Elle consiste à écrire une matrice \( A \) sous la forme \( A = PDP^{-1} \) où \( D \) est une matrice diagonale, ce qui simplifie considérablement le calcul de puissances de matrices, la résolution de systèmes différentiels linéaires et l’étude de suites récurrentes. Cette page propose douze exercices corrigés progressifs, allant de la diagonalisation d’une matrice \( 2 \times 2 \) jusqu’aux applications avancées et aux matrices à paramètre, conformément au programme des classes préparatoires MPSI, PCSI, MP, PC et PSI. Chaque exercice mobilise les notions essentielles : polynôme caractéristique, valeurs propres, multiplicité algébrique et géométrique, sous-espaces propres, polynôme annulateur et critères de diagonalisabilité.
Diagonalisation des matrices 2×2 : exercices corrigés pour débuter
Ces premiers exercices visent à consolider la méthode fondamentale : calcul du polynôme caractéristique, détermination des valeurs propres et des vecteurs propres, puis construction explicite des matrices \( P \) et \( D \). Indispensables avant d’aborder les matrices \( 3 \times 3 \).
Exercice 1 : Diagonalisation d’une matrice 2×2 à valeurs propres distinctes
Facile
Soit la matrice \( A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \).
- Calculer le polynôme caractéristique \( \chi_A(\lambda) \) de \( A \).
- Déterminer les valeurs propres de \( A \) et les sous-espaces propres associés.
- Conclure sur la diagonalisabilité de \( A \) et écrire la décomposition \( A = PDP^{-1} \).
Indication
Le polynôme caractéristique d’une matrice \( 2 \times 2 \) est \( \chi_A(\lambda) = \lambda^2 – \mathrm{tr}(A)\,\lambda + \det(A) \). Si les deux racines sont distinctes, la diagonalisabilité est immédiate. Pour chaque valeur propre \( \lambda_i \), résolvez \( (A – \lambda_i I)v = 0 \) pour trouver une base du sous-espace propre.
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\[ \chi_A(\lambda) = \det(A – \lambda I) = (3 – \lambda)(4 – \lambda) – 2 = \lambda^2 – 7\lambda + 10 = (\lambda – 2)(\lambda – 5). \]
Solution de la question 2 :
Les valeurs propres sont \( \lambda_1 = 2 \) et \( \lambda_2 = 5 \), toutes deux simples.
Pour \( \lambda_1 = 2 \) : \( (A – 2I)v = 0 \) donne \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} v = 0 \), soit \( v_1 + v_2 = 0 \). Un vecteur propre : \( e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \).
Pour \( \lambda_2 = 5 \) : \( (A – 5I)v = 0 \) donne \( \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} v = 0 \), soit \( 2v_1 = v_2 \). Un vecteur propre : \( e_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \).
Solution de la question 3 :
\( A \) admet deux valeurs propres distinctes, donc elle est diagonalisable. On pose :
\[ P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}, \qquad P^{-1} = \frac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}. \]
On vérifie que \( A = PDP^{-1} \).
Exercice 2 : Matrice 2×2 avec valeur propre double — test de diagonalisabilité
Facile
Soit la matrice \( B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \).
- Déterminer les valeurs propres de \( B \) et leurs multiplicités algébriques.
- Calculer la dimension du sous-espace propre associé à chaque valeur propre.
- \( B \) est-elle diagonalisable ? Justifier précisément.
Indication
Une matrice est diagonalisable si et seulement si, pour chaque valeur propre, la multiplicité géométrique (dimension du sous-espace propre) est égale à la multiplicité algébrique (ordre de la racine dans le polynôme caractéristique). Ici, la matrice est triangulaire supérieure : ses valeurs propres se lisent sur la diagonale.
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\( B \) est triangulaire, donc \( \chi_B(\lambda) = (3 – \lambda)^2 \). La seule valeur propre est \( \lambda = 3 \) avec multiplicité algébrique \( m_a(3) = 2 \).
Solution de la question 2 :
\[ B – 3I = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. \]
Le noyau de \( B – 3I \) est de dimension \( 1 \) (engendré par \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \)). Donc \( m_g(3) = 1 \).
Solution de la question 3 :
Puisque \( m_g(3) = 1 < 2 = m_a(3) \), la matrice \( B \) n’est pas diagonalisable. Elle est nilpotente modulo \( 3I \) et ne possède pas suffisamment de vecteurs propres linéairement indépendants.
Diagonalisation des matrices 3×3 : exercices corrigés niveau MPSI
Ces exercices portent sur des matrices \( 3 \times 3 \), cas le plus fréquent en classes préparatoires. L’enjeu est de maîtriser le calcul du polynôme caractéristique de degré 3, la recherche des sous-espaces propres et la vérification des conditions de diagonalisabilité avant de construire explicitement \( P \) et \( D \).
Exercice 3 : Diagonalisation d’une matrice 3×3 à trois valeurs propres distinctes
Facile
Soit la matrice \( A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \).
- Déterminer les valeurs propres de \( A \) sans développer un déterminant complet.
- Pour chaque valeur propre, déterminer une base du sous-espace propre.
- Diagonaliser \( A \) et écrire explicitement \( P \), \( D \) et \( P^{-1} \).
Indication
\( A \) est triangulaire inférieure : ses valeurs propres sont directement lisibles sur la diagonale. Trois valeurs propres distinctes impliquent immédiatement la diagonalisabilité sans autre vérification.
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\( A \) est triangulaire inférieure, donc \( \chi_A(\lambda) = (2 – \lambda)(3 – \lambda)(1 – \lambda) \). Les valeurs propres sont \( \lambda_1 = 1 \), \( \lambda_2 = 2 \), \( \lambda_3 = 3 \), toutes simples.
Solution de la question 2 :
Pour \( \lambda_1 = 1 \) : \( (A – I)v = 0 \) donne le système \( v_1 = 0 \), \( v_2 + 2v_3 = 0 \). Base : \( e_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \).
Pour \( \lambda_2 = 2 \) : \( (A – 2I)v = 0 \) donne \( v_2 = 0 \), \( v_3 = 0 \). Base : \( e_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \).
Pour \( \lambda_3 = 3 \) : \( (A – 3I)v = 0 \) donne \( -v_1 = 0 \) et \( v_2 – 2v_3 = 0 \). Base : \( e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \).
Solution de la question 3 :
\[ P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}. \]
On calcule \( P^{-1} \) par la méthode de Gauss-Jordan (déterminant \( \det P = 4 \)) et on vérifie \( AP = PD \).
Exercice 4 : Matrice 3×3 avec valeur propre double diagonalisable
Moyen
Soit la matrice \( M = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 2 & 5 & -2 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \).
- Calculer le polynôme caractéristique de \( M \) (on pourra développer par rapport à une ligne ou colonne commode).
- Déterminer les sous-espaces propres et vérifier les conditions de diagonalisabilité.
- Construire la matrice de passage \( P \) et écrire \( M = PDP^{-1} \).
Indication
Développez \( \det(M – \lambda I) \) en réduisant par rapport à la troisième colonne ou par opérations élémentaires. Lorsqu’une valeur propre est double, il faut calculer \( \dim \ker(M – \lambda I) \) : si cette dimension est égale à 2, la diagonalisabilité est assurée.
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\[ \chi_M(\lambda) = -(\lambda – 3)^2(\lambda – 5). \]
Les valeurs propres sont \( \lambda_1 = 3 \) (multiplicité 2) et \( \lambda_2 = 5 \) (multiplicité 1).
Solution de la question 2 :
Pour \( \lambda_1 = 3 \) : On résout \( (M – 3I)v = 0 \). La matrice \( M – 3I = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix} \) est de rang 1, donc \( \dim \ker(M – 3I) = 2 = m_a(3) \). Base : \( f_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \; f_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \).
Pour \( \lambda_2 = 5 \) : On résout \( (M – 5I)v = 0 \). On trouve \( f_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \).
Comme \( m_g(\lambda) = m_a(\lambda) \) pour toutes les valeurs propres, \( M \) est diagonalisable.
Solution de la question 3 :
\[ P = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad D = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}. \]
Exercice 5 : Matrice 3×3 non diagonalisable — analyse complète
Moyen
Soit la matrice \( N = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \).
- Déterminer les valeurs propres de \( N \) et leurs multiplicités algébriques.
- Calculer la dimension du sous-espace propre associé et conclure sur la diagonalisabilité.
- Vérifier que \( (N – 2I)^3 = 0 \) et que \( (N – 2I)^2 \neq 0 \). Quel polynôme annulateur cela fournit-il ?
Indication
La matrice \( N – 2I \) est nilpotente. Pour tester la diagonalisabilité, comparez \( m_g(2) = \dim \ker(N – 2I) \) et \( m_a(2) \). Un polynôme annulateur de la forme \( (\lambda – 2)^k \) révèle l’indice de nilpotence.
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\( N \) est triangulaire supérieure, donc \( \chi_N(\lambda) = (2 – \lambda)^3 \). La seule valeur propre est \( \lambda = 2 \) avec \( m_a(2) = 3 \).
Solution de la question 2 :
\[ N – 2I = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \]
Le noyau est de dimension 1 (engendré par \( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)). Donc \( m_g(2) = 1 < 3 = m_a(2) \) : \( N \) n’est pas diagonalisable.
Solution de la question 3 :
\[ (N – 2I)^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \neq 0, \qquad (N – 2I)^3 = 0. \]
Le polynôme minimal de \( N \) est donc \( \mu_N(\lambda) = (\lambda – 2)^3 \), qui est aussi le polynôme caractéristique. \( N \) est un bloc de Jordan de taille 3.
Matrices à paramètre : critères de diagonalisabilité selon les valeurs d’un paramètre réel
Un exercice classique de prépa consiste à étudier la diagonalisabilité d’une matrice dépendant d’un paramètre \( m \in \mathbb{R} \). L’enjeu est d’identifier les valeurs critiques du paramètre et d’adapter le raisonnement en distinguant les cas.
Exercice 6 : Diagonalisabilité d’une matrice 3×3 selon un paramètre réel
Moyen
Soit la matrice, dépendant du réel \( m \) :
\[ A_m = \begin{pmatrix} m & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & m \end{pmatrix}. \]
- Calculer \( \chi_{A_m}(\lambda) \) en fonction de \( m \).
- Pour quelles valeurs de \( m \) la matrice \( A_m \) est-elle diagonalisable ? Justifier dans chaque cas.
- Pour les valeurs de \( m \) où \( A_m \) n’est pas diagonalisable, déterminer un polynôme annulateur de degré minimal.
Indication
La matrice est triangulaire par blocs. Distinguer le cas \( m \neq 1 \) (valeurs propres distinctes) et \( m = 1 \) (valeur propre triple). Dans ce dernier cas, calculer \( \dim \ker(A_1 – I) \).
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\[ \chi_{A_m}(\lambda) = (m – \lambda)^2 (1 – \lambda). \]
Solution de la question 2 :
Cas \( m \neq 1 \) : les valeurs propres \( m \) (multiplicité 2) et \( 1 \) (multiplicité 1) sont distinctes. Pour \( \lambda = m \), on calcule \( A_m – mI = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1-m & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \). Si \( m \neq 1 \), le rang est 1 donc \( \dim \ker = 2 = m_a(m) \). \( A_m \) est diagonalisable pour tout \( m \neq 1 \).
Cas \( m = 1 \) : \( A_1 – I = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \), de rang 1, donc \( \dim \ker = 2 < 3 = m_a(1) \). \( A_1 \) n’est pas diagonalisable.
Solution de la question 3 :
Pour \( m = 1 \) : \( (A_1 – I)^2 = 0 \) (à vérifier par calcul direct). Donc \( \mu_{A_1}(\lambda) = (\lambda – 1)^2 \) est un polynôme annulateur de degré minimal.
Puissances de matrices par diagonalisation — exercices corrigés
L’une des applications les plus importantes de la diagonalisation est le calcul de \( A^n \) pour \( n \in \mathbb{N} \) : si \( A = PDP^{-1} \), alors \( A^n = PD^nP^{-1} \), et \( D^n \) s’obtient en élevant chaque coefficient diagonal à la puissance \( n \). Ces exercices entraînent également à la manipulation de suites récurrentes linéaires.
Exercice 7 : Calcul de \( A^n \) par diagonalisation
Moyen
Soit la matrice \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \).
- Diagonaliser \( A \).
- En déduire une expression explicite de \( A^n \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \).
- Calculer \( A^{10} \).
Indication
Après avoir écrit \( A = PDP^{-1} \), utilisez le fait que \( A^n = P D^n P^{-1} \) où \( D^n = \begin{pmatrix} \lambda_1^n & 0 \\ 0 & \lambda_2^n \end{pmatrix} \). Développez ensuite le produit matriciel en gardant \( n \) comme paramètre.
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\( \chi_A(\lambda) = (1-\lambda)(3-\lambda) \). Valeurs propres : \( \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 3 \).
Pour \( \lambda_1 = 1 \) : vecteur propre \( v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \). Pour \( \lambda_2 = 3 \) : \( (A-3I)v = 0 \) donne \( v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \).
\[ P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}. \]
Solution de la question 2 :
\[ A^n = P D^n P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3^n – 1 \\ 0 & 3^n \end{pmatrix}. \]
Solution de la question 3 :
\[ A^{10} = \begin{pmatrix} 1 & 3^{10} – 1 \\ 0 & 3^{10} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 59048 \\ 0 & 59049 \end{pmatrix}. \]
Exercice 8 : Suite récurrente linéaire et diagonalisation
Moyen
On définit deux suites \( (u_n) \) et \( (v_n) \) par \( u_0 = 1 \), \( v_0 = 0 \) et la relation de récurrence :
\[ \begin{cases} u_{n+1} = 3u_n – v_n \\ v_{n+1} = 2u_n \end{cases} \]
- Écrire ce système sous forme matricielle \( X_{n+1} = AX_n \) et identifier \( A \).
- Diagonaliser \( A \) et en déduire \( X_n = A^n X_0 \).
- Donner les expressions explicites de \( u_n \) et \( v_n \) en fonction de \( n \).
Indication
Posez \( X_n = \begin{pmatrix} u_n \\ v_n \end{pmatrix} \). On aura \( X_n = A^n X_0 \). Après diagonalisation, le produit \( PD^nP^{-1}X_0 \) donne directement \( u_n \) et \( v_n \) en lisant les composantes.
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\[ A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}, \quad X_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}. \]
Solution de la question 2 :
\( \chi_A(\lambda) = \lambda^2 – 3\lambda + 2 = (\lambda-1)(\lambda-2) \). Valeurs propres : \( \lambda_1 = 1 \), \( \lambda_2 = 2 \).
Pour \( \lambda_1=1 \) : \( v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \). Pour \( \lambda_2=2 \) : \( v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \).
\[ P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}. \]
\[ X_n = P D^n P^{-1} X_0 = \begin{pmatrix} -1\cdot 1^n + 2\cdot 2^n \\ -2\cdot 1^n + 2\cdot 2^n \end{pmatrix}. \]
Solution de la question 3 :
\[ u_n = 2^{n+1} – 1, \qquad v_n = 2^{n+1} – 2. \]
Vérification : \( u_0 = 2 – 1 = 1 \) ✓, \( v_0 = 2 – 2 = 0 \) ✓.
Polynôme annulateur et diagonalisabilité — exercices corrigés MP/PC
Le polynôme annulateur et le polynôme minimal offrent un critère puissant de diagonalisabilité : une matrice est diagonalisable sur \( \mathbb{K} \) si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples sur \( \mathbb{K} \). Ces exercices entraînent à utiliser ce critère de façon directe.
Exercice 9 : Diagonalisabilité via un polynôme annulateur donné
Moyen
Soit \( A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R}) \) une matrice vérifiant \( A^2 – 5A + 6I = 0 \).
- Montrer que \( A \) est diagonalisable sur \( \mathbb{R} \).
- Que peut-on dire du spectre de \( A \) ?
- Supposons de plus que \( \mathrm{tr}(A) = 7 \) et \( \det(A) = 12 \). Déterminer complètement les valeurs propres de \( A \) et leurs multiplicités.
Indication
Factorisez \( X^2 – 5X + 6 = (X-2)(X-3) \). Puisque ce polynôme est scindé à racines simples et annule \( A \), il est divisible par le polynôme minimal de \( A \). Utilisez la trace et le déterminant pour relier les multiplicités des valeurs propres.
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Le polynôme \( \pi(X) = X^2 – 5X + 6 = (X-2)(X-3) \) est scindé à racines simples sur \( \mathbb{R} \) et annule \( A \). Donc le polynôme minimal de \( A \) divise \( \pi \), qui est lui-même scindé à racines simples. Par conséquent, \( A \) est diagonalisable sur \( \mathbb{R} \).
Solution de la question 2 :
Les valeurs propres de \( A \) appartiennent à \( \{2, 3\} \) (racines de \( \pi \)).
Solution de la question 3 :
Notons \( k \) la multiplicité de 2 et \( 3-k \) celle de 3 (la taille est 3). On a :
\[ \mathrm{tr}(A) = 2k + 3(3-k) = 9 – k = 7 \implies k = 2. \]
Vérification avec le déterminant : \( \det(A) = 2^2 \cdot 3^1 = 12 \) ✓.
Donc \( A \) a pour valeurs propres \( 2 \) avec multiplicité 2 et \( 3 \) avec multiplicité 1.
Applications avancées de la diagonalisation — systèmes différentiels et exponentielles de matrices
La diagonalisation prend toute sa puissance dans la résolution de systèmes différentiels linéaires \( X’ = AX \) et dans le calcul de l’exponentielle de matrice \( e^A \). Ces exercices, caractéristiques des épreuves de concours MP/PC/PSI, nécessitent une maîtrise complète de la méthode.
Exercice 10 : Résolution d’un système différentiel linéaire par diagonalisation
Difficile
On considère le système différentiel :
\[ \begin{cases} x'(t) = 2x(t) + y(t) \\ y'(t) = x(t) + 2y(t) \end{cases} \]
avec les conditions initiales \( x(0) = 3 \) et \( y(0) = 1 \).
- Écrire le système sous forme matricielle \( X'(t) = AX(t) \) et diagonaliser \( A \).
- Effectuer le changement de variable \( X = PY \) pour découpler le système.
- Résoudre le système découplé et en déduire \( x(t) \) et \( y(t) \).
Indication
Après diagonalisation \( A = PDP^{-1} \), posez \( Y = P^{-1}X \). Le système en \( Y \) devient \( Y’ = DY \), qui est diagonal et se résout composante par composante. Revenez ensuite à \( X = PY \) et appliquez les conditions initiales via \( Y(0) = P^{-1}X(0) \).
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\[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad \chi_A(\lambda) = (\lambda-1)(\lambda-3). \]
Valeurs propres : \( \lambda_1 = 1 \), vecteur propre \( v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \) ; \( \lambda_2 = 3 \), vecteur propre \( v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \).
\[ P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad P^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}. \]
Solution de la question 2 :
Avec \( Y = P^{-1}X \), le système devient \( Y’ = DY \), soit \( y_1′ = y_1 \) et \( y_2′ = 3y_2 \).
Solution de la question 3 :
Solutions du système découplé : \( y_1(t) = C_1 e^t \) et \( y_2(t) = C_2 e^{3t} \).
Conditions initiales : \( Y(0) = P^{-1}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} \). Donc \( C_1 = 1 \), \( C_2 = 2 \).
On revient à \( X = PY \) :
\[ \begin{cases} x(t) = e^t + 2e^{3t} \\ y(t) = -e^t + 2e^{3t} \end{cases} \]
Exercice 11 : Calcul de l’exponentielle d’une matrice par diagonalisation
Difficile
Soit la matrice \( A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & -5 & 4 \end{pmatrix} \).
- Montrer que \( \pi(X) = (X-1)(X-2)^2 \) est un polynôme annulateur de \( A \). En déduire que \( A \) est diagonalisable.
- Diagonaliser \( A \).
- En déduire \( e^A = P e^D P^{-1} \), où \( e^D = \mathrm{diag}(e^{\lambda_i}) \).
Indication
Pour montrer que \( \pi(A) = 0 \), calculez \( (A-I)(A-2I)^2 \) directement. Si ce produit est la matrice nulle, \( \pi \) est un polynôme annulateur. Comme \( \pi \) est scindé à racines simples, \( A \) est diagonalisable. L’exponentielle de matrice diagonale est immédiate : \( e^D = \mathrm{diag}(e^1, e^2, e^2) \).
Voir le corrigé
On calcule \( A – I \) et \( (A – 2I)^2 \) puis leur produit. Un calcul direct montre que \( (A-I)(A-2I)^2 = 0 \). Donc \( \pi(X) = (X-1)(X-2)^2 \) annule \( A \). Puisque \( \pi \) est scindé à racines simples sur \( \mathbb{R} \) (racines 1 et 2), \( A \) est diagonalisable.
Solution de la question 2 :
Spectre : \( \lambda_1 = 1 \) (multiplicité 1), \( \lambda_2 = 2 \) (multiplicité 2).
Pour \( \lambda_1 = 1 \) : \( \ker(A-I) \), on résout et on trouve \( f_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \).
Pour \( \lambda_2 = 2 \) : \( \ker(A-2I) \) est de dimension 2, on trouve \( f_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \) et \( f_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \).
\[ P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}. \]
Solution de la question 3 :
\[ e^D = \begin{pmatrix} e & 0 & 0 \\ 0 & e^2 & 0 \\ 0 & 0 & e^2 \end{pmatrix}, \qquad e^A = P e^D P^{-1}. \]
On calcule \( P^{-1} \) par Gauss-Jordan (\( \det P = 0 \cdot \ldots \), à vérifier), puis \( e^A = Pe^DP^{-1} \) donne une matrice \( 3\times 3 \) exprimée en fonction de \( e \) et \( e^2 \).
Exercice 12 : Diagonalisation simultanée et endomorphismes qui commutent
Difficile
Soient \( A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \) deux matrices diagonalisables telles que \( AB = BA \).
- Montrer que pour toute valeur propre \( \lambda \) de \( A \), le sous-espace propre \( E_\lambda(A) = \ker(A – \lambda I) \) est stable par \( B \).
- En déduire que \( A \) et \( B \) sont simultanément diagonalisables, c’est-à-dire qu’il existe une base de \( \mathbb{R}^n \) dans laquelle les matrices de \( A \) et de \( B \) sont toutes les deux diagonales.
- Illustrer ce résultat avec \( A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \) et \( B = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 7 \end{pmatrix} \). Vérifier que toute base de vecteurs propres communs convient.
Indication
Pour la question 1, prenez \( v \in E_\lambda(A) \) et montrez que \( Bv \in E_\lambda(A) \) en utilisant \( AB = BA \). Pour la question 2, raisonnez par récurrence sur le nombre de valeurs propres distinctes de \( A \), ou diagonalisez \( B \) en restriction à chaque \( E_\lambda(A) \) (qui est stable par \( B \)).
Voir le corrigé
Soit \( v \in E_\lambda(A) \), c’est-à-dire \( Av = \lambda v \). Calculons \( A(Bv) \) :
\[ A(Bv) = (AB)v = (BA)v = B(Av) = B(\lambda v) = \lambda(Bv). \]
Donc \( Bv \in E_\lambda(A) \) : le sous-espace propre \( E_\lambda(A) \) est stable par \( B \).
Solution de la question 2 :
Puisque \( A \) est diagonalisable, \( \mathbb{R}^n = \bigoplus_{\lambda \in \mathrm{Sp}(A)} E_\lambda(A) \). Chaque \( E_\lambda(A) \) est stable par \( B \), et la restriction \( B|_{E_\lambda(A)} \) est bien définie. Puisque \( B \) est diagonalisable sur \( \mathbb{R}^n \), sa restriction à tout sous-espace stable est aussi diagonalisable. On peut donc trouver, dans chaque \( E_\lambda(A) \), une base de vecteurs propres de \( B \). La réunion de ces bases forme une base de \( \mathbb{R}^n \) constituée de vecteurs propres communs à \( A \) et à \( B \) : elles sont simultanément diagonales dans cette base.
Solution de la question 3 :
\( A \) et \( B \) sont déjà diagonales dans la base canonique. Leurs vecteurs propres communs sont \( e_1 = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \) (pour les valeurs propres 2 et 5 respectivement) et \( e_2 = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \) (pour 3 et 7). Dans la base \( (e_1, e_2) \) :
\[ \mathrm{Mat}(A) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad \mathrm{Mat}(B) = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 7 \end{pmatrix}. \]
Les deux matrices sont simultanément diagonales, ce qui illustre le théorème.