Séries numériques exercices corrigés progressifs

Solution de la question 1 :

La raison est $q = \dfrac{2}{3}$. Comme $|q| = \dfrac{2}{3} < 1$, la série converge. Sa somme est :

$$\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3.$$ Solution de la question 2 :

La raison est $q = -\dfrac{1}{4}$. Comme $|q| = \dfrac{1}{4} < 1$, la série converge. Sa somme est :

$$\sum_{n=0}^{+\infty} \left(-\frac{1}{4}\right)^n = \frac{1}{1 - (-\frac{1}{4})} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}.$$ Solution de la question 3 :

La raison est $q = \dfrac{5}{4}$. Comme $|q| = \dfrac{5}{4} > 1$, le terme général ne tend pas vers 0, donc la série diverge grossièrement.

Solution de la question 1 :

On a $u_n = \dfrac{1}{n^3}$ avec $\alpha = 3 > 1$. La série de Riemann converge.

Solution de la question 2 :

On a $v_n = \dfrac{1}{\sqrt{n}} = \dfrac{1}{n^{1/2}}$ avec $\alpha = \dfrac{1}{2} < 1$. La série de Riemann diverge. Il s'agit d'un cas particulier de la série harmonique généralisée.

Solution de la question 3 :

On a $w_n = \dfrac{1}{n^{2/3}}$ avec $\alpha = \dfrac{2}{3} < 1$. La série diverge.

Solution de la question 1 :

Pour $n \geq 1$, on a $n^2 + 3n + 1 \geq n^2$, donc :

$$0 \leq u_n = \frac{1}{n^2 + 3n + 1} \leq \frac{1}{n^2}.$$

La série $\sum \dfrac{1}{n^2}$ est une série de Riemann convergente ($\alpha = 2 > 1$). Par comparaison, $\sum u_n$ converge.

Solution de la question 2 :

On sait que $\ln n \leq \sqrt{n}$ pour tout $n \geq 1$. Donc :

$$0 \leq v_n = \frac{\ln n}{n^2} \leq \frac{\sqrt{n}}{n^2} = \frac{1}{n^{3/2}}.$$

La série $\sum \dfrac{1}{n^{3/2}}$ converge (Riemann, $\alpha = 3/2 > 1$). Par comparaison, $\sum v_n$ converge.

Solution de la question 3 :

Pour tout $n \geq 1$, on a $2^n + n \geq 2^n$, donc :

$$0 \leq w_n = \frac{1}{2^n + n} \leq \frac{1}{2^n} = \left(\frac{1}{2}\right)^n.$$

La série géométrique $\sum \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ converge. Par comparaison, $\sum w_n$ converge.

Solution de la question 1 :

Posons $u_n = \dfrac{n!}{3^n}$. On calcule :

$$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)!}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^n}{n!} = \frac{n+1}{3} \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty.$$

La limite est $+\infty > 1$, donc par la règle de d'Alembert, la série diverge. (Le terme général ne tend même pas vers 0.)

Solution de la question 2 :

Posons $u_n = \dfrac{2^n}{n!}$. On calcule :

$$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \frac{2}{n+1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0.$$

La limite est $0 < 1$, donc par la règle de d'Alembert, la série converge.

Solution de la question 1 : $$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)^5}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n^5} = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^5 \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{1}{2} < 1.$$

La série converge par la règle de d'Alembert.

Solution de la question 2 : $$\frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)^2 \cdot 2^{n+1}} \cdot \frac{n^2 \cdot 2^n}{3^n} = \frac{3}{2} \cdot \frac{n^2}{(n+1)^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{3}{2} > 1.$$

La série diverge par la règle de d'Alembert.

Solution de la question 3 : $$\frac{w_{n+1}}{w_n} = \frac{(2n+2)!}{4^{n+1}((n+1)!)^2} \cdot \frac{4^n (n!)^2}{(2n)!} = \frac{(2n+1)(2n+2)}{4(n+1)^2} = \frac{(2n+1)}{2(n+1)} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1.$$

La règle de d'Alembert est non concluante. On utilise la comparaison : par l'inégalité de Wallis ou un équivalent, on peut montrer que $w_n \sim \dfrac{1}{\sqrt{\pi n}}$, qui est le terme général d'une série divergente (série de Riemann avec $\alpha = 1/2 < 1$). La série diverge.

Solution de la question 1 : $$u_n^{1/n} = \frac{n}{2n+1} = \frac{1}{2 + \frac{1}{n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{1}{2} < 1.$$

Par la règle de Cauchy, la série converge.

Solution de la question 2 : $$v_n^{1/n} = \frac{\ln n}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 < 1.$$

Par la règle de Cauchy, la série converge.

Solution de la question 1 :

On pose $a_n = \dfrac{1}{n}$. La suite $(a_n)$ est strictement décroissante (car $n \mapsto \dfrac{1}{n}$ est décroissante sur $\mathbb{N}^*$) et $a_n \to 0$. Par le critère de Leibniz, la série converge. (On notera que la série n'est pas absolument convergente, car $\sum \dfrac{1}{n}$ diverge.)

Solution de la question 2 :

On pose $a_n = \dfrac{1}{\sqrt{n}}$. La suite est décroissante et tend vers 0. Par le critère de Leibniz, la série converge. (Elle ne converge pas absolument, car $\sum \dfrac{1}{\sqrt{n}}$ diverge.)

Solution de la question 1 :

La série des valeurs absolues est $\sum \dfrac{1}{n^2}$, qui est une série de Riemann convergente ($\alpha = 2 > 1$). Donc $\sum \dfrac{(-1)^n}{n^2}$ est absolument convergente.

Solution de la question 2 :

La série des valeurs absolues est $\sum \dfrac{1}{\ln(n+1)}$. Comme $\ln(n+1) \leq n+1$, on a $\dfrac{1}{\ln(n+1)} \geq \dfrac{1}{n+1}$, et la série $\sum \dfrac{1}{n+1}$ diverge. Donc la série n'est pas absolument convergente. En revanche, la suite $a_n = \dfrac{1}{\ln(n+1)}$ est décroissante et tend vers 0, donc par Leibniz, la série converge. Elle est donc semi-convergente.

Solution de la question 3 :

On a $\dfrac{n}{n+1} \to 1 \neq 0$, donc le terme général $(-1)^n \cdot \dfrac{n}{n+1}$ ne tend pas vers 0. La série diverge grossièrement.

Solution de la question 1 : $$u_n = \frac{n^2 + 2n}{n^4 - 1} \sim_{+\infty} \frac{n^2}{n^4} = \frac{1}{n^2}.$$

La série $\sum \dfrac{1}{n^2}$ converge (Riemann, $\alpha = 2$). Donc $\sum u_n$ converge.

Solution de la question 2 : $$v_n = \sin\!\left(\frac{1}{n}\right) \sim_{+\infty} \frac{1}{n}.$$

La série $\sum \dfrac{1}{n}$ diverge (série harmonique). Donc $\sum v_n$ diverge.

Solution de la question 3 : $$w_n = \ln\!\left(1 + \frac{1}{n^2}\right) \sim_{+\infty} \frac{1}{n^2}.$$

La série $\sum \dfrac{1}{n^2}$ converge. Donc $\sum w_n$ converge.

Solution de la question 1 :

Posons $x = \dfrac{1}{n}$. On développe :

$$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3).$$

Donc :

$$\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right) - \frac{1}{n} + \frac{1}{2n^2} = -\frac{1}{2n^2} + \frac{1}{3n^3} + \frac{1}{2n^2} + o\!\left(\frac{1}{n^3}\right) = \frac{1}{3n^3} + o\!\left(\frac{1}{n^3}\right).$$

Ainsi :

$$u_n = n \cdot \left(\frac{1}{3n^3} + o\!\left(\frac{1}{n^3}\right)\right) = \frac{1}{3n^2} + o\!\left(\frac{1}{n^2}\right) \sim_{+\infty} \frac{1}{3n^2}.$$

La série $\sum \dfrac{1}{n^2}$ converge, donc $\sum u_n$ converge.

Solution de la question 2 :

Posons $x = \dfrac{1}{\sqrt{n}}$. Comme $x \to 0$ :

$$v_n = 1 - \cos\!\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \sim_{+\infty} \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{2n}.$$

La série $\sum \dfrac{1}{2n}$ diverge (série harmonique à une constante multiplicative près). Donc $\sum v_n$ diverge.

Solution de la question 1 ; cas $\alpha > 1$ :

Choisissons $\beta$ tel que $1 < \beta < \alpha$. Comme $\ln n \to +\infty$, on a $n^{\alpha - \beta} \ln n \to +\infty$, d'où :

$$0 < u_n = \frac{1}{n^\alpha \ln n} \leq \frac{1}{n^\alpha} \leq \frac{1}{n^\beta} \text{ à partir d'un certain rang.}$$

Plus précisément, $u_n = o\!\left(\dfrac{1}{n^\beta}\right)$ et la série $\sum \dfrac{1}{n^\beta}$ converge. Donc $\sum u_n$ converge.

Solution de la question 2 ; cas $\alpha < 1$ :

Pour $n \geq 3$, on a $\ln n \leq n^{1-\alpha}$ (car $n^{1-\alpha} \to +\infty$ plus vite que $\ln n$), donc :

$$u_n = \frac{1}{n^\alpha \ln n} \geq \frac{1}{n^\alpha \cdot n^{1-\alpha}} = \frac{1}{n}.$$

La série harmonique $\sum \dfrac{1}{n}$ diverge. Par comparaison, $\sum u_n$ diverge.

Solution de la question 3 ; cas $\alpha = 1$ :

On a $u_n = \dfrac{1}{n \ln n}$. La fonction $f(t) = \dfrac{1}{t \ln t}$ est continue, positive et décroissante sur $[2, +\infty[$. Par comparaison à l'intégrale :

$$\int_2^{N} \frac{dt}{t \ln t} = \left[\ln(\ln t)\right]_2^N = \ln(\ln N) - \ln(\ln 2) \xrightarrow[N \to +\infty]{} +\infty.$$

L'intégrale diverge, donc par le critère intégral, $\sum u_n$ diverge.

Solution de la question 1 :

La série des valeurs absolues est :

$$\sum_{n=2}^{+\infty} |u_n| = \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{\ln n}{n}.$$

La fonction $x \mapsto \dfrac{\ln x}{x}$ est positive sur $[2,+\infty[$. Par comparaison à l'intégrale :

$$\int_2^N \frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{1}{2}\bigl((\ln N)^2 - (\ln 2)^2\bigr) \xrightarrow[N \to +\infty]{} +\infty.$$

Donc $\sum \dfrac{\ln n}{n}$ diverge : la série $\sum u_n$ n'est pas absolument convergente.

Solution de la question 2 :

Posons $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$. On a :

$$f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}.$$

Pour $x>e$, $1-\ln x<0$, donc $f$ est décroissante sur $[3,+\infty[$. Ainsi la suite $a_n=\dfrac{\ln n}{n}$ est décroissante à partir de $n=3$. De plus :

$$\lim_{n\to+\infty}\frac{\ln n}{n}=0.$$ Solution de la question 3 :

La suite $a_n$ est positive, décroissante à partir d'un certain rang, et tend vers 0. Par le critère de Leibniz, la série alternée $\sum (-1)^n a_n$ converge. Comme elle ne converge pas absolument, elle est semi-convergente.