Rotation 3ème : construire une image et raisonner

Une rotation en 3ème fait tourner une figure autour d'un point fixe. Elle est entièrement déterminée par un centre, un angle et un sens. Un quart de tour correspond à 90°, un demi-tour à 180°.

Construire une image ne consiste pas seulement à reporter un angle. La distance au centre doit rester la même. Ces deux contraintes localisent chaque point image et fournissent immédiatement un contrôle.

Table des Matières

Définir une rotation par trois informations

Rotation

La rotation de centre $O$ , d'angle $\alpha$ et de sens donné transforme un point $M$ en $M'$ tel que $OM'=OM$ et que l'angle orienté de la demi-droite $[OM)$ vers $[OM')$ vaut $\alpha$ .

Le centre ne bouge pas : son image est lui-même. Sans le sens, un angle inférieur à 180° conduirait à deux positions possibles, l'une dans le sens horaire et l'autre dans le sens antihoraire.

Construire l’image d’un point au compas et au rapporteur

Tracer la demi-droite issue de $O$ qui forme l'angle demandé avec $[OM)$ , dans le bon sens.
Ouvrir le compas à la longueur $OM$ .
Reporter cette longueur depuis $O$ sur la nouvelle demi-droite pour placer $M'$ .

OM'=OM,\qquad \widehat{MOM'}=\alpha.

Erreur fréquente : reporter seulement la longueur place le point sur un cercle, mais ne choisit pas sa position. Reporter seulement l'angle ne fixe pas la distance au centre.

Construire l’image d’une figure

Pour un polygone, on construit l'image de chaque sommet puis on relie les points dans le même ordre. Les segments ne sont pas tournés indépendamment au hasard : leurs extrémités images déterminent leur position.

Pour un cercle, le centre est transformé comme un point et le rayon est conservé. Il suffit donc de construire le centre image puis de tracer un cercle de même rayon.

Astuce : nommer les images avec une apostrophe, comme $A'$ , et garder l'ordre des sommets limite les croisements lors du tracé final.

Propriétés conservées par une rotation

Isométrie

Une rotation conserve les longueurs, les angles, l'alignement, le parallélisme, les aires et le sens de parcours d'une figure. La figure image est superposable à la figure initiale.

Donnée initiale	Conséquence sur l'image
$AB=5\text{ cm}$	$A'B'=5\text{ cm}$
$(AB)\parallel(CD)$	$(A'B')\parallel(C'D')$
triangle rectangle en A	triangle image rectangle en A'
aire de 12 cm²	aire image de 12 cm²

Ces propriétés permettent de répondre sans mesurer la figure. Si un triangle est équilatéral avant la rotation, son image l'est aussi, car ses trois longueurs restent égales.

Reconnaître qu’une figure est l’image par rotation

Deux figures de même forme et de même taille ne suffisent pas à identifier une rotation. Il faut rechercher un point $O$ équidistant de points correspondants et vérifier que les angles $\widehat{AOA'}$ , $\widehat{BOB'}$ ont même mesure et même sens.

Le centre appartient aux médiatrices de $[AA']$ et $[BB']$ , puisque $OA=OA'$ et $OB=OB'$ . L'intersection de deux de ces médiatrices fournit un centre candidat, à confirmer avec l'angle.

Cas particuliers : quart de tour et demi-tour

Demi-tour

Une rotation de 180° est une symétrie centrale. Le centre $O$ est alors le milieu de $[MM']$ .

Pour un quart de tour, les demi-droites $[OM)$ et $[OM')$ sont perpendiculaires et les distances au centre sont égales. Sur quadrillage, ces cas particuliers permettent souvent une construction sans rapporteur.

La symétrie centrale en 5ème retrouve ainsi une place dans la famille des rotations.

Utiliser une rotation dans une démonstration

On sait que $A'$ et $B'$ sont les images de $A$ et $B$ par la même rotation. Si $AB=7$ cm, alors $A'B'=7$ cm sans nouveau calcul. Si les droites $(AB)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires, leurs images le sont aussi.

Dans un motif régulier, répéter une rotation peut produire les sommets d'un polygone. Six rotations successives de 60° autour d'un même centre ramènent à la position initiale, car $6\times60°=360°$ .

La translation conserve les mêmes grandeurs mais se définit par une direction, un sens et une longueur, pas par un centre et un angle.

Coordonnées et quart de tour sur un repère

Dans un repère orthonormé, un quart de tour de centre l'origine peut se lire sur les coordonnées. Dans le sens antihoraire, le point $M(x;y)$ devient $M'(-y;x)$ . Ainsi, $A(3;1)$ devient $A'(-1;3)$ .

Cette règle se contrôle sans la mémoriser aveuglément : la distance à l'origine reste $\sqrt{x^2+y^2}$ , et les axes tournent d'un quart de tour. Le point $(1;0)$ devient $(0;1)$ .

(-y)^2+x^2=x^2+y^2.

Déterminer l’angle et le sens d’une rotation

Lorsque le centre $O$ , un point $A$ et son image $A'$ sont connus, l'angle est la mesure de $\widehat{AOA'}$ . Le sens se lit en suivant le chemin le plus court de $[OA)$ vers $[OA')$ , sauf indication d'un angle supérieur à 180°.

Un second couple $B,B'$ doit donner le même angle et le même sens. Si ce n'est pas le cas, les figures ne sont pas liées par une unique rotation de centre $O$ .

Rotation 3ème : l’essentiel à retenir

Une rotation se contrôle par deux invariants autour du centre : la distance et l'angle orienté. Elle conserve longueurs, angles, alignement, parallélisme et aire. Une construction précise nomme le centre, l'angle et le sens avant de reporter chaque sommet.

Ces compétences correspondent aux repères annuels de progression de mathématiques pour le cycle 4 et enrichissent les transformations du plan avec une méthode de démonstration.