Simulation et échantillons Première : 6 exercices corrigés

Les simulations produisent des observations, pas des preuves de la loi programmée. Les exercices comparent moyenne théorique et moyenne simulée, deux estimateurs et plusieurs tailles d'échantillon avant de formuler une conclusion prudente.

Les définitions et méthodes utilisées sont réunies dans le cours de Simulation et échantillons. La simulation repose sur la loi et l'espérance d'une variable aléatoire.

Bases de Simulation et échantillons : Moyenne d'un échantillon

Exercice 1 : Moyenne d’un échantillon

Facile

Un échantillon contient les valeurs 9, 12, 15, 11, 13, 16, 10, 14.

  1. Calculer la moyenne.
  2. Comparer à une espérance théorique de 12,5.
  3. Calculer l'écart observé.
Indication
Additionner les huit valeurs avant de diviser.
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  1. La somme des huit valeurs est 100, donc la moyenne est 100/8=12,5100/8=12{,}5.
  2. La moyenne observée coïncide ici avec l'espérance théorique 12,5.
  3. L'écart observé vaut ∣12,5−12,5∣=0|12{,}5-12{,}5|=0. Cette égalité exacte n'est pas garantie pour un autre échantillon.

Exercice 2 : Simuler une loi discrète

Moyen

Une variable prend 0 avec probabilité 0,2, 1 avec probabilité 0,5 et 3 avec probabilité 0,3.

  1. Décrire une simulation avec un réel uniforme entre 0 et 1.
  2. Définir les trois intervalles.
  3. Calculer l'espérance théorique.
  4. Indiquer la sortie à comparer après 10 000 répétitions.
Indication
Cumuler les probabilités pour découper [0;1[[0;1[.
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  1. On génère un réel uniforme u dans [0;1[[0;1[, puis on renvoie une valeur selon l'intervalle contenant u.
  2. On renvoie 0 si 0≤u<0,20\leq u\lt 0{,}2, 1 si 0,2≤u<0,70{,}2\leq u\lt 0{,}7, et 3 si 0,7≤u<10{,}7\leq u\lt 1.
  3. L'espérance vaut 0×0,2+1×0,5+3×0,3=1,40\times0{,}2+1\times0{,}5+3\times0{,}3=1{,}4.
  4. Après 10 000 répétitions, on compare la moyenne simulée à 1,4 et on vérifie aussi que les fréquences des trois valeurs approchent 0,2, 0,5 et 0,3.

Choisir une méthode : Expliquer pourquoi une simulation ne prouve pas la loi

Exercice 3 : Expliquer pourquoi une simulation ne prouve pas la loi

Difficile

Un programme simule une loi discrète et retrouve une moyenne très proche de l'espérance théorique après 100 000 répétitions.

  1. Dire ce que cet accord permet de contrôler.
  2. Expliquer pourquoi il ne démontre pas la loi programmée.
  3. Indiquer un second contrôle pertinent.
Indication
Séparer la validation expérimentale d'un code de la démonstration mathématique d'une probabilité.
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  1. L'accord rend plausible le bon fonctionnement global de la simulation et peut révéler certaines erreurs de codage s'il échoue.
  2. Les données sont produites à partir des probabilités déjà inscrites dans le programme. Elles peuvent illustrer ces probabilités, mais ne constituent pas une preuve indépendante de la loi.
  3. On peut comparer les fréquences de chaque valeur à leurs probabilités et répéter l'expérience avec plusieurs graines et plusieurs tailles d'échantillon.

Exercice 4 : Comparer deux estimateurs

Difficile

Deux simulations d'une même variable d'espérance 5 donnent des moyennes 5,42 sur 50 essais et 4,98 sur 5 000 essais.

  1. Calculer les erreurs absolues.
  2. Comparer les tailles.
  3. Expliquer sans certitude abusive le meilleur résultat.
  4. Proposer un protocole de répétition.
Indication
Une grande taille réduit généralement la variabilité, sans garantir chaque résultat.
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  1. Les erreurs absolues sont ∣5,42−5∣=0,42|5{,}42-5|=0{,}42 et ∣4,98−5∣=0,02|4{,}98-5|=0{,}02.
  2. Les tailles sont 50 et 5 000 ; la seconde simulation utilise cent fois plus d'essais.
  3. Le second résultat est ici le plus proche, mais une grande taille ne garantit pas que chaque simulation particulière soit meilleure.
  4. On répète plusieurs fois chaque taille, puis on compare la distribution des moyennes ou leur erreur moyenne. Ce protocole sépare un résultat chanceux d'un effet de taille.

Approfondir Simulation et échantillons : Estimer une probabilité par simulation

Exercice 5 : Simuler le gain moyen d’un jeu

Moyen

On reprend une variable de gain XX d'espérance −1/6-1/6 euro et on simule 1 000 échantillons de 100 parties.

  1. Décrire la simulation d'une partie du jeu.
  2. Expliquer comment produire les 1 000 moyennes d'échantillons.
  3. Prévoir le centre et la dispersion du nuage obtenu.
  4. Expliquer l'effet d'un passage de 100 à 1 000 parties par échantillon.
Indication
Écrire une fonction qui renvoie une réalisation de X selon sa loi.
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  1. Chaque partie génère 6, 1 ou -2 selon les probabilités de la loi.
  2. On calcule la moyenne de 100 gains pour un échantillon. On répète 1 000 fois et obtient 1 000 moyennes.
  3. Le nuage est centré près de −1/6-1/6 et reste dispersé.
  4. Avec n=1 000n=1\,000, les moyennes sont en général plus resserrées.

Exercice 6 : Estimer une probabilité par simulation

Moyen

On veut estimer la probabilité que la somme de trois dés soit au moins 15.

  1. Décrire une répétition de l'expérience.
  2. Écrire le compteur et la fréquence renvoyée.
  3. Indiquer deux contrôles du programme.
Indication
Une répétition doit générer trois entiers indépendants entre 1 et 6.
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  1. À chaque tour, on tire trois entiers avec randint(1, 6) et on calcule leur somme.
  2. On incrémente le compteur si la somme est supérieure ou égale à 15, puis on renvoie compteur / N.
  3. La fréquence doit rester entre 0 et 1. Avec une graine fixée, le résultat doit être reproductible ; en augmentant N, plusieurs fréquences doivent généralement se stabiliser.
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