Tableau de variation exercices corrigés : 18 exercices

Solution de la question 1 : La fonction $f$ est décroissante sur $[-4;-1]$, croissante sur $[-1;2]$, puis décroissante sur $[2;5]$.

Solution de la question 2 : Le minimum lu dans le tableau est $-2$, atteint pour $x=-1$. Le maximum lu dans le tableau est $4$, atteint pour $x=2$.

Solution de la question 3 : On a $-3\in[-4;-1]$ et $0\in[-1;2]$. Les deux nombres ne sont pas sur le même intervalle de monotonie. Le tableau ne permet donc pas de comparer avec certitude $f(-3)$ et $f(0)$.

Solution de la question 1 : Sur $[0;1]$, $f$ passe de $-1$ à $3$, donc $f(x)=0$ admet une solution. Sur $[1;4]$, $f$ passe de $3$ à $-2$, donc il y a une deuxième solution. Sur $[4;7]$, $f$ passe de $-2$ à $5$, donc il y a une troisième solution. Ainsi l'équation admet trois solutions.

Solution de la question 2 : Sur $[0;1]$, les valeurs vont de $-1$ à $3$, donc $4$ n'est pas atteint. Sur $[1;4]$, les valeurs vont de $3$ à $-2$, donc $4$ n'est pas atteint. Sur $[4;7]$, les valeurs vont de $-2$ à $5$, donc $f(x)=4$ admet une solution.

Les changements de sens se produisent en $0$ et en $4$. On obtient :

Solution de la question 1 : Sur $[-2;1]$, $f$ descend de $6$ à $-3$, donc $f(x)=2$ admet une solution. Sur $[1;5]$, $f$ monte de $-3$ à $2$, donc $f(x)=2$ est atteint en $x=5$. Il y a donc deux solutions.

Solution de la question 2 : On sait qu'il existe une solution $\alpha\in[-2;1]$ telle que $f(\alpha)=2$. Comme $f$ est décroissante sur $[-2;1]$, on a $f(x)\leq 2$ pour $x\in[\alpha;1]$. Sur $[1;5]$, toutes les valeurs de $f$ sont inférieures ou égales à $2$. Donc l'ensemble des solutions est $[\alpha;5]$. Sans expression de $f$, on ne peut pas donner la valeur exacte de $\alpha$.

Solution de la question 1 : Le coefficient directeur est $2\gt 0$. Donc $f$ est strictement croissante sur $[-2;4]$.

Solution de la question 2 : On calcule $f(-2)=2(-2)-3=-7$ et $f(4)=2\cdot4-3=5$. Ainsi :

Solution de la question 1 :

Solution de la question 2 : La fonction atteint son maximum en $x=2$. Elle est croissante sur $[0;2]$, puis décroissante sur $[2;5]$. On calcule :

Solution de la question 1 : Si $x\leq 2$, alors $|x-2|=2-x$, donc $f(x)=3-x$. Si $x\geq 2$, alors $|x-2|=x-2$, donc $f(x)=x-1$.

Solution de la question 2 : La fonction $3-x$ est décroissante sur $[-1;2]$, tandis que $x-1$ est croissante sur $[2;5]$. De plus :

Solution de la question 1 :

Solution de la question 2 :

Donc $f'(x)\lt 0$ si $x\lt 2$, $f'(2)=0$, et $f'(x)\gt 0$ si $x\gt 2$.

Solution de la question 3 : La fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty;2]$, puis croissante sur $[2;+\infty[$. De plus $f(2)=4-8+1=-3$.

Solution de la question 1 :

Solution de la question 2 : Le signe de $f'(x)$ est celui de $(x+1)(x-3)$, car $3\gt 0$. Donc $f'(x)\gt 0$ sur $]-\infty;-1[\cup]3;+\infty[$, et $f'(x)\lt 0$ sur $]-1;3[$.

Solution de la question 3 : On calcule :

Solution de la question 1 :

Solution de la question 2 : Le produit $(x-1)(x-3)$ est positif sur $]-\infty;1[\cup]3;+\infty[$, négatif sur $]1;3[$. Comme il est multiplié par $-3$, on obtient $f'(x)\lt 0$ sur $]-\infty;1[\cup]3;+\infty[$, et $f'(x)\gt 0$ sur $]1;3[$.

Solution de la question 3 : On calcule :

Solution de la question 1 : Le dénominateur ne doit pas s'annuler. Donc :

Ainsi $D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$.

Solution de la question 2 :

Or :

Solution de la question 3 : Comme $(x+1)^2\gt 0$ sur $D_f$, le signe de $f'(x)$ est celui de $x^2+2x-1$. On obtient :

La barre verticale en $x=-1$ rappelle la valeur interdite.

Solution de la question 1 : Pour $x\gt -1$, on a :

Solution de la question 2 :

On obtient $f'(x)\gt 0$ sur $]-1;-\frac34[$, puis $f'(x)\lt 0$ sur $]-\frac34;8]$.

Solution de la question 3 : On calcule :

Solution de la question 1 : On doit avoir $x-2\neq0$, donc $D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}$.

Solution de la question 2 :

Ainsi $f'(x)\lt 0$ pour tout $x\in D_f$.

Solution de la question 3 : La fonction est décroissante sur $]-\infty;2[$ et sur $]2;+\infty[$.

Solution de la question 1 :

Solution de la question 2 :

Donc $f'(x)\lt 0$ pour tout $x\neq1$.

Solution de la question 3 : La fonction est décroissante sur $]-\infty;1[$ et sur $]1;+\infty[$.

Solution de la question 1 :

Solution de la question 2 : Comme $x^2\gt 0$ sur $\mathbb{R}^{*}$, le signe de $f'(x)$ est celui de $(x-2)(x+2)$. Donc $f'(x)\gt 0$ sur $]-\infty;-2[\cup]2;+\infty[$, et $f'(x)\lt 0$ sur $]-2;0[\cup]0;2[$.

Solution de la question 3 : On calcule $f(-2)=-4$ et $f(2)=4$. On obtient :

Solution de la question 1 :

Solution de la question 2 : On a $f_a'(x)\lt 0$ si $x\lt a$, $f_a'(a)=0$, et $f_a'(x)\gt 0$ si $x\gt a$. Donc $f_a$ est décroissante sur $]-\infty;a]$, puis croissante sur $[a;+\infty[$.

Solution de la question 3 : Le minimum est donc $-a^2$, atteint pour $x=a$.

Solution de la question 1 :

Donc $f'(x)\gt 0$ sur $]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[$, et $f'(x)\lt 0$ sur $]-1;1[$. De plus :

Solution de la question 2 : Sur $]-\infty;-1]$, $f$ passe de $-\infty$ à $3$, donc il existe une racine. Sur $[-1;1]$, $f$ passe de $3$ à $-1$, donc il existe une deuxième racine. Sur $[1;+\infty[$, $f$ passe de $-1$ à $+\infty$, donc il existe une troisième racine. L'équation $f(x)=0$ admet donc trois solutions réelles.

Solution de la question 1 : On a :

Solution de la question 2 : L'aire vaut :

Solution de la question 3 : On étudie $A(x)=6x-x^2$ sur $[0;6]$. Sa dérivée est :

Donc $A'(x)\gt 0$ sur $[0;3[$, $A'(3)=0$, et $A'(x)\lt 0$ sur $]3;6]$. De plus :

L'aire maximale est donc $9$, obtenue pour $x=3$. Le rectangle optimal est un carré de côté $3$.