Tableau de variation exercices corrigés : 18 exercices

Solution de la question 1 : La fonction \(f\) est décroissante sur \([-4;-1]\), croissante sur \([-1;2]\), puis décroissante sur \([2;5]\).

Solution de la question 2 : Le minimum lu dans le tableau est \(-2\), atteint pour \(x=-1\). Le maximum lu dans le tableau est \(4\), atteint pour \(x=2\).

Solution de la question 3 : On a \(-3\in[-4;-1]\) et \(0\in[-1;2]\). Les deux nombres ne sont pas sur le même intervalle de monotonie. Le tableau ne permet donc pas de comparer avec certitude \(f(-3)\) et \(f(0)\).

Solution de la question 1 : Sur \([0;1]\), \(f\) passe de \(-1\) à \(3\), donc \(f(x)=0\) admet une solution. Sur \([1;4]\), \(f\) passe de \(3\) à \(-2\), donc il y a une deuxième solution. Sur \([4;7]\), \(f\) passe de \(-2\) à \(5\), donc il y a une troisième solution. Ainsi l’équation admet trois solutions.

Solution de la question 2 : Sur \([0;1]\), les valeurs vont de \(-1\) à \(3\), donc \(4\) n’est pas atteint. Sur \([1;4]\), les valeurs vont de \(3\) à \(-2\), donc \(4\) n’est pas atteint. Sur \([4;7]\), les valeurs vont de \(-2\) à \(5\), donc \(f(x)=4\) admet une solution.

Les changements de sens se produisent en \(0\) et en \(4\). On obtient :

Solution de la question 1 : Sur \([-2;1]\), \(f\) descend de \(6\) à \(-3\), donc \(f(x)=2\) admet une solution. Sur \([1;5]\), \(f\) monte de \(-3\) à \(2\), donc \(f(x)=2\) est atteint en \(x=5\). Il y a donc deux solutions.

Solution de la question 2 : On sait qu’il existe une solution \(\alpha\in[-2;1]\) telle que \(f(\alpha)=2\). Comme \(f\) est décroissante sur \([-2;1]\), on a \(f(x)\leq 2\) pour \(x\in[\alpha;1]\). Sur \([1;5]\), toutes les valeurs de \(f\) sont inférieures ou égales à \(2\). Donc l’ensemble des solutions est \([\alpha;5]\). Sans expression de \(f\), on ne peut pas donner la valeur exacte de \(\alpha\).

Solution de la question 1 : Le coefficient directeur est \(2\gt 0\). Donc \(f\) est strictement croissante sur \([-2;4]\).

Solution de la question 2 : On calcule \(f(-2)=2(-2)-3=-7\) et \(f(4)=2\cdot4-3=5\). Ainsi :

Solution de la question 1 :

\[ f(x)=-(x^2-4x)-1=-\bigl((x-2)^2-4\bigr)-1=-(x-2)^2+3. \]

Solution de la question 2 : La fonction atteint son maximum en \(x=2\). Elle est croissante sur \([0;2]\), puis décroissante sur \([2;5]\). On calcule :

\[ f(0)=-1,\qquad f(2)=3,\qquad f(5)=-25+20-1=-6. \]

Solution de la question 1 : Si \(x\leq 2\), alors \(|x-2|=2-x\), donc \(f(x)=3-x\). Si \(x\geq 2\), alors \(|x-2|=x-2\), donc \(f(x)=x-1\).

Solution de la question 2 : La fonction \(3-x\) est décroissante sur \([-1;2]\), tandis que \(x-1\) est croissante sur \([2;5]\). De plus :

\[ f(-1)=4,\qquad f(2)=1,\qquad f(5)=4. \]

Solution de la question 1 :

\[ f'(x)=2x-4. \]

Solution de la question 2 :

\[ 2x-4=0 \Longleftrightarrow x=2. \]

Donc \(f'(x)\lt 0\) si \(x\lt 2\), \(f'(2)=0\), et \(f'(x)\gt 0\) si \(x\gt 2\).

Solution de la question 3 : La fonction \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;2]\), puis croissante sur \([2;+\infty[\). De plus \(f(2)=4-8+1=-3\).

Solution de la question 1 :

\[ f'(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x+1)(x-3). \]

Solution de la question 2 : Le signe de \(f'(x)\) est celui de \((x+1)(x-3)\), car \(3\gt 0\). Donc \(f'(x)\gt 0\) sur \(]-\infty;-1[\cup]3;+\infty[\), et \(f'(x)\lt 0\) sur \(]-1;3[\).

Solution de la question 3 : On calcule :

\[ f(-1)=-1-3+9+2=7,\qquad f(3)=27-27-27+2=-25. \]

Solution de la question 1 :

\[ f'(x)=-3x^2+12x-9=-3(x^2-4x+3)=-3(x-1)(x-3). \]

Solution de la question 2 : Le produit \((x-1)(x-3)\) est positif sur \(]-\infty;1[\cup]3;+\infty[\), négatif sur \(]1;3[\). Comme il est multiplié par \(-3\), on obtient \(f'(x)\lt 0\) sur \(]-\infty;1[\cup]3;+\infty[\), et \(f'(x)\gt 0\) sur \(]1;3[\).

Solution de la question 3 : On calcule :

\[ f(1)=-1+6-9+1=-3,\qquad f(3)=-27+54-27+1=1. \]

Solution de la question 1 : Le dénominateur ne doit pas s’annuler. Donc :

\[ x+1\neq 0 \Longleftrightarrow x\neq -1. \]

Ainsi \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-1\}\).

Solution de la question 2 :

\[ f'(x)=\frac{2x(x+1)-(x^2+1)}{(x+1)^2} =\frac{x^2+2x-1}{(x+1)^2}. \]

Or :

\[ x^2+2x-1=0 \Longleftrightarrow x=-1-\sqrt{2}\quad\text{ou}\quad x=-1+\sqrt{2}. \]

Solution de la question 3 : Comme \((x+1)^2\gt 0\) sur \(D_f\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x^2+2x-1\). On obtient :

La barre verticale en \(x=-1\) rappelle la valeur interdite.

Solution de la question 1 : Pour \(x\gt -1\), on a :

\[ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-1. \]

Solution de la question 2 :

\[ f'(x)=0 \Longleftrightarrow \frac{1}{2\sqrt{x+1}}=1 \Longleftrightarrow \sqrt{x+1}=\frac12 \Longleftrightarrow x=-\frac34. \]

On obtient \(f'(x)\gt 0\) sur \(]-1;-\frac34[\), puis \(f'(x)\lt 0\) sur \(]-\frac34;8]\).

Solution de la question 3 : On calcule :

\[ f(-1)=1,\qquad f\left(-\frac34\right)=\frac12+\frac34=\frac54,\qquad f(8)=3-8=-5. \]

Solution de la question 1 : On doit avoir \(x-2\neq0\), donc \(D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}\).

Solution de la question 2 :

\[ f'(x)=-\frac{1}{(x-2)^2}. \]

Ainsi \(f'(x)\lt 0\) pour tout \(x\in D_f\).

Solution de la question 3 : La fonction est décroissante sur \(]-\infty;2[\) et sur \(]2;+\infty[\).

Solution de la question 1 :

\[ 1+\frac{2}{x-1}=\frac{x-1+2}{x-1}=\frac{x+1}{x-1}. \]

Solution de la question 2 :

\[ f'(x)=-\frac{2}{(x-1)^2}. \]

Donc \(f'(x)\lt 0\) pour tout \(x\neq1\).

Solution de la question 3 : La fonction est décroissante sur \(]-\infty;1[\) et sur \(]1;+\infty[\).

Solution de la question 1 :

\[ f'(x)=1-\frac{4}{x^2}=\frac{x^2-4}{x^2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x^2}. \]

Solution de la question 2 : Comme \(x^2\gt 0\) sur \(\mathbb{R}^{*}\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \((x-2)(x+2)\). Donc \(f'(x)\gt 0\) sur \(]-\infty;-2[\cup]2;+\infty[\), et \(f'(x)\lt 0\) sur \(]-2;0[\cup]0;2[\).

Solution de la question 3 : On calcule \(f(-2)=-4\) et \(f(2)=4\). On obtient :

Solution de la question 1 :

\[ f_a'(x)=2x-2a=2(x-a). \]

Solution de la question 2 : On a \(f_a'(x)\lt 0\) si \(x\lt a\), \(f_a'(a)=0\), et \(f_a'(x)\gt 0\) si \(x\gt a\). Donc \(f_a\) est décroissante sur \(]-\infty;a]\), puis croissante sur \([a;+\infty[\).

Solution de la question 3 : Le minimum est donc \(-a^2\), atteint pour \(x=a\).

Solution de la question 1 :

\[ f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1). \]

Donc \(f'(x)\gt 0\) sur \(]-\infty;-1[\cup]1;+\infty[\), et \(f'(x)\lt 0\) sur \(]-1;1[\). De plus :

\[ f(-1)=-1+3+1=3,\qquad f(1)=1-3+1=-1. \]

Solution de la question 2 : Sur \(]-\infty;-1]\), \(f\) passe de \(-\infty\) à \(3\), donc il existe une racine. Sur \([-1;1]\), \(f\) passe de \(3\) à \(-1\), donc il existe une deuxième racine. Sur \([1;+\infty[\), \(f\) passe de \(-1\) à \(+\infty\), donc il existe une troisième racine. L’équation \(f(x)=0\) admet donc trois solutions réelles.

Solution de la question 1 : On a :

\[ 2x+2L=12 \Longleftrightarrow x+L=6 \Longleftrightarrow L=6-x. \]

Solution de la question 2 : L’aire vaut :

\[ A(x)=x(6-x)=6x-x^2. \]

Solution de la question 3 : On étudie \(A(x)=6x-x^2\) sur \([0;6]\). Sa dérivée est :

\[ A'(x)=6-2x. \]

Donc \(A'(x)\gt 0\) sur \([0;3[\), \(A'(3)=0\), et \(A'(x)\lt 0\) sur \(]3;6]\). De plus :

\[ A(0)=0,\qquad A(3)=9,\qquad A(6)=0. \]

L’aire maximale est donc \(9\), obtenue pour \(x=3\). Le rectangle optimal est un carré de côté \(3\).