Rotation 3ème : 9 exercices corrigés

Ces exercices corrigés sur la rotation en 3ème apprennent à utiliser simultanément centre, angle et sens. Le cours sur la rotation décrit les constructions au compas et au rapporteur.

Comme toute isométrie, une rotation conserve longueurs et angles. Les raisonnements réutilisent donc certaines propriétés des transformations et symétries, tout en distinguant clairement leurs éléments caractéristiques.

Décrire une rotation

Une rotation est déterminée par un centre, un angle compris entre zéro et 360 degrés, et un sens.

Exercice 1 : Lire une transformation

Facile

Le point (A') est l'image de AA par la rotation de centre OO, d'angle 70∘70^\circ dans le sens antihoraire.

  1. Comparer OAOA et (OA').
  2. Donner la mesure de l'angle orienté de OAOA vers (OA').
  3. Dire ce qui reste fixe.
  4. Préciser l'image de OO.
Indication

Le centre est le seul point explicitement fixe de toute rotation non nulle.

Voir le corrigé
  1. OA=OA′OA=OA'.
  2. L'angle vaut 70∘70^\circ dans le sens antihoraire.
  3. Le centre OO reste fixe.
  4. L'image de OO est donc OO lui-même.

Exercice 2 : Angle équivalent

Moyen

Une rotation est annoncée avec un angle de 300∘300^\circ dans le sens antihoraire.

  1. Donner un angle plus petit dans le sens horaire décrivant la même rotation.
  2. Justifier avec un tour complet.
  3. Comparer avec une rotation de −60∘-60^\circ.
Indication

Un tour complet vaut 360∘360^\circ.

Voir le corrigé
  1. L'angle équivalent est 60∘60^\circ dans le sens horaire.
  2. 360−300=60360-300=60.
  3. Une rotation de −60∘-60^\circ utilise la convention algébrique pour le sens horaire ; elle est identique.

Construire l’image d’un point ou d’une figure

La construction impose la distance au centre et l'angle ; un seul de ces critères ne suffit pas.

Exercice 3 : Construction au compas

Facile

Construire l'image (M') de MM par la rotation de centre OO et d'angle 95∘95^\circ horaire.

  1. Tracer le cercle utile.
  2. Construire la demi-droite image.
  3. Placer (M').
  4. Énoncer les deux contrôles finaux.
Indication

Le cercle de centre OO et de rayon OMOM fixe la distance.

Voir le corrigé
  1. On trace le cercle de centre OO passant par MM.
  2. On construit depuis OO une demi-droite faisant 95∘95^\circ avec ([OM)) dans le sens horaire.
  3. Son intersection avec le cercle donne (M').
  4. On vérifie OM′=OMOM'=OM et l'angle demandé dans le bon sens.

Exercice 4 : Triangle tourné

Moyen

Un triangle ABCABC est tourné de 120∘120^\circ autour d'un point OO extérieur, donnant (A'B'C').

  1. Décrire la construction des trois sommets.
  2. Comparer les longueurs ABAB et (A'B').
  3. Comparer les aires.
  4. Comparer l'orientation des sommets.
  5. Dire si les deux triangles sont superposables.
Indication

Appliquez exactement la même rotation à chaque sommet.

Voir le corrigé
  1. Chaque sommet image est placé sur le cercle centré en OO de rayon correspondant, avec le même angle et le même sens.
  2. AB=A′B′AB=A'B'.
  3. Les aires sont égales.
  4. Une rotation conserve l'orientation.
  5. Les triangles sont superposables car toutes les distances et tous les angles sont conservés.

Exercice 5 : Construction incomplète

Moyen

Pour construire l'image de PP, un élève place un point QQ tel que OP=OQOP=OQ, sans mesurer d'angle.

  1. Expliquer pourquoi la condition est insuffisante.
  2. Décrire l'ensemble des positions possibles de QQ.
  3. Ajouter la donnée qui rend l'image unique.
  4. Proposer un contrôle.
Indication

Une égalité de distance définit un cercle entier.

Voir le corrigé
  1. De nombreux points sont à la même distance de OO.
  2. QQ peut être n'importe quel point du cercle de centre OO et rayon OPOP.
  3. Il faut préciser l'angle et le sens de la rotation.
  4. On contrôle ensuite distance et angle orienté.

Calculer dans un repère

Autour de l'origine, les rotations d'un quart ou d'un demi-tour donnent des règles de coordonnées contrôlables géométriquement.

Exercice 6 : Quart de tour antihoraire

Moyen

Dans un repère orthonormé, on applique autour de l'origine une rotation de 90∘90^\circ antihoraire à A(3;−2)A(3;-2), B(−1;4)B(-1;4) et C(0;5)C(0;5).

  1. Donner les coordonnées des trois images.
  2. Vérifier une distance à l'origine.
  3. Énoncer la règle de coordonnées utilisée.
  4. Contrôler le quadrant de chaque image.
Indication

La règle est (x;y)→(−y;x)(x;y) \to (-y;x).

Voir le corrigé
  1. A′(2;3)A'(2;3), B′(−4;−1)B'(-4;-1) et C′(−5;0)C'(-5;0).
  2. Par exemple, OA2=32+(−2)2=13OA^2=3^2+(-2)^2=13 et OA′2=22+32=13OA'^2=2^2+3^2=13.
  3. On remplace ((x;y)) par (−y;x)(-y;x).
  4. Les signes placent les points respectivement dans les quadrants I, III et sur l'axe négatif des abscisses, conformément au quart de tour.

Exercice 7 : Demi-tour et milieu

Difficile

Le point M′(7;−3)M'(7;-3) est l'image de MM par un demi-tour de centre I(2;1)I(2;1).

  1. Utiliser la propriété du milieu.
  2. Calculer les coordonnées de MM.
  3. Vérifier que II est le milieu de ([MM']).
  4. Exprimer la règle générale pour un centre I(a;b)I(a;b).
Indication

Dans un demi-tour, le centre est le milieu du point et de son image.

Voir le corrigé
  1. (xM+7)/2=2(x_M+7)/2=2 et (yM−3)/2=1(y_M-3)/2=1.
  2. xM=−3x_M=-3 et yM=5y_M=5, donc M(−3;5)M(-3;5).
  3. Le milieu de (−3;5)(-3;5) et (7;−3)(7;-3) est bien (2;1)(2;1).
  4. L'image de ((x;y)) est (2a−x;2b−y)(2a-x;2b-y).

Composer et utiliser les propriétés

Deux rotations successives de même centre additionnent leurs angles orientés.

Exercice 8 : Deux rotations de même centre

Moyen

On applique autour de OO une rotation de 80∘80^\circ antihoraire, puis une rotation de 35∘35^\circ horaire.

  1. Traduire les angles avec des signes.
  2. Calculer l'angle total.
  3. Donner une rotation unique équivalente.
  4. Traiter aussi deux rotations antihoraires de 210∘210^\circ et 190∘190^\circ.
Indication

Additionnez les angles orientés, puis réduisez modulo 360∘360^\circ.

Voir le corrigé
  1. Les angles sont +80∘+80^\circ et −35∘-35^\circ.
  2. La somme vaut 45∘45^\circ.
  3. La composition est une rotation de centre OO, angle 45∘45^\circ antihoraire.
  4. 210+190=400210+190=400, donc l'autre composition équivaut à 40∘40^\circ antihoraire.

Exercice 9 : Rosace régulière

Difficile

Une rosace est obtenue en répétant une rotation de centre OO et d'angle 24∘24^\circ.

  1. Calculer le nombre minimal d'applications pour revenir à la position initiale.
  2. Donner l'angle après 77 applications.
  3. Dire si 100100 applications reviennent à la position initiale.
  4. Justifier par divisibilité.
  5. Interpréter le nombre de motifs distincts.
Indication

Cherchez le plus petit entier n>0n\gt 0 tel que 24n24n soit multiple de 360360.

Voir le corrigé
  1. 360/24=15360/24=15, donc quinze applications suffisent et sont minimales.
  2. Après sept applications, l'angle vaut 168∘168^\circ.
  3. 100mod  15=10100 \mod 15=10, donc la position n'est pas initiale.
  4. 24×100=240024 \times100=2400 n'est pas multiple de 360360.
  5. La rosace comporte 1515 positions ou motifs orientés distincts avant répétition.
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