Ces exercices corrigés de Valeur absolue et distance en Seconde suivent une progression réelle : automatismes, choix de méthode, diagnostic d’erreur, justification et problème de synthèse. Chaque indication aide à démarrer sans révéler immédiatement la solution.
Avant la série, le cours de Valeur absolue et distance permet de revoir les propriétés utiles. Les exercices mobilisent aussi la définition complète de la valeur absolue lorsque cette notion intervient naturellement dans le raisonnement.
Automatismes et repères sur Valeur absolue et distance
Cette première partie vérifie les écritures, les conditions d’emploi et les calculs qui doivent devenir fiables avant une synthèse.
Exercice 1 : Distances à l’origine et entre deux points
Facile
Calculer \(|-7|\), \(|3-8|\), \(|-2-5|\) et \(|4{,}5-1{,}2|\).
- Donner les quatre distances.
- Expliquer pourquoi aucun résultat ne peut être négatif.
Indication
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Les distances sont \(7\), \(5\), \(7\) et \(3{,}3\). Une distance est une longueur, donc elle est toujours positive ou nulle, quel que soit l’ordre des deux points.
Contrôle : les deux bornes doivent être à la même distance du centre ; leur moyenne doit redonner a et leur écart doit valoir 2r.
Exercice 2 : Lire une représentation de Valeur absolue et distance
Moyen
Un encadrement donne deux bornes garanties, alors qu’un arrondi fournit une seule valeur accompagnée implicitement d’une précision. Une calculatrice peut afficher 1,414213 pour racine carrée de 2 sans transformer ce nombre irrationnel en décimal exact.
- Nommer les objets ou grandeurs représentés.
- Traduire une information graphique en écriture mathématique.
- Retrouver une information par le calcul.
- Signaler une lecture impossible sans donnée supplémentaire.
- Comparer les deux modes de contrôle.
Indication
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Un encadrement donne deux bornes garanties, alors qu’un arrondi fournit une seule valeur accompagnée implicitement d’une précision. Une calculatrice peut afficher 1,414213 pour racine carrée de 2 sans transformer ce nombre irrationnel en décimal exact.
La comparaison doit conserver les unités, le domaine et le sens des grandeurs. Toute conclusion graphique est contrôlée par les deux bornes doivent être à la même distance du centre ; leur moyenne doit redonner a et leur écart doit valoir 2r.
Exercice 3 : Modéliser une application de Valeur absolue et distance
Difficile
En sciences, une mesure doit être présentée avec un nombre de chiffres significatifs cohérent. En algorithmique, un balayage affine progressivement un encadrement. Dans une inéquation, la forme avec valeur absolue résume une condition de proximité autour d’une cible.
- Choisir une variable et préciser son domaine.
- Écrire la relation mathématique adaptée.
- Interpréter le résultat dans le contexte et vérifier sa vraisemblance.
Indication
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En sciences, une mesure doit être présentée avec un nombre de chiffres significatifs cohérent. En algorithmique, un balayage affine progressivement un encadrement. Dans une inéquation, la forme avec valeur absolue résume une condition de proximité autour d’une cible.
La rédaction doit séparer le modèle, le calcul et l’interprétation. Pour finir, il faut les deux bornes doivent être à la même distance du centre ; leur moyenne doit redonner a et leur écart doit valoir 2r.
Méthodes de résolution en Seconde
Les exercices suivants demandent de choisir une démarche, de détailler les transformations et de contrôler le résultat par une seconde lecture.
Exercice 4 : Intervalle centré à reconstruire
Moyen
On cherche les réels vérifiant \(|x-3|\leq 2{,}5\).
- Identifier le centre et le rayon.
- Calculer les deux bornes.
- Écrire l’intervalle solution.
Indication
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Le centre est \(3\) et le rayon \(2{,}5\). Les bornes sont \(0{,}5\) et \(5{,}5\). Ainsi \(|x-3|\leq2{,}5\) équivaut à \(x\in[0{,}5;5{,}5]\).
Contrôle : les deux bornes doivent être à la même distance du centre ; leur moyenne doit redonner a et leur écart doit valoir 2r.
Exercice 5 : Associer les formules de Valeur absolue et distance
Facile
Associer chaque écriture à son rôle, puis préciser les conditions qui rendent son emploi licite.
- \(d(x,a)=|x-a|\) : distance entre x et a.
- \(|x-a|\leq r\) : distance au plus égale à r.
- \(x\in[a-r;a+r]\) : intervalle centré en a.
- \(\frac{\alpha+\beta}{2}=a\) : contrôle du centre des bornes.
- Recopier les associations sans modifier les symboles.
- Choisir une formule et expliquer un cas où elle ne peut pas être appliquée directement.
Indication
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- \(d(x,a)=|x-a|\) : distance entre x et a.
- \(|x-a|\leq r\) : distance au plus égale à r.
- \(x\in[a-r;a+r]\) : intervalle centré en a.
- \(\frac{\alpha+\beta}{2}=a\) : contrôle du centre des bornes.
La formule principale du chapitre est \(|x-a|\leq r\quad\Longleftrightarrow\quad a-r\leq x\leq a+r.\). Son emploi doit rester cohérent avec la définition : Pour deux réels x et a, |x-a| est la distance entre leurs points sur la droite graduée. Une distance est positive ou nulle et ne dépend pas du sens : |x-a|=|a-x|. En particulier, |x| est la distance de x à 0.
Exercice 6 : Comparer deux stratégies pour Valeur absolue et distance
Difficile
Deux élèves proposent l’un un calcul direct et l’autre la méthode suivante : Calculer séparément la borne gauche a-r et la borne droite a+r.
- Décrire les avantages de chaque stratégie.
- Identifier les hypothèses implicites.
- Choisir la stratégie la plus robuste pour un cas général.
- Présenter un contrôle commun aux deux démarches.
Indication
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La démarche robuste suit cette progression : Identifier le centre a et la distance maximale r dans l’expression |x-a|. Puis Calculer séparément la borne gauche a-r et la borne droite a+r.
Le choix se valide en appliquant ce contrôle : les deux bornes doivent être à la même distance du centre ; leur moyenne doit redonner a et leur écart doit valoir 2r.
Exercice 7 : Contrôle oral sur Valeur absolue et distance
Facile
Préparer une explication d’une minute autour de cette définition : Pour deux réels x et a, |x-a| est la distance entre leurs points sur la droite graduée. Une distance est positive ou nulle et ne dépend pas du sens : |x-a|=|a-x|. En particulier, |x| est la distance de x à 0.
- Donner la définition, une propriété, un exemple et une erreur à éviter.
Indication
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Définition : Pour deux réels x et a, |x-a| est la distance entre leurs points sur la droite graduée. Une distance est positive ou nulle et ne dépend pas du sens : |x-a|=|a-x|. En particulier, |x| est la distance de x à 0.
Propriété : Pour r positif, les réels situés à une distance au plus r de a forment l’intervalle [a-r;a+r]. Les bornes ont pour milieu a et l’amplitude de l’intervalle vaut 2r. Une distance strictement inférieure conduit à des bornes exclues.
Erreur à éviter : ne pas appliquer ici des développements par cas qui dépassent le périmètre attendu. En Seconde, la valeur absolue sert d’abord à exprimer une distance et un intervalle centré.
Problèmes et raisonnements autour de Valeur absolue et distance
La dernière partie combine calcul, justification et interprétation. Une réponse numérique sans explication n’y constitue pas une solution complète.
Exercice 8 : Tolérance d’une pièce usinée
Difficile
Le diamètre conforme d’une pièce doit rester à moins de \(0{,}04\) mm de \(18\) mm. La valeur limite est admise.
- Traduire la conformité avec une valeur absolue.
- Donner l’intervalle des diamètres conformes.
- Calculer son amplitude.
- Tester \(17{,}95\), \(18{,}04\) et \(18{,}041\).
Indication
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On écrit \(|d-18|\leq0{,}04\), donc \(d\in[17{,}96;18{,}04]\). L’amplitude vaut \(0{,}08\) mm. Le premier et le troisième diamètres sont refusés, tandis que \(18{,}04\) est accepté.
Contrôle : les deux bornes doivent être à la même distance du centre ; leur moyenne doit redonner a et leur écart doit valoir 2r.