Racine carrée 3ème : 10 exercices corrigés

Les exercices corrigés sur la racine carrée en 3ème apprennent à reconnaître une valeur exacte, à encadrer une racine et à choisir un arrondi pertinent. Le cours sur les racines carrées précise le domaine et les notations.

Les comparaisons peuvent parfois se ramener aux carrés et puissances. Les corrections indiquent toujours si une calculatrice est utile ou si un encadrement suffit.

Pour chaque résultat approché, commencez par conserver une écriture exacte, puis situez-la entre deux carrés connus. Cette habitude évite les arrondis prématurés et permet de vérifier qu'une longueur calculée reste positive et compatible avec les données géométriques. Les indications orientent la première étape sans révéler le calcul complet.

Reconnaître une racine carrée exacte

La racine carrée de a⩾0a\geqslant0 est l'unique nombre positif dont le carré vaut aa. Les carrés parfaits évitent tout arrondi.

Exercice 1 : Carrés parfaits et valeurs exactes

Facile

Calculer 0\sqrt{0}, 49\sqrt{49}, 144\sqrt{144}, 0,81\sqrt{0{,}81} et 2564\sqrt{\dfrac{25}{64}}.

  1. Donner les cinq valeurs exactes.
  2. Pour les deux dernières, écrire le carré qui justifie la réponse.
Indication

Une racine carrée est positive ou nulle. Pour une fraction positive, cherchez le carré au numérateur et au dénominateur.

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  1. Les valeurs sont 00, 77, 1212, 0,90{,}9 et 58\dfrac58.
  2. On vérifie (0,9)2=0,81(0{,}9)^2=0{,}81 et (58)2=2564\left(\dfrac58\right)^2=\dfrac{25}{64}.

Exercice 2 : Définie ou non dans les nombres réels

Moyen

Dire si chacune des expressions −9\sqrt{-9}, (−9)2\sqrt{(-9)^2}, −9-\sqrt9 et 2−7\sqrt{2-7} est définie dans les nombres réels, puis calculer celles qui le sont.

  1. Examiner le nombre placé sous chaque radical.
  2. Donner les valeurs définies et distinguer a2\sqrt{a^2} de −a-\sqrt a.
Indication

Dans les nombres réels, le contenu d'une racine carrée doit être positif ou nul.

Voir le corrigé
  1. −9\sqrt{-9} et 2−7=−5\sqrt{2-7}=\sqrt{-5} ne sont pas définies dans les réels. Les deux autres le sont.
  2. (−9)2=81=9\sqrt{(-9)^2}=\sqrt{81}=9, tandis que −9=−3-\sqrt9=-3.

Exercice 3 : Retrouver le nombre sous le radical

Facile

Compléter : □=1,3\sqrt{\square}=1{,}3, □=47\sqrt{\square}=\dfrac47 et □=15\sqrt{\square}=15.

  1. Calculer les trois nombres manquants.
Indication

Si a=b\sqrt a=b avec b⩾0b\geqslant0, alors a=b2a=b^2.

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Les nombres manquants sont (1,3)2=1,69(1{,}3)^2=1{,}69, (47)2=1649\left(\dfrac47\right)^2=\dfrac{16}{49} et 152=22515^2=225.

Encadrer et arrondir une racine carrée

On repère d'abord deux carrés consécutifs, puis on affine seulement jusqu'à la précision demandée.

Exercice 4 : Encadrements successifs de 70\sqrt{70}

Moyen

Sans utiliser immédiatement la touche racine de la calculatrice, encadrer 70\sqrt{70}.

  1. L'encadrer entre deux entiers consécutifs.
  2. Tester 8,38{,}3 et 8,48{,}4 pour obtenir un encadrement au dixième.
  3. En déduire l'arrondi au dixième.
Indication

Comparez 7070 aux carrés des bornes proposées.

Voir le corrigé
  1. 82=64<70<81=928^2=64\lt70\lt81=9^2, donc 8<70<98\lt\sqrt{70}\lt9.
  2. 8,32=68,898{,}3^2=68{,}89 et 8,42=70,568{,}4^2=70{,}56, donc 8,3<70<8,48{,}3\lt\sqrt{70}\lt8{,}4.
  3. Comme 70≈8,366\sqrt{70}\approx8{,}366, son arrondi au dixième est 8,48{,}4.

Exercice 5 : Comparer sans calculer de décimales

Moyen

Comparer 37\sqrt{37} à 6,16{,}1, puis 353\sqrt5 à 77.

  1. Comparer les carrés de 37\sqrt{37} et 6,16{,}1.
  2. Comparer les carrés de 353\sqrt5 et 77.
  3. Écrire les deux conclusions.
Indication

Toutes les quantités comparées sont positives, donc leur ordre est le même que celui de leurs carrés.

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  1. (6,1)2=37,21>37(6{,}1)^2=37{,}21\gt37.
  2. (35)2=45(3\sqrt5)^2=45 et 72=497^2=49.
  3. Ainsi 37<6,1\sqrt{37}\lt6{,}1 et 35<73\sqrt5\lt7.

Résoudre une équation comportant un carré

Une équation x2=ax^2=a avec a>0a\gt0 possède deux solutions opposées. Une longueur, elle, ne conserve que la solution positive.

Exercice 6 : Deux solutions opposées

Moyen

Résoudre dans les nombres réels x2=121x^2=121, puis x2=0,36x^2=0{,}36.

  1. Donner les solutions de la première équation.
  2. Donner les solutions de la seconde.
  3. Vérifier une solution positive et une solution négative.
Indication

Ne confondez pas a\sqrt a, qui est positive, avec les solutions de x2=ax^2=a.

Voir le corrigé
  1. x2=121x^2=121 donne x=−11x=-11 ou x=11x=11.
  2. x2=0,36x^2=0{,}36 donne x=−0,6x=-0{,}6 ou x=0,6x=0{,}6.
  3. Par exemple, 112=12111^2=121 et (−0,6)2=0,36(-0{,}6)^2=0{,}36.

Exercice 7 : Équation impossible ou solution unique

Moyen

Résoudre dans les nombres réels y2=−16y^2=-16, z2=0z^2=0 et t2=18t^2=18.

  1. Justifier l'absence de solution pour la première équation.
  2. Résoudre les deux autres sous forme exacte.
Indication

Le carré d'un réel ne peut pas être négatif.

Voir le corrigé
  1. y2=−16y^2=-16 n'a aucune solution réelle, car y2⩾0y^2\geqslant0.
  2. Pour zz, l'unique solution est 00. Pour tt, les solutions sont −18-\sqrt{18} et 18\sqrt{18}.

Exercice 8 : Une fausse distribution de la racine

Difficile

Noé affirme que a+b=a+b\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b pour tous nombres positifs aa et bb.

  1. Tester l'affirmation avec a=9a=9 et b=16b=16.
  2. Expliquer pourquoi ce seul exemple suffit à réfuter une règle générale.
  3. Vérifier que la formule serait vraie si l'un des deux nombres valait 00, sans en faire une règle générale.
Indication

Calculez séparément le membre de gauche et celui de droite.

Voir le corrigé
  1. 9+16=25=5\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5, alors que 9+16=3+4=7\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7.
  2. Une affirmation annoncée pour tous les nombres est fausse dès qu'un contre-exemple est trouvé.
  3. Si b=0b=0, alors a+0=a=a+0\sqrt{a+0}=\sqrt a=\sqrt a+\sqrt0. Ce cas particulier ne valide pas la formule pour les autres valeurs.

Mobiliser une racine carrée en géométrie

Une aire ou une distance peut conduire naturellement à une racine. On garde la valeur exacte avant de choisir un arrondi adapté à l'unité.

Exercice 9 : Côté et périmètre d’un carré

Moyen

Un carré a une aire de 180 cm2180\,\text{cm}^2.

  1. Écrire une valeur exacte de son côté.
  2. Encadrer ce côté entre deux dixièmes consécutifs.
  3. Donner son périmètre au millimètre près.
Indication

Si le côté vaut cc, alors c2=180c^2=180 et cc est positif.

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  1. Le côté vaut exactement 180\sqrt{180} cm.
  2. 13,42=179,5613{,}4^2=179{,}56 et 13,52=182,2513{,}5^2=182{,}25, donc 13,4<180<13,513{,}4\lt\sqrt{180}\lt13{,}5.
  3. Le périmètre vaut 4180≈53,6664\sqrt{180}\approx53{,}666 cm, soit 537537 mm au millimètre près.

Exercice 10 : Distance entre deux points

Difficile

Dans un repère orthonormé, A(−2;1)A(-2;1) et B(4;5)B(4;5).

  1. Calculer les écarts horizontal et vertical entre AA et BB.
  2. Construire un triangle rectangle permettant de calculer ABAB.
  3. Donner ABAB sous forme exacte puis au centième.
  4. Contrôler que la distance trouvée est supérieure à chacun des deux écarts.
Indication

Les deux écarts sont les côtés de l'angle droit ; appliquez ensuite le théorème de Pythagore.

Voir le corrigé
  1. L'écart horizontal vaut 4−(−2)=64-(-2)=6 et l'écart vertical 5−1=45-1=4.
  2. Le triangle formé par ces déplacements a pour hypoténuse ABAB.
  3. AB2=62+42=52AB^2=6^2+4^2=52, donc AB=52≈7,21AB=\sqrt{52}\approx7{,}21.
  4. On a bien 7,21>67{,}21\gt6 et 7,21>47{,}21\gt4, ce qui est cohérent pour une hypoténuse.
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