Valeur absolue et distance Seconde : 8 exercices corrigés

Ces huit exercices corrigés abordent la valeur absolue sous plusieurs angles : calcul de distances, équations, intervalles, contraintes extérieures, lecture inverse et tolérances. Chaque correction reprend les questions une par une et précise la représentation utilisée.

Les équivalences nécessaires sont démontrées dans le cours de valeur absolue et distance en Seconde. La notation des intervalles peut être revue dans le chapitre sur les nombres réels.

Interpréter une distance sur la droite réelle

Exercice 1 : calculer quatre distances

Facile

Les points AA, BB et CC ont pour abscisses respectives −4-4, 2,52{,}5 et 77.

  1. Calculer ABAB, BCBC et ACAC.
  2. Calculer la distance du point BB à l'origine.
  3. Vérifier numériquement que AB+BC=ACAB+BC=AC.
Indication
La distance entre deux abscisses uu et vv est ∣u−v∣|u-v|.
Voir le corrigé

1. AB=∣2,5−(−4)∣=6,5AB=|2{,}5-(-4)|=6{,}5, BC=∣7−2,5∣=4,5BC=|7-2{,}5|=4{,}5 et AC=∣7−(−4)∣=11AC=|7-(-4)|=11.

2. La distance de BB à l'origine vaut ∣2,5∣=2,5|2{,}5|=2{,}5.

3. AB+BC=6,5+4,5=11=ACAB+BC=6{,}5+4{,}5=11=AC. Le point BB est bien situé entre AA et CC.

Exercice 2 : retrouver deux points symétriques

Facile

On cherche les réels situés à une distance 55 du nombre 33.

  1. Traduire la phrase par une équation avec une valeur absolue.
  2. Déterminer les deux solutions.
  3. Expliquer leur symétrie sur la droite réelle.
Indication
Partir du centre 33, puis avancer de 55 unités dans chaque sens.
Voir le corrigé

1. La distance de xx à 33 s'écrit ∣x−3∣|x-3|, donc l'équation est ∣x−3∣=5|x-3|=5.

2. x=3−5=−2x=3-5=-2 ou x=3+5=8x=3+5=8. L'ensemble des solutions est {−2;8}\{-2;8\}.

3. Le milieu de −2-2 et 88 est −2+82=3\frac{-2+8}{2}=3. Les deux solutions sont donc symétriques par rapport au centre 33.

Traduire entre valeur absolue et intervalles

Exercice 3 : convertir trois contraintes centrales

Facile
  1. Écrire sous forme d'intervalle : ∣x−2∣≤4|x-2|\le4.
  2. Écrire avec une valeur absolue : x∈[−7;1]x\in[-7;1].
  3. Écrire sous forme d'une double inégalité : ∣x+3∣<2|x+3|<2.
Indication
Les bornes sont centre moins rayon et centre plus rayon. Pour retrouver le centre, calculer le milieu des bornes.
Voir le corrigé
  1. −2≤x≤6-2\le x\le6, donc x∈[−2;6]x\in[-2;6].
  2. Le centre vaut −7+12=−3\frac{-7+1}{2}=-3 et le rayon vaut 44, donc ∣x+3∣≤4|x+3|\le4.
  3. −5<x<−1-5<x<-1.

Exercice 4 : résoudre une contrainte extérieure

Moyen

Résoudre dans R\mathbb R l'inéquation ∣2x+1∣≥7|2x+1|\ge7.

  1. Écrire les deux cas possibles.
  2. Résoudre chaque inéquation.
  3. Donner l'ensemble solution sous forme d'une réunion d'intervalles.
Indication
Une distance supérieure à 77 se trouve hors de la zone comprise entre −7-7 et 77.
Voir le corrigé

1. ∣2x+1∣≥7|2x+1|\ge7 équivaut à 2x+1≤−72x+1\le-7 ou 2x+1≥72x+1\ge7.

2. Le premier cas donne 2x≤−82x\le-8, donc x≤−4x\le-4. Le second donne 2x≥62x\ge6, donc x≥3x\ge3.

3. S=]−∞;−4]∪[3;+∞[S=]-\infty;-4]\cup[3;+\infty[.

Exercice 5 : reconstruire centre et rayon

Moyen

On considère l'intervalle I=[−4;10]I=[-4;10].

  1. Calculer son centre et son rayon.
  2. Écrire l'appartenance x∈Ix\in I avec une valeur absolue.
  3. Déterminer les deux réels qui sont à la distance 77 du centre.
Indication
Le centre est la moyenne des bornes. Le rayon est la moitié de leur différence.
Voir le corrigé

1. a=−4+102=3a=\frac{-4+10}{2}=3 et r=10−(−4)2=7r=\frac{10-(-4)}2=7.

2. x∈[−4;10]x\in[-4;10] équivaut à ∣x−3∣≤7|x-3|\le7.

3. Les deux réels sont 3−7=−43-7=-4 et 3+7=103+7=10, c'est-à-dire les bornes de l'intervalle.

Raisonner sur une erreur et des données concrètes

Exercice 6 : corriger une résolution incomplète

Moyen

Pour résoudre ∣2x−6∣≤4|2x-6|\le4, Lina écrit 2x−6≤42x-6\le4, puis conclut x≤5x\le5.

  1. Expliquer précisément ce qui manque dans son raisonnement.
  2. Résoudre correctement l'inéquation.
  3. Tester x=0x=0 et x=4x=4 dans l'inéquation initiale.
Indication
La condition ∣u∣≤4|u|\le4 impose simultanément −4≤u-4\le u et u≤4u\le4.
Voir le corrigé

1. Lina n'a conservé que la borne supérieure. Elle doit aussi imposer 2x−6≥−42x-6\ge-4.

2. −4≤2x−6≤4-4\le2x-6\le4, donc 2≤2x≤102\le2x\le10, puis 1≤x≤51\le x\le5. Ainsi S=[1;5]S=[1;5].

3. Pour x=0x=0, ∣2x−6∣=6>4|2x-6|=6>4, donc 0∉S0\notin S. Pour x=4x=4, ∣2x−6∣=2≤4|2x-6|=2\le4, donc 4∈S4\in S. Ces tests sont cohérents avec [1;5][1;5].

Exercice 7 : contrôler une pièce usinée

Moyen

Le diamètre attendu d'une pièce est 12,0012{,}00 mm. La tolérance autorisée est de 0,080{,}08 mm.

  1. Traduire la conformité d'un diamètre dd par une inégalité avec une valeur absolue.
  2. Donner l'intervalle des diamètres conformes.
  3. Décider si les mesures 11,9111{,}91, 11,9411{,}94, 12,0812{,}08 et 12,0912{,}09 mm sont conformes.
Indication
Comparer l'écart entre chaque mesure et 12,0012{,}00 à la tolérance 0,080{,}08.
Voir le corrigé

1. La condition est ∣d−12∣≤0,08|d-12|\le0{,}08.

2. 12−0,08≤d≤12+0,0812-0{,}08\le d\le12+0{,}08, donc d∈[11,92;12,08]d\in[11{,}92;12{,}08].

3. 11,9111{,}91 est trop petit. 11,9411{,}94 est conforme. 12,0812{,}08 est conforme car la borne est incluse. 12,0912{,}09 est trop grand.

Exercice 8 : croiser deux contraintes

Difficile

Un réel xx doit vérifier simultanément ∣x−2∣≤5|x-2|\le5 et ∣x+1∣<3|x+1|<3.

  1. Transformer chaque contrainte en intervalle.
  2. Calculer leur intersection.
  3. Dire, en justifiant, si −3-3, 00 et 22 sont admissibles.
Indication
Résoudre séparément les deux inégalités, puis conserver les nombres communs aux deux intervalles.
Voir le corrigé

1. ∣x−2∣≤5|x-2|\le5 donne x∈[−3;7]x\in[-3;7]. La condition ∣x+1∣<3|x+1|<3 donne x∈]−4;2[x\in]-4;2[.

2. L'intersection est [−3;7]∩]−4;2[=[−3;2[[-3;7]\cap]-4;2[=[-3;2[.

3. −3-3 est admissible car il appartient aux deux intervalles. 00 est admissible. 22 ne l'est pas, car la seconde contrainte est stricte et exclut 22.

Une fois ces changements d'écriture maîtrisés, reprenez la méthode du centre et du rayon pour justifier chaque étape sans transformer mécaniquement les symboles.

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