Convergence Uniforme Exercices Corrigés

Solution de la question 1 : Pour \(x=0\), \(f_n(0)=0\) pour tout \(n\). Pour \(x \neq 0\) fixé, \(f_n(x) = \dfrac{x}{1+nx^2} \underset{n \to +\infty}{\sim} \dfrac{1}{nx} \to 0\). Donc \((f_n)\) converge simplement vers la fonction nulle sur \(\mathbb{R}\).

Solution de la question 2 : De \((1-\sqrt{n}|x|)^2 \geq 0\) on tire \(1+nx^2 \geq 2\sqrt{n}\,|x|\). Pour \(x \neq 0\) : \[ |f_n(x)| = \frac{|x|}{1+nx^2} \leq \frac{|x|}{2\sqrt{n}\,|x|} = \frac{1}{2\sqrt{n}}. \] Cette majoration reste valable trivialement en \(x=0\). On obtient donc \[ \sup_{x \in \mathbb{R}} |f_n(x)| \leq \frac{1}{2\sqrt{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0, \] ce qui prouve la convergence uniforme de \((f_n)\) vers \(0\) sur \(\mathbb{R}\).

Solution de la question 1 : Pour tout \(x \in [0,1[\) fixé, \(x^n \to 0\) car \(0 \leq x < 1\). La limite simple est donc la fonction nulle.

Solution de la question 2 : On a \(\sup_{x \in [0,1[} |f_n(x)-0| = \sup_{x \in [0,1[} x^n = 1\), cette borne supérieure n’étant pas atteinte mais approchée quand \(x \to 1^-\). Comme cette quantité vaut \(1\) pour tout \(n\), elle ne tend pas vers \(0\) : la convergence n’est pas uniforme sur \([0,1[\).

Solution de la question 3 : Sur \([0,a]\) avec \(0 \leq a < 1\), \(\sup_{x \in [0,a]} x^n = a^n\), car \(x \mapsto x^n\) est croissante. Or \(a^n \to 0\) puisque \(0 \leq a < 1\). Donc \((f_n)\) converge uniformément vers \(0\) sur \([0,a]\).

Solution de la question 1 : En \(x=0\) et \(x=1\), \(f_n(x)=0\). Pour \(x \in ]0,1[\) fixé, \((1-x)^n\) décroît géométriquement vers \(0\) plus vite que \(n\) ne croît, donc \(f_n(x) \to 0\). La limite simple est la fonction nulle sur \([0,1]\).

Solution de la question 2 : \[ f_n'(x) = n(1-x)^n – n^2x(1-x)^{n-1} = n(1-x)^{n-1}\big[1-(n+1)x\big]. \] \(f_n’\) s’annule en \(x=1\) (minimum) et en \(x^\star = \dfrac{1}{n+1}\), où \(f_n\) atteint son maximum. On calcule : \[ M_n = f_n(x^\star) = n \cdot \frac{1}{n+1}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^n = \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}. \]

Solution de la question 3 : \[ M_n = \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} e^{-1}. \] Comme \(\sup_{[0,1]} |f_n – 0| = M_n \to \dfrac{1}{e} \neq 0\), la convergence n’est pas uniforme sur \([0,1]\), bien qu’elle soit simple.

Solution de la question 1 : Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) et tout \(n \geq 1\), \[ |u_n(x)| = \frac{|\sin(nx)|}{n^2} \leq \frac{1}{n^2}. \] La série de Riemann \(\sum \frac{1}{n^2}\) converge (exposant \(2>1\)). Par le test de Weierstrass, \(\sum u_n\) converge normalement, donc uniformément, sur \(\mathbb{R}\).

Solution de la question 2 : Chaque \(u_n\) est continue sur \(\mathbb{R}\) comme composée de fonctions continues. La série \(\sum u_n\) convergeant uniformément sur \(\mathbb{R}\), le théorème de continuité d’une somme de série de fonctions s’applique : \(S\) est continue sur \(\mathbb{R}\).

Solution de la question 1 : Pour \(x \geq 0\) fixé, la suite \(a_n(x) = \frac{1}{n+1+x}\) est positive, décroissante en \(n\), et tend vers \(0\). Par le critère des séries alternées (Leibniz), \(\sum (-1)^n a_n(x)\) converge.

Solution de la question 2 : Le critère des séries alternées donne, pour tout \(x \geq 0\) : \[ |R_N(x)| \leq a_{N+1}(x) = \frac{1}{N+2+x} \leq \frac{1}{N+2}. \] Donc \(\sup_{x \geq 0} |R_N(x)| \leq \frac{1}{N+2} \to 0\) : la convergence est uniforme sur \([0,+\infty[\) (critère de Cauchy uniforme vérifié sur les sommes partielles).

Solution de la question 3 : \(\sup_{x \geq 0} |u_n(x)| = \sup_{x \geq 0} \frac{1}{n+1+x} = \frac{1}{n+1}\), atteint en \(x=0\). Or \(\sum \frac{1}{n+1}\) diverge (série harmonique). La série ne converge donc pas normalement sur \([0,+\infty[\), bien qu’elle y converge uniformément.

Solution de la question 1 : En \(x=0\), \(u_n(0) = \frac{(-1)^n}{n}\) : la série converge par le critère des séries alternées, mais pas absolument (\(\sum \frac{1}{n}\) diverge). Pour \(x>0\), \(|u_n(x)| = \frac{e^{-nx}}{n} \leq e^{-nx}\), et \(\sum e^{-nx}\) est une série géométrique convergente car \(00\). Dans tous les cas, \(\sum u_n(x)\) converge sur \([0,+\infty[\).

Solution de la question 2 : Sur \([a,+\infty[\), \(x \mapsto e^{-nx}\) étant décroissante, \(\sup_{x \geq a} |u_n(x)| = \frac{e^{-na}}{n} \leq e^{-na}\). Comme \(\sum e^{-na}\) converge (géométrique de raison \(e^{-a}<1\)), \(\sum u_n\) converge normalement sur \([a,+\infty[\).

Solution de la question 3 : Sur \([0,+\infty[\), \(\sup_{x \geq 0} |u_n(x)| = u_n(0) = \frac{1}{n}\), et \(\sum \frac{1}{n}\) diverge : pas de convergence normale sur \([0,+\infty[\). Cependant, pour \(x \geq 0\) fixé, la suite \(a_n(x) = \frac{e^{-nx}}{n}\) vérifie \(\frac{a_{n+1}(x)}{a_n(x)} = e^{-x}\frac{n}{n+1} \leq 1\), donc elle est décroissante et tend vers \(0\) : le critère des séries alternées s’applique pour tout \(x\), et donne \[ |R_n(x)| \leq a_{n+1}(x) = \frac{e^{-(n+1)x}}{n+1} \leq \frac{1}{n+1}, \] ce majorant étant indépendant de \(x\). Donc \(\sup_{x \geq 0}|R_n(x)| \to 0\) : la série converge uniformément sur \([0,+\infty[\) sans y converger normalement.

Solution de la question 1 : En multipliant par la quantité conjuguée : \[ \left|\sqrt{x^2+\tfrac{1}{n}} – |x|\right| = \frac{1/n}{\sqrt{x^2+\frac{1}{n}}+|x|} \leq \frac{1/n}{\sqrt{1/n}} = \frac{1}{\sqrt{n}}, \] car \(\sqrt{x^2+\frac{1}{n}} \geq \sqrt{1/n}\). Cette majoration est indépendante de \(x\) et tend vers \(0\), donc \((f_n)\) converge uniformément vers \(x \mapsto |x|\) sur \(\mathbb{R}\).

Solution de la question 2 : Chaque \(f_n\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) (car \(x^2+\frac{1}{n}>0\) partout), avec \(f_n'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1/n}}\). En revanche, la fonction limite \(x \mapsto |x|\) n’est pas dérivable en \(0\). Ceci montre que la convergence uniforme de \((f_n)\) seule ne suffit pas à garantir la dérivabilité de la limite : le théorème de dérivation sous convergence uniforme exige en réalité la convergence uniforme (ou simple en un point, plus convergence uniforme localement) de la suite des dérivées \((f_n’)\), hypothèse ici mise en défaut.

Solution de la question 1 : Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(|f_n(x)| = \dfrac{|\sin(nx)|}{\sqrt{n}} \leq \dfrac{1}{\sqrt{n}}\), borne atteinte et indépendante de \(x\). Donc \(\sup_{\mathbb{R}} |f_n| \leq \frac{1}{\sqrt n} \to 0\) : \((f_n)\) converge uniformément vers \(0\) sur \(\mathbb{R}\).

Solution de la question 2 : \(f_n'(x) = \sqrt{n}\cos(nx)\), donc \(f_n'(0) = \sqrt{n} \to +\infty\). La suite \((f_n’)\) ne converge même pas simplement (elle n’est pas bornée en \(x=0\)), alors que \((f_n)\) converge uniformément vers \(0\). Cet exemple confirme que la convergence uniforme de \((f_n)\) n’entraîne aucune information sur la convergence de \((f_n’)\) : c’est bien la convergence (uniforme) des dérivées qui doit être supposée séparément dans le théorème de dérivation terme à terme.

Solution de la question 1 : En \(x=0\), \(f_n(0)=0\). Pour \(x \in ]0,1]\) fixé, la décroissance exponentielle de \(e^{-nx}\) l’emporte sur la croissance polynomiale de \(n^2\), donc \(f_n(x) \to 0\). La limite simple est la fonction nulle sur \([0,1]\).

Solution de la question 2 : Avec le changement de variable \(u=nx\) : \[ I_n = \int_0^1 n^2 x e^{-nx}\,dx = \int_0^n u e^{-u}\,du = \Big[-(u+1)e^{-u}\Big]_0^n = 1-(n+1)e^{-n}. \] Comme \((n+1)e^{-n} \to 0\), on obtient \(I_n \to 1\).

Solution de la question 3 : Si \((f_n)\) convergeait uniformément vers \(0\) sur \([0,1]\), le théorème d’interversion limite-intégrale donnerait \(\lim_n I_n = \int_0^1 0\,dx = 0\). Or on a montré \(\lim_n I_n = 1 \neq 0\). Par contraposée, la convergence ne peut donc pas être uniforme sur \([0,1]\).

Solution de la question 1 : Posons, pour \(t>x\), \(g(t) = t\ln\!\left(1-\frac{x}{t}\right)\), de sorte que \(f_n(x) = e^{g(n)}\). En notant \(u=x/t \in [0,1[\) : \[ g'(t) = \ln(1-u) + \frac{u}{1-u} = h(u). \] On a \(h(0)=0\) et \(h'(u) = \dfrac{u}{(1-u)^2} \geq 0\) sur \([0,1[\), donc \(h(u) \geq 0\), c’est-à-dire \(g'(t) \geq 0\). Ainsi \(g\), donc \(f_n(x)=e^{g(n)}\), est croissante en \(n\). Par ailleurs, le développement limité \(g(n) = n\ln(1-x/n) = -x + O(1/n)\) donne \(f_n(x) \to e^{-x}\).

Solution de la question 2 : Pour chaque \(n>A\), \(f_n\) est continue sur \([0,A]\) (composée de fonctions continues, bien définie car \(1-x/n>0\) sur \([0,A]\)). D’après la question 1, la suite \((f_n)\) croît simplement vers la fonction \(x \mapsto e^{-x}\), elle-même continue sur le compact \([0,A]\). Toutes les hypothèses du théorème de Dini sont réunies (monotonie, continuité des termes et de la limite, compacité du domaine) : la convergence est donc uniforme sur \([0,A]\).

Solution de la question 1 : Pour \(x \in [0,1]\) fixé, la suite \(a_n(x) = \dfrac{x^n}{n}\) est positive, décroissante en \(n\) (car \(x \leq 1\)) et tend vers \(0\). Le critère des séries alternées assure la convergence de \(S(x)\) pour tout \(x \in [0,1]\), y compris en \(x=1\).

Solution de la question 2 : Le critère des séries alternées donne, uniformément en \(x \in [0,1]\) : \[ |R_n(x)| \leq a_{n+1}(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} \leq \frac{1}{n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0. \] La convergence de \(S\) est donc uniforme sur \([0,1]\) (c’est un cas particulier du théorème d’Abel radial, sur le bord du disque de convergence de rayon \(1\)).

Solution de la question 3 : La convergence étant uniforme sur le segment \([0,1]\) et chaque terme étant continu, le théorème d’intégration terme à terme s’applique : \[ \int_0^1 S(x)\,dx = \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1}\int_0^1 \frac{x^n}{n}\,dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)}. \] En décomposant \(\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\), on sépare la somme et, après réindexation du second terme et utilisation de \(\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n-1}}{n} = \ln 2\), on obtient \[ \int_0^1 S(x)\,dx = 2\ln 2 – 1. \] On peut vérifier ce résultat en reconnaissant que \(S(x) = \ln(1+x)\) sur \([0,1]\), d’où \(\int_0^1 \ln(1+x)\,dx = \big[(1+x)\ln(1+x)-(1+x)\big]_0^1 = 2\ln 2 -1\), ce qui confirme le calcul.

Solution de la question 1 : Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(\left|\dfrac{1}{n^2+x^2}\right| \leq \dfrac{1}{n^2}\), terme général d’une série de Riemann convergente. Par le test de Weierstrass, \(\sum u_n\) converge normalement sur \(\mathbb{R}\), donc uniformément ; comme chaque \(u_n\) est continue, \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).

Solution de la question 2 : On a \(u_n'(x) = \dfrac{-2x}{(n^2+x^2)^2}\). Sur un segment \([-A,A]\), comme \(n^2+x^2 \geq n^2\) : \[ |u_n'(x)| = \frac{2|x|}{(n^2+x^2)^2} \leq \frac{2A}{n^4}. \] La série \(\sum \frac{2A}{n^4}\) converge (Riemann, exposant \(4>1\)), donc \(\sum u_n’\) converge normalement, donc uniformément, sur tout segment \([-A,A]\). Les hypothèses du théorème de dérivation terme à terme sont réunies (convergence simple de \(\sum u_n\), termes \(C^1\), convergence uniforme de \(\sum u_n’\) sur tout segment) : \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\), avec \[ f'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{-2x}{(n^2+x^2)^2}. \]