Séries de fourier exercices corrigés

Les séries de Fourier constituent un outil fondamental de l'analyse mathématique : elles permettent de décomposer toute fonction périodique en une somme infinie de fonctions trigonométriques. Cette page rassemble des exercices corrigés sur les séries de Fourier, organisés par thème et classés du niveau facile au niveau difficile. Vous y travaillerez le calcul des coefficients de Fourier (réels et complexes), l'exploitation de la parité des fonctions, les théorèmes de Dirichlet et de convergence, la formule de Parseval, ainsi que les applications aux sommes de séries numériques. Chaque exercice est accompagné d'une indication et d'un corrigé détaillé pas à pas.

Calcul des coefficients de Fourier : fonctions élémentaires

Cette première section aborde le calcul direct des coefficients de Fourier trigonométriques a0a_0, ana_n et bnb_n pour des fonctions périodiques simples. C'est l'étape fondatrice : maîtriser ces intégrales est indispensable avant d'aborder la convergence ou les applications.

Exercice 1 : Développement en série de Fourier de la fonction valeur absolue

Facile

Soit ff la fonction 2π2\pi-périodique définie par f(x)=∣x∣f(x) = |x| pour x∈[−π,π]x \in [-\pi, \pi].

  1. Justifier que ff est paire et en déduire que tous les coefficients bnb_n sont nuls.
  2. Calculer le coefficient a0a_0 puis les coefficients ana_n pour n≥1n \geq 1.
  3. Écrire le développement en série de Fourier de ff.
Indication

Une fonction paire ne possède que des termes en cosinus dans sa série de Fourier. Pour ana_n, calculez 2π∫0πxcos⁡(nx) dx\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x \cos(nx)\,dx en utilisant une intégration par parties avec u=xu = x et v′=cos⁡(nx)v' = \cos(nx).

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Solution de la question 1 :

La fonction x↦∣x∣x \mapsto |x| vérifie f(−x)=∣−x∣=∣x∣=f(x)f(-x) = |-x| = |x| = f(x), donc ff est paire. Pour une fonction paire, on a bn=1π∫−ππf(x)sin⁡(nx) dx=0b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx = 0 car l'intégrande est le produit d'une fonction paire et d'une fonction impaire, soit une fonction impaire.

Solution de la question 2 : a0=1π∫−ππ∣x∣ dx=2π∫0πx dx=2π⋅π22=π a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|x|\,dx = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\,dx = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^2}{2} = \pi

Pour n≥1n \geq 1, en intégrant par parties (u=xu = x, v′=cos⁡(nx)v' = \cos(nx)) :

an=2π∫0πxcos⁡(nx) dx=2π[xsin⁡(nx)n]0π−2π∫0πsin⁡(nx)n dx a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\cos(nx)\,dx = \frac{2}{\pi}\left[\frac{x\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} - \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\frac{\sin(nx)}{n}\,dx =2π⋅0+2πn[cos⁡(nx)n]0π=2πn2(cos⁡(nπ)−1)=2((−1)n−1)πn2 = \frac{2}{\pi}\cdot 0 + \frac{2}{\pi n}\left[\frac{\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} = \frac{2}{\pi n^2}\left(\cos(n\pi) - 1\right) = \frac{2((-1)^n - 1)}{\pi n^2}

Ainsi an=0a_n = 0 si nn est pair, et an=−4πn2a_n = -\dfrac{4}{\pi n^2} si nn est impair.

Solution de la question 3 : f(x)∼π2−4π∑k=0+∞cos⁡ ⁣((2k+1)x)(2k+1)2 f(x) \sim \frac{\pi}{2} - \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\cos\!\big((2k+1)x\big)}{(2k+1)^2}

Exercice 2 : Série de Fourier de la fonction identité sur [-π, π]

Facile

Soit ff la fonction 2π2\pi-périodique définie par f(x)=xf(x) = x pour x∈[−π,π[x \in [-\pi, \pi[.

  1. Justifier que ff est impaire et en déduire que tous les coefficients ana_n sont nuls.
  2. Calculer les coefficients bnb_n pour n≥1n \geq 1.
  3. Écrire la série de Fourier de ff.
Indication

Pour une fonction impaire, seuls les bnb_n sont non nuls. Utilisez une intégration par parties pour calculer bn=2π∫0πxsin⁡(nx) dxb_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx.

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Solution de la question 1 :

On a f(−x)=−x=−f(x)f(-x) = -x = -f(x), donc ff est impaire. L'intégrande de ana_n est le produit de ff (impaire) et de cos⁡(nx)\cos(nx) (paire), soit une fonction impaire sur [−π,π][-\pi,\pi], d'où an=0a_n = 0 pour tout n≥0n \geq 0.

Solution de la question 2 :

Intégration par parties avec u=xu = x et v′=sin⁡(nx)v' = \sin(nx) :

bn=2π∫0πxsin⁡(nx) dx=2π[−xcos⁡(nx)n]0π+2π∫0πcos⁡(nx)n dx b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} x\sin(nx)\,dx = \frac{2}{\pi}\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} + \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\frac{\cos(nx)}{n}\,dx =2π⋅(−πcos⁡(nπ)n)+2πn[sin⁡(nx)n]0π=−2(−1)nn+0=2(−1)n+1n = \frac{2}{\pi}\cdot\left(-\frac{\pi\cos(n\pi)}{n}\right) + \frac{2}{\pi n}\left[\frac{\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} = -\frac{2(-1)^n}{n} + 0 = \frac{2(-1)^{n+1}}{n} Solution de la question 3 : f(x)∼2∑n=1+∞(−1)n+1nsin⁡(nx)=2(sin⁡x−sin⁡2x2+sin⁡3x3−⋯ ) f(x) \sim 2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx) = 2\left(\sin x - \frac{\sin 2x}{2} + \frac{\sin 3x}{3} - \cdots\right)

Exercice 3 : Coefficients de Fourier d’un signal créneau

Facile

Soit ff la fonction 2π2\pi-périodique définie par

f(x)={1si x∈[0,π[−1si x∈[−π,0[ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \in [0, \pi[ \\ -1 & \text{si } x \in [-\pi, 0[ \end{cases}
  1. Montrer que ff est impaire. En déduire a0=0a_0 = 0 et an=0a_n = 0 pour tout n≥1n \geq 1.
  2. Calculer les coefficients bnb_n pour n≥1n \geq 1.
  3. Écrire la série de Fourier de ff en ne retenant que les termes non nuls.
Indication

Calculez bn=2π∫0πsin⁡(nx) dxb_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\sin(nx)\,dx. Distinguez les cas nn pair et nn impair en évaluant cos⁡(nπ)\cos(n\pi).

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Solution de la question 1 :

On vérifie directement que f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) : si x∈]0,π[x \in ]0,\pi[, alors −x∈]−π,0[-x \in ]-\pi, 0[ et f(−x)=−1=−f(x)f(-x) = -1 = -f(x). Donc ff est impaire, ce qui annule tous les ana_n.

Solution de la question 2 : bn=2π∫0πsin⁡(nx) dx=2π[−cos⁡(nx)n]0π=2πn(1−cos⁡(nπ))=2(1−(−1)n)πn b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}\sin(nx)\,dx = \frac{2}{\pi}\left[-\frac{\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi} = \frac{2}{\pi n}(1 - \cos(n\pi)) = \frac{2(1-(-1)^n)}{\pi n}

Ainsi bn=0b_n = 0 si nn est pair, et bn=4πnb_n = \dfrac{4}{\pi n} si nn est impair.

Solution de la question 3 : f(x)∼4π∑k=0+∞sin⁡ ⁣((2k+1)x)2k+1=4π(sin⁡x+sin⁡3x3+sin⁡5x5+⋯ ) f(x) \sim \frac{4}{\pi}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\sin\!\big((2k+1)x\big)}{2k+1} = \frac{4}{\pi}\left(\sin x + \frac{\sin 3x}{3} + \frac{\sin 5x}{5} + \cdots\right)

Convergence des séries de Fourier : théorème de Dirichlet et applications

Une fois les coefficients calculés, il est indispensable de savoir vers quelle fonction converge la série. Le théorème de Dirichlet donne une condition suffisante de convergence simple, et permet d'identifier la somme de la série en tout point, y compris aux points de discontinuité. Cette section entraîne également à déduire des sommes de séries numériques célèbres à partir des séries de Fourier.

Exercice 4 : Convergence et somme de la série ∑1n2\sum \frac{1}{n^2}

Moyen

Soit ff la fonction 2π2\pi-périodique définie par f(x)=x2f(x) = x^2 pour x∈[−π,π]x \in [-\pi, \pi].

  1. Calculer les coefficients de Fourier a0a_0, ana_n (n≥1n \geq 1) et bnb_n de ff.
  2. En appliquant le théorème de Dirichlet, justifier que la série de Fourier converge vers ff en tout point de R\mathbb{R}.
  3. En prenant x=πx = \pi, déduire la valeur de ∑n=1+∞1n2\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}.
  4. En prenant x=0x = 0, retrouver la valeur de ∑n=1+∞(−1)n+1n2\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}.
Indication

La fonction x2x^2 est paire, donc bn=0b_n = 0. Calculez ana_n par deux intégrations par parties successives. Le théorème de Dirichlet s'applique car ff est C1\mathcal{C}^1 par morceaux et continue sur R\mathbb{R}. En x=πx = \pi, la série vaut f(π)=π2f(\pi) = \pi^2.

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Solution de la question 1 :

ff est paire donc bn=0b_n = 0.

a0=1π∫−ππx2 dx=2π⋅π33=2π23 a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^3}{3} = \frac{2\pi^2}{3}

Pour n≥1n \geq 1, deux intégrations par parties donnent :

an=2π∫0πx2cos⁡(nx) dx=2π[x2sin⁡(nx)n]0π−4πn∫0πxsin⁡(nx) dx a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x^2\cos(nx)\,dx = \frac{2}{\pi}\left[\frac{x^2\sin(nx)}{n}\right]_0^{\pi} - \frac{4}{\pi n}\int_0^{\pi}x\sin(nx)\,dx =0−4πn([−xcos⁡(nx)n]0π+1n∫0πcos⁡(nx) dx)=4(−1)nn2 = 0 - \frac{4}{\pi n}\left(\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_0^{\pi}+\frac{1}{n}\int_0^{\pi}\cos(nx)\,dx\right) = \frac{4(-1)^n}{n^2} Solution de la question 2 :

La fonction ff est continue sur R\mathbb{R} et C1\mathcal{C}^1 par morceaux. Le théorème de Dirichlet garantit que la série de Fourier converge vers f(x)f(x) en tout point xx. On a donc pour tout x∈Rx \in \mathbb{R} :

x2=π23+4∑n=1+∞(−1)nn2cos⁡(nx) x^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx) Solution de la question 3 :

En x=πx = \pi : cos⁡(nπ)=(−1)n\cos(n\pi) = (-1)^n, donc

π2=π23+4∑n=1+∞(−1)n⋅(−1)nn2=π23+4∑n=1+∞1n2 \pi^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n \cdot (-1)^n}{n^2} = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2} ∑n=1+∞1n2=π26 \boxed{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}} Solution de la question 4 :

En x=0x = 0 : cos⁡(0)=1\cos(0) = 1 et f(0)=0f(0) = 0, donc

0=π23+4∑n=1+∞(−1)nn2  ⟹  ∑n=1+∞(−1)nn2=−π212 0 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^2} \implies \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^2} = -\frac{\pi^2}{12} ∑n=1+∞(−1)n+1n2=π212 \boxed{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}}

Exercice 5 : Convergence aux points de discontinuité (signal créneau)

Moyen

Reprenons la fonction créneau ff de l'exercice 3 :

f(x)={1si x∈[0,π[−1si x∈[−π,0[ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x \in [0, \pi[ \\ -1 & \text{si } x \in [-\pi, 0[ \end{cases}
  1. La fonction ff est-elle continue sur R\mathbb{R} ? Identifier ses points de discontinuité sur [−π,π][-\pi, \pi].
  2. Énoncer le théorème de Dirichlet et préciser vers quelle valeur la série de Fourier de ff converge en x=0x = 0 et en x=πx = \pi.
  3. La convergence de la série peut-elle être uniforme ? Justifier.
Indication

En un point de discontinuité x0x_0, le théorème de Dirichlet affirme que la série converge vers 12(f(x0−)+f(x0+))\frac{1}{2}\left(f(x_0^-) + f(x_0^+)\right). Pour la convergence uniforme, rappeler que la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue.

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Solution de la question 1 :

La fonction ff est discontinue en x=0x = 0 et en x=±πx = \pm\pi (points de saut). En ces points, la limite à gauche et la limite à droite sont distinctes.

Solution de la question 2 :

Le théorème de Dirichlet s'applique car ff est C1\mathcal{C}^1 par morceaux sur [−π,π][-\pi, \pi]. En tout point de continuité, la série converge vers f(x)f(x). Aux points de discontinuité :

En x=0:Sf(0)=f(0−)+f(0+)2=−1+12=0 \text{En } x = 0 : \quad S_f(0) = \frac{f(0^-) + f(0^+)}{2} = \frac{-1 + 1}{2} = 0 En x=π:Sf(π)=f(π−)+f(π+)2=1+(−1)2=0 \text{En } x = \pi : \quad S_f(\pi) = \frac{f(\pi^-) + f(\pi^+)}{2} = \frac{1 + (-1)}{2} = 0 Solution de la question 3 :

Non, la convergence ne peut pas être uniforme. Chaque somme partielle SNfS_N f est une fonction continue (somme finie de sinusoïdes), et si la convergence était uniforme, la limite serait également continue. Or ff est discontinue en x=0x = 0. C'est d'ailleurs la manifestation du phénomène de Gibbs au voisinage des discontinuités.

Exercice 6 : Série de Fourier de f(x)=exf(x) = e^x et convergence uniforme

Moyen

Soit ff la fonction 2π2\pi-périodique telle que f(x)=exf(x) = e^x pour x∈]−π,π]x \in ]-\pi, \pi].

  1. Calculer les coefficients de Fourier exponentiels cn=12π∫−ππf(x)e−inx dxc_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}\,dx pour n∈Zn \in \mathbb{Z}.
  2. La fonction ff est-elle continue sur R\mathbb{R} ? La série de Fourier converge-t-elle uniformément vers ff ?
  3. Écrire le développement en série de Fourier de ff et en déduire une expression de sinh⁡ππ\dfrac{\sinh\pi}{\pi}.
Indication

Pour calculer cnc_n, intégrez ∫−ππexe−inx dx=∫−ππe(1−in)x dx\int_{-\pi}^{\pi}e^x e^{-inx}\,dx = \int_{-\pi}^{\pi}e^{(1-in)x}\,dx. Remarquez que ff présente un saut en x=±πx = \pm\pi puisque eπ≠e−πe^\pi \neq e^{-\pi}, ce qui empêche la convergence uniforme.

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Solution de la question 1 : cn=12π∫−ππe(1−in)x dx=12π[e(1−in)x1−in]−ππ=e(1−in)π−e−(1−in)π2π(1−in) c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{(1-in)x}\,dx = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{e^{(1-in)x}}{1-in}\right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{e^{(1-in)\pi} - e^{-(1-in)\pi}}{2\pi(1-in)}

Comme e−inπ=(−1)ne^{-in\pi} = (-1)^n, on obtient :

cn=(−1)n(eπ−e−π)2π(1−in)=(−1)nsinh⁡ππ(1−in) c_n = \frac{(-1)^n(e^{\pi} - e^{-\pi})}{2\pi(1-in)} = \frac{(-1)^n \sinh\pi}{\pi(1-in)} Solution de la question 2 :

La fonction ff possède un saut en x=±πx = \pm\pi car lim⁡x→π−f(x)=eπ\lim_{x \to \pi^-} f(x) = e^\pi mais la périodicité force f(−π)=e−πf(-\pi) = e^{-\pi} (la limite à droite). Donc ff n'est pas continue sur R\mathbb{R}. La convergence de la série de Fourier ne peut donc pas être uniforme.

Solution de la question 3 :

Par le théorème de Dirichlet, en tout point de continuité :

ex=∑n=−∞+∞cneinx=sinh⁡ππ∑n=−∞+∞(−1)n1−ineinx e^x = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{inx} = \frac{\sinh\pi}{\pi}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{1-in}e^{inx}

En prenant x=0x = 0 et en tenant compte de la symétrie :

1=sinh⁡ππ(1+2∑n=1+∞(−1)n1+n2)  ⟹  sinh⁡ππ=11+2∑n=1+∞(−1)n1+n2 1 = \frac{\sinh\pi}{\pi}\left(1 + 2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{1+n^2}\right) \implies \frac{\sinh\pi}{\pi} = \frac{1}{1 + 2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{1+n^2}}

Parité, symétries et périodes générales

L'exploitation des propriétés de parité d'une fonction simplifie considérablement le calcul des coefficients de Fourier. De même, savoir traiter des fonctions de période quelconque T=2LT = 2L est une compétence essentielle pour les applications en physique et en traitement du signal.

Exercice 7 : Série de Fourier d’une fonction de période 2L

Facile

Soit ff la fonction 22-périodique (période T=2T = 2, donc L=1L = 1) définie par f(x)=∣x∣f(x) = |x| pour x∈[−1,1]x \in [-1, 1].

  1. Rappeler les formules des coefficients de Fourier a0a_0, ana_n et bnb_n pour une fonction de période 2L2L.
  2. Calculer a0a_0, puis ana_n pour n≥1n \geq 1. Montrer que bn=0b_n = 0 sans calcul.
  3. Écrire la série de Fourier de ff.
Indication

Pour une période T=2LT = 2L, la pulsation fondamentale est ω=π/L\omega = \pi/L. Ici L=1L = 1, donc ω=π\omega = \pi. La parité de ∣x∣|x| annule directement les bnb_n.

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Solution de la question 1 : a0=1L∫−LLf(x) dx,an=1L∫−LLf(x)cos⁡ ⁣(nπxL)dx,bn=1L∫−LLf(x)sin⁡ ⁣(nπxL)dx a_0 = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\,dx, \quad a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx, \quad b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx Solution de la question 2 :

Avec L=1L = 1 :

a0=∫−11∣x∣ dx=2∫01x dx=1 a_0 = \int_{-1}^{1}|x|\,dx = 2\int_0^1 x\,dx = 1

Intégration par parties pour ana_n :

an=2∫01xcos⁡(nπx) dx=2[xsin⁡(nπx)nπ]01−2nπ∫01sin⁡(nπx) dx=2n2π2((−1)n−1) a_n = 2\int_0^1 x\cos(n\pi x)\,dx = 2\left[\frac{x\sin(n\pi x)}{n\pi}\right]_0^1 - \frac{2}{n\pi}\int_0^1\sin(n\pi x)\,dx = \frac{2}{n^2\pi^2}((-1)^n - 1)

Donc an=0a_n = 0 si nn est pair, et an=−4n2π2a_n = -\dfrac{4}{n^2\pi^2} si nn est impair. Comme ff est paire, bn=0b_n = 0 sans calcul.

Solution de la question 3 : f(x)∼12−4π2∑k=0+∞cos⁡ ⁣((2k+1)πx)(2k+1)2 f(x) \sim \frac{1}{2} - \frac{4}{\pi^2}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\cos\!\big((2k+1)\pi x\big)}{(2k+1)^2}

Exercice 8 : Prolongement pair et impair (demi-domaine)

Moyen

Soit g(x)=x(π−x)g(x) = x(\pi - x) définie sur [0,π][0, \pi].

  1. Prolonger gg en une fonction impaire et 2π2\pi-périodique. Calculer sa série de Fourier (sinus uniquement).
  2. Prolonger gg en une fonction paire et 2π2\pi-périodique. Calculer sa série de Fourier (cosinus uniquement).
  3. En déduire la valeur de ∑n=1+∞1(2k−1)3\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2k-1)^3}.
Indication

Pour le prolongement impair, calculez bn=2π∫0πx(π−x)sin⁡(nx) dxb_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x(\pi-x)\sin(nx)\,dx par deux intégrations par parties. Pour l'application numérique, évaluez la série en x=π/2x = \pi/2.

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Solution de la question 1 :

Le prolongement impair g~\tilde{g} satisfait g~(−x)=−g~(x)\tilde{g}(-x) = -\tilde{g}(x). Les coefficients en cosinus sont nuls. Par deux intégrations par parties :

bn=2π∫0π(πx−x2)sin⁡(nx) dx b_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}(\pi x - x^2)\sin(nx)\,dx =2π[(πx−x2)(−cos⁡nx)n]0π+2πn∫0π(π−2x)cos⁡(nx) dx = \frac{2}{\pi}\left[\frac{(\pi x - x^2)(-\cos nx)}{n}\right]_0^{\pi} + \frac{2}{\pi n}\int_0^{\pi}(\pi - 2x)\cos(nx)\,dx

Après calcul complet, bn=4πn3(1−(−1)n)b_n = \dfrac{4}{\pi n^3}(1 - (-1)^n), soit bn=0b_n = 0 si nn pair et bn=8πn3b_n = \dfrac{8}{\pi n^3} si nn impair.

g~(x)∼8π∑k=0+∞sin⁡ ⁣((2k+1)x)(2k+1)3 \tilde{g}(x) \sim \frac{8}{\pi}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\sin\!\big((2k+1)x\big)}{(2k+1)^3} Solution de la question 2 :

Le prolongement pair a tous les bn=0b_n = 0. On calcule :

a0=2π∫0π(πx−x2) dx=2π[πx22−x33]0π=2π⋅π36=π23 a_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}(\pi x - x^2)\,dx = \frac{2}{\pi}\left[\frac{\pi x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^{\pi} = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{\pi^3}{6} = \frac{\pi^2}{3} an=2π∫0π(πx−x2)cos⁡(nx) dx=−2n2(1+(−1)n⋅?) [par inteˊgrations par parties] a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}(\pi x - x^2)\cos(nx)\,dx = -\frac{2}{n^2}(1 + (-1)^n \cdot ?) \text{ [par intégrations par parties]}

Après calcul, an=−2(1+(−1)n)n2a_n = -\dfrac{2(1+(-1)^n)}{n^2}, donc an=0a_n = 0 si nn impair et an=−4n2a_n = -\dfrac{4}{n^2} si nn pair.

Solution de la question 3 :

En évaluant la série en sinus en x=π/2x = \pi/2 et en appliquant Dirichlet (continuité de g~\tilde{g}) :

π2(π−π2)=π24=8π∑k=0+∞sin⁡ ⁣((2k+1)π2)(2k+1)3=8π∑k=0+∞(−1)k(2k+1)3 \frac{\pi}{2}\left(\pi - \frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi^2}{4} = \frac{8}{\pi}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{\sin\!\left(\frac{(2k+1)\pi}{2}\right)}{(2k+1)^3} = \frac{8}{\pi}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^3} ∑k=0+∞(−1)k(2k+1)3=π332 \boxed{\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^3} = \frac{\pi^3}{32}}

Formule de Parseval et calcul de sommes de séries

La formule de Parseval (ou identité de Parseval) établit un lien entre la norme L2L^2 d'une fonction et la somme des carrés de ses coefficients de Fourier. C'est un outil puissant pour calculer des sommes de séries du type ∑1n4\sum \frac{1}{n^4} ou ∑1(2n−1)4\sum \frac{1}{(2n-1)^4}, inaccessibles par les seules substitutions directes dans la série.

Exercice 9 : Parseval appliqué à f(x)=xf(x) = x (calcul de ∑1n2\sum \frac{1}{n^2})

Moyen

On sait que la série de Fourier de la fonction 2π2\pi-périodique f(x)=xf(x) = x sur ]−π,π[]-\pi, \pi[ est :

f(x)∼2∑n=1+∞(−1)n+1nsin⁡(nx) f(x) \sim 2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)
  1. Énoncer la formule de Parseval pour une fonction de carré intégrable de période 2π2\pi.
  2. Calculer 12π∫−ππx2 dx\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx.
  3. En déduire la valeur de ∑n=1+∞1n2\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}.
Indication

Avec la convention f(x)=a02+∑n≥1(ancos⁡(nx)+bnsin⁡(nx))f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n\geq 1}(a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)), la formule de Parseval s'écrit 12π∫−ππ∣f(x)∣2 dx=a024+12∑n=1+∞(an2+bn2)\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\,dx = \frac{a_0^2}{4} + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n^2 + b_n^2). Ici a0=0a_0 = 0, an=0a_n = 0 pour tout n≥1n\geq 1 et bn=2(−1)n+1nb_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}.

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Solution de la question 1 :

Si ff est de carré intégrable et de période 2π2\pi, avec coefficients a0,an,bna_0, a_n, b_n :

12π∫−ππ∣f(x)∣2 dx=a024+∑n=1+∞an2+bn22 \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2\,dx = \frac{a_0^2}{4} + \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n^2 + b_n^2}{2} Solution de la question 2 : 12π∫−ππx2 dx=12π⋅2π33=π23 \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^2\,dx = \frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2\pi^3}{3} = \frac{\pi^2}{3} Solution de la question 3 :

Puisque a0=0a_0 = 0, an=0a_n = 0 et bn=2(−1)n+1nb_n = \dfrac{2(-1)^{n+1}}{n}, la formule de Parseval donne :

π23=∑n=1+∞12⋅4n2=2∑n=1+∞1n2 \frac{\pi^2}{3} = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{n^2} = 2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2} ∑n=1+∞1n2=π26 \boxed{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}}

Exercice 10 : Parseval et calcul de ∑1n4\sum \frac{1}{n^4}

Difficile

On rappelle que la série de Fourier de f(x)=x2f(x) = x^2 sur [−π,π][-\pi, \pi] est :

x2=π23+4∑n=1+∞(−1)nn2cos⁡(nx) x^2 = \frac{\pi^2}{3} + 4\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx)
  1. Rappeler la formule de Parseval pour la fonction f(x)=x2f(x) = x^2.
  2. Calculer 12π∫−ππx4 dx\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^4\,dx.
  3. En déduire la valeur de ∑n=1+∞1n4\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}.
Indication

Appliquez Parseval à f(x)=x2f(x) = x^2 : a0=2π23a_0 = \frac{2\pi^2}{3} et an=4(−1)nn2a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}, bn=0b_n = 0. L'intégrale ∫−ππx4 dx\int_{-\pi}^{\pi}x^4\,dx se calcule directement.

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Solution de la question 1 :

Avec la convention rappelée dans l'énoncé, Parseval donne :

12π∫−ππx4 dx=a024+12∑n=1+∞(an2+bn2). \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^4\,dx = \frac{a_0^2}{4}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n^2+b_n^2).

Comme a0=2π23a_0 = \frac{2\pi^2}{3}, an=4(−1)nn2a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2} et bn=0b_n = 0, on obtient :

12π∫−ππx4 dx=14(2π23)2+12∑n=1+∞16n4. \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^4\,dx = \frac{1}{4}\left(\frac{2\pi^2}{3}\right)^2 + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{16}{n^4}. Solution de la question 2 : 12π∫−ππx4 dx=1π∫0πx4 dx=1π⋅π55=π45 \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x^4\,dx = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}x^4\,dx = \frac{1}{\pi}\cdot\frac{\pi^5}{5} = \frac{\pi^4}{5} Solution de la question 3 :

Le terme constant vaut a024=π49\frac{a_0^2}{4}=\frac{\pi^4}{9}, tandis que la somme des carrés des autres coefficients vaut 8∑n=1+∞1n48\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}. Ainsi :

π45=π49+8∑n=1+∞1n4. \frac{\pi^4}{5}=\frac{\pi^4}{9} +8\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}. 8∑n=1+∞1n4=π4(15−19)=4π445. 8\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4} =\pi^4\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{9}\right) =\frac{4\pi^4}{45}.

En divisant par 88, on trouve :

∑n=1+∞1n4=π490. \boxed{\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}}.

Forme complexe des séries de Fourier

La représentation complexe d'une série de Fourier, via les coefficients cn=12π∫−ππf(x)e−inx dxc_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}\,dx, est particulièrement adaptée au traitement du signal et à l'analyse spectrale. Cette section introduit le calcul en notation exponentielle et les liens avec les coefficients réels.

Exercice 11 : Coefficients complexes et passage à la forme réelle

Moyen

Soit ff la fonction 2π2\pi-périodique définie par f(x)=xf(x) = x sur ]−π,π]]-\pi, \pi].

  1. Calculer les coefficients de Fourier complexes cnc_n pour tout n∈Zn \in \mathbb{Z}.
  2. Exprimer cnc_n en fonction de ana_n et bnb_n (pour n≥1n \geq 1) et vérifier la cohérence avec la forme réelle obtenue à l'exercice 2.
  3. Vérifier que c−n=cn‾c_{-n} = \overline{c_n} (conjugué de cnc_n). Que traduit cette propriété sur ff ?
Indication

Pour n≠0n \neq 0, intégrez ∫−ππxe−inx dx\int_{-\pi}^{\pi}x e^{-inx}\,dx par parties. Pour n=0n = 0, c'est simplement la valeur moyenne. La relation c−n=cn‾c_{-n} = \overline{c_n} est caractéristique des fonctions à valeurs réelles.

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Solution de la question 1 :

Pour n=0n = 0 : c0=12π∫−ππx dx=0c_0 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\,dx = 0 (intégrale d'une fonction impaire).

Pour n≠0n \neq 0, intégration par parties (u=xu = x, v′=e−inxv' = e^{-inx}) :

cn=12π∫−ππxe−inx dx=12π[xe−inx−in]−ππ+12πin∫−ππe−inx dx. c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x e^{-inx}\,dx = \frac{1}{2\pi}\left[\frac{x e^{-inx}}{-in}\right]_{-\pi}^{\pi} + \frac{1}{2\pi in}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-inx}\,dx.

Le dernier terme est nul pour n≠0n \neq 0. Comme einπ=e−inπ=(−1)ne^{in\pi}=e^{-in\pi}=(-1)^n, le terme de bord donne :

cn=12π⋅2π(−1)n−in=i(−1)nn. c_n = \frac{1}{2\pi}\cdot\frac{2\pi(-1)^n}{-in} = \frac{i(-1)^n}{n}. Solution de la question 2 :

Les relations entre coefficients réels et complexes sont an=cn+c−na_n = c_n + c_{-n} et bn=i(cn−c−n)b_n = i(c_n - c_{-n}). Ici an=0a_n = 0 et bn=2(−1)n+1nb_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}, ce qui correspond bien à cn=i(−1)nnc_n = \frac{i(-1)^n}{n}.

Solution de la question 3 : c−n=i(−1)−n−n=−i(−1)nn=(i(−1)nn)‾=cn‾ c_{-n} = \frac{i(-1)^{-n}}{-n} = \frac{-i(-1)^n}{n} = \overline{\left(\frac{i(-1)^n}{n}\right)} = \overline{c_n}

La propriété c−n=cn‾c_{-n} = \overline{c_n} est équivalente au fait que ff est à valeurs réelles. C'est une condition de symétrie hermitienne du spectre.

Applications aux équations différentielles périodiques

Les séries de Fourier permettent de chercher des solutions périodiques d'équations différentielles linéaires. Cette technique, fondamentale en physique (circuits électriques, vibrations), consiste à décomposer le second membre en série de Fourier et à résoudre fréquence par fréquence.

Exercice 12 : Solution périodique d’une équation différentielle du second ordre

Difficile

On considère l'équation différentielle x′′(t)+ω02 x(t)=f(t)x''(t) + \omega_0^2\, x(t) = f(t), où ω0>0\omega_0 > 0 n'est pas un entier, et ff est la fonction 2π2\pi-périodique définie par f(t)=tf(t) = t sur ]−π,π]]-\pi, \pi].

  1. Rappeler la série de Fourier de ff.
  2. On cherche une solution 2π2\pi-périodique x(t)=∑n∈Zdneintx(t) = \displaystyle\sum_{n \in \mathbb{Z}} d_n e^{int}. En substituant dans l'équation, exprimer dnd_n en fonction des coefficients cnc_n de ff.
  3. En déduire l'expression explicite de x(t)x(t) sous forme réelle.
  4. Que se passe-t-il si ω0\omega_0 est un entier non nul ?
Indication

En dérivant terme à terme la série de Fourier de xx, on obtient x′′(t)=∑n(−n2)dneintx''(t) = \displaystyle\sum_n (-n^2) d_n e^{int}. L'équation donne (ω02−n2)dn=cn(\omega_0^2 - n^2)d_n = c_n. Si ω0∉Z\omega_0 \notin \mathbb{Z}, le dénominateur ne s'annule jamais et la solution est bien définie.

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Solution de la question 1 : f(t)=2∑n=1+∞(−1)n+1nsin⁡(nt),soit cn=i(−1)nn pour n≠0, c0=0 f(t) = 2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nt), \quad \text{soit } c_n = \frac{i(-1)^n}{n} \text{ pour } n \neq 0,\ c_0 = 0 Solution de la question 2 :

En substituant x(t)=∑dneintx(t) = \sum d_n e^{int} et f(t)=∑cneintf(t) = \sum c_n e^{int} dans l'équation :

∑n∈Z(−n2+ω02) dn eint=∑n∈Zcn eint \sum_{n \in \mathbb{Z}} (-n^2 + \omega_0^2)\,d_n\, e^{int} = \sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n\, e^{int}

Par unicité des coefficients de Fourier :

dn=cnω02−n2(bien deˊfini car ω0∉Z) d_n = \frac{c_n}{\omega_0^2 - n^2} \quad \text{(bien défini car } \omega_0 \notin \mathbb{Z}\text{)} Solution de la question 3 :

Pour n≠0n \neq 0 :

dn=i(−1)nn(ω02−n2),d−n=dn‾ d_n = \frac{i(-1)^n}{n(\omega_0^2 - n^2)}, \quad d_{-n} = \overline{d_n}

En repassant à la forme réelle (dneint+d−ne−int=2 Re(dneint)d_n e^{int} + d_{-n}e^{-int} = 2\,\mathrm{Re}(d_n e^{int})) :

x(t)=2∑n=1+∞(−1)n+1n(ω02−n2)sin⁡(nt) x(t) = 2\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n(\omega_0^2 - n^2)}\sin(nt) Solution de la question 4 :

Si ω0=m∈Z∗\omega_0 = m \in \mathbb{Z}^*, le coefficient dmd_m n'est pas défini (division par zéro). Physiquement, cela correspond à un phénomène de résonance : le forçage à la fréquence propre conduit à une croissance non bornée et il n'existe pas de solution périodique.

Exercice 13 : Produit de convolution et noyau de Dirichlet

Difficile

Soit f∈L2([−π,π])f \in L^2([-\pi,\pi]) une fonction 2π2\pi-périodique et SNfS_N f sa somme partielle de Fourier d'ordre NN :

SNf(x)=∑n=−NNcneinx S_N f(x) = \sum_{n=-N}^{N} c_n e^{inx}
  1. Montrer que SNf(x)=12π∫−ππf(t) DN(x−t) dtS_N f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)\, D_N(x-t)\,dt, où DND_N est le noyau de Dirichlet défini par DN(u)=∑n=−NNeinuD_N(u) = \displaystyle\sum_{n=-N}^{N}e^{inu}.
  2. Montrer que DN(u)=sin⁡ ⁣((2N+1)u2)sin⁡ ⁣(u2)D_N(u) = \dfrac{\sin\!\left(\frac{(2N+1)u}{2}\right)}{\sin\!\left(\frac{u}{2}\right)} pour u≢0(mod2π)u \not\equiv 0 \pmod{2\pi}.
  3. En utilisant 12π∫−ππDN(u) du=1\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}D_N(u)\,du = 1, interpréter l’opérateur f↦SNff \mapsto S_Nf. Préciser sa convergence dans L2L^2 et expliquer pourquoi DND_N n’est pas une approximation de l’identité positive au sens usuel.
Indication

Pour la question 1, substituez l’expression intégrale de cnc_n et annoncez votre convention de convolution. Pour la question 2, utilisez la somme géométrique. Pour la question 3, distinguez la projection orthogonale sur les modes ∣n∣≤N|n|\leq N d’une approximation de l’identité positive.

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Solution de la question 1 :

On substitue cn=12π∫−ππf(t)e−int dtc_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-int}\,dt dans la somme partielle :

SNf(x)=∑n=−NN12π∫−ππf(t)e−int dt einx=12π∫−ππf(t)∑n=−NNein(x−t) dt S_N f(x) = \sum_{n=-N}^{N}\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-int}\,dt\, e^{inx} = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sum_{n=-N}^{N}e^{in(x-t)}\,dt

Avec la convention de convolution périodique

(f∗perg)(x)=12π∫−ππf(t)g(x−t) dt, (f \ast_{\mathrm{per}} g)(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)g(x-t)\,dt,

l’identité obtenue s’écrit SNf=f∗perDNS_Nf=f\ast_{\mathrm{per}}D_N. Avec la convolution non normalisée (f∗g)(x)=∫−ππf(t)g(x−t) dt(f*g)(x)=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)g(x-t)\,dt, on aurait SNf=(f∗DN)/(2π)S_Nf=(f*D_N)/(2\pi).

Solution de la question 2 :

DN(u)D_N(u) est une somme géométrique de raison eiue^{iu} de N+1N+1 termes positifs et NN termes négatifs. En factorisant par eiu/2e^{iu/2} :

DN(u)=e−iNu1−ei(2N+1)u1−eiu=e−iNu−ei(N+1)u1−eiu D_N(u) = e^{-iNu}\frac{1 - e^{i(2N+1)u}}{1 - e^{iu}} = \frac{e^{-iNu} - e^{i(N+1)u}}{1 - e^{iu}}

En multipliant numérateur et dénominateur par e−iu/2e^{-iu/2} :

DN(u)=e−i(N+1/2)u−ei(N+1/2)ue−iu/2−eiu/2⋅−1−1=sin⁡ ⁣((2N+1)u2)sin⁡ ⁣(u2) D_N(u) = \frac{e^{-i(N+1/2)u} - e^{i(N+1/2)u}}{e^{-iu/2} - e^{iu/2}} \cdot \frac{-1}{-1} = \frac{\sin\!\left(\frac{(2N+1)u}{2}\right)}{\sin\!\left(\frac{u}{2}\right)} Solution de la question 3 :

L’égalité 12π∫−ππDN(u) du=1\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}D_N(u)\,du=1 vient de l’orthogonalité des exponentielles : seul le mode n=0n=0 contribue. L’opérateur SNS_N est la projection orthogonale de L2([−π,π])L^2([ -\pi,\pi]) sur les polynômes trigonométriques de degré au plus NN; ainsi ∥SNf−f∥2→0\lVert S_Nf-f\rVert_2\to0 pour tout f∈L2f\in L^2. Toutefois, DND_N change de signe et sa norme L1L^1 n’est pas uniformément bornée. Il ne s’agit donc pas d’une approximation de l’identité positive au sens usuel, contrairement au noyau de Fejér.

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