Suites arithmétiques et géométriques Première : 8 exercices corrigés

Reconnaître un écart constant ou un rapport constant détermine toute la méthode. La série enchaîne termes généraux, sommes et comparaison entre croissance linéaire et intérêts composés, avec un comptage explicite du nombre de termes.

Les définitions et méthodes utilisées sont réunies dans le cours de Suites arithmétiques et géométriques. Les preuves et formules de sommes figurent dans le cours détaillé sur les suites classiques.

Bases de Suites arithmétiques et géométriques : Reconnaître deux modèles

Exercice 1 : Reconnaître deux modèles

Facile

Une suite u vérifie u3=11u_3=11 et un+1=un−2u_{n+1}=u_n-2. Une suite v vérifie v2=5v_2=5 et vn+1=1,4vnv_{n+1}=1{,}4v_n.

  1. Identifier la nature et la raison de chaque suite.
  2. Calculer u8u_8 et v5v_5.
Indication
Utiliser une formule à partir du rang connu.
Voir le corrigé
  1. La suite uu est arithmétique de raison −2-2. La suite vv est géométrique de raison 1,41{,}4.
  2. u8=u3+(8−3)(−2)=1u_8=u_3+(8-3)(-2)=1 et v5=v2×1,45−2=5×1,43=13,72v_5=v_2\times1{,}4^{5-2}=5\times1{,}4^3=13{,}72.

Exercice 2 : Somme de termes consécutifs

Moyen

La suite arithmétique u vérifie u0=7u_0=7, r=3r=3. Calculer S=u4+u5+⋯+u20S=u_4+u_5+\cdots+u_{20}.

  1. Calculer le premier et le dernier terme.
  2. Compter le nombre de termes.
  3. Calculer S.
Indication
Le nombre de termes vaut dernier indice moins premier indice plus un.
Voir le corrigé
  1. u4=7+4×3=19u_4=7+4\times3=19 et u20=7+20×3=67u_{20}=7+20\times3=67.
  2. De l'indice 4 à l'indice 20 inclus, il y a 20−4+1=1720-4+1=17 termes.
  3. S=17×19+672=731S=17\times\frac{19+67}{2}=731.

Choisir une méthode : Capital à taux constant

Exercice 3 : Capital à taux constant

Difficile

Un capital de 4 000 euros augmente de 3,2 % par an. Aucun versement supplémentaire n'est effectué.

  1. Définir la suite du capital.
  2. Donner son terme général.
  3. Calculer le capital après 8 ans.
  4. Chercher le premier rang où il dépasse 5 000 euros.
Indication
Le coefficient annuel est 1,032.
Voir le corrigé
  1. En notant CnC_n le capital après n années, C0=4000C_0=4000 et Cn+1=1,032CnC_{n+1}=1{,}032C_n.
  2. La suite est géométrique : Cn=4000×1,032nC_n=4000\times1{,}032^n.
  3. C8=4000×1,0328≈5147,5C_8=4000\times1{,}032^8\approx5147{,}5 euros.
  4. On vérifie C7≈4987,9<5000C_7\approx4987{,}9\lt 5000 et C8>5000C_8\gt 5000. Le premier dépassement a lieu au rang 8.

Exercice 4 : Comparer épargne linéaire et intérêts composés

Moyen

Un capital initial de 2 000 euros reçoit soit 120 euros par an, soit 5 % d'intérêts par an. On compare les modèles après n années.

  1. Modéliser l'épargne avec versement fixe et donner son terme général.
  2. Modéliser les intérêts composés et donner leur terme général.
  3. Comparer qualitativement l'évolution à long terme des deux modèles.
Indication
Traduire l'évolution : différence constante ou taux constant.
Voir le corrigé
  1. Le premier capital vérifie un+1=un+120u_{n+1}=u_n+120 : il est arithmétique de raison 120. Sa formule est un=2000+120nu_n=2000+120n.
  2. Le second vérifie vn+1=1,05vnv_{n+1}=1{,}05v_n : il est géométrique de raison 1,05. Sa formule est vn=2000×1,05nv_n=2000\times1{,}05^n.
  3. Les deux modèles peuvent être proches au début puis s'écarter fortement.

Approfondir Suites arithmétiques et géométriques : Démontrer les termes généraux par itération

Exercice 5 : Somme d’une suite géométrique

Difficile

Une suite géométrique vérifie v0=5v_0=5 et a pour raison 2.

  1. Exprimer vnv_n en fonction de nn.
  2. Calculer S=v0+v1+⋯+v8S=v_0+v_1+\cdots+v_8.
  3. Contrôler l'ordre de grandeur du résultat.
Indication
Il y a neuf termes, de l'indice 0 à l'indice 8.
Voir le corrigé
  1. vn=5×2nv_n=5\times2^n.
  2. S=51−291−2=5(512−1)=2 555S=5\frac{1-2^9}{1-2}=5(512-1)=2\,555.
  3. Le dernier terme vaut 1 2801\,280. Une somme de termes positifs doit être supérieure à ce dernier terme et inférieure à deux fois sa valeur, ce qui est bien le cas.

Exercice 6 : Démontrer les termes généraux par itération

Difficile

Deux suites sont connues à partir d'un rang pp : un+1=un+ru_{n+1}=u_n+r et vn+1=qvnv_{n+1}=qv_n.

  1. Compter le nombre de passages du rang pp au rang nn.
  2. Établir la formule de unu_n.
  3. Établir la formule de vnv_n.
Indication
Écrire les premiers termes après pp pour faire apparaître le nombre d'itérations.
Voir le corrigé
  1. Du rang pp au rang nn, il y a n−pn-p passages.
  2. Chaque passage ajoute rr, donc un=up+(n−p)ru_n=u_p+(n-p)r.
  3. Chaque passage multiplie par qq, donc vn=vpqn−pv_n=v_pq^{n-p}.
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