Les exercices corrigés sur la racine carrée en 3ème apprennent à reconnaître une valeur exacte, à encadrer une racine et à choisir un arrondi pertinent. Le cours sur les racines carrées précise le domaine et les notations.
Les comparaisons peuvent parfois se ramener aux carrés et puissances. Les corrections indiquent toujours si une calculatrice est utile ou si un encadrement suffit.
Pour chaque résultat approché, commencez par conserver une écriture exacte, puis situez-la entre deux carrés connus. Cette habitude évite les arrondis prématurés et permet de vérifier qu’une longueur calculée reste positive et compatible avec les données géométriques. Les indications orientent la première étape sans révéler le calcul complet.
Reconnaître des carrés parfaits
Connaître les carrés des entiers usuels permet de calculer exactement sans dépendre d’une touche de calculatrice.
Exercice 1 : Table des carrés utiles
Facile
Calculer \(6^2\), \(9^2\), \(12^2\), \(15^2\) et \(20^2\), puis en déduire cinq racines carrées.
- Calculer les cinq carrés.
- Écrire les cinq égalités de racines correspondantes.
- Expliquer pourquoi chaque racine choisie est positive.
Indication
La racine carrée \(\sqrt a\) désigne le nombre positif dont le carré vaut \(a\).
Voir le corrigé
- Les carrés sont \(36\), \(81\), \(144\), \(225\) et \(400\).
- \(\sqrt{36}=6\), \(\sqrt{81}=9\), \(\sqrt{144}=12\), \(\sqrt{225}=15\) et \(\sqrt{400}=20\).
- Le symbole \(\sqrt{\phantom a}\) désigne par convention la racine non négative.
Exercice 2 : Racines exactes ou non
Facile
Parmi \(\sqrt{49}\), \(\sqrt{70}\), \(\sqrt{121}\), \(\sqrt{169}\) et \(\sqrt{250}\), repérer celles qui sont des entiers.
- Donner les valeurs exactes entières.
- Encadrer les deux autres entre deux entiers consécutifs.
Indication
Comparez chaque nombre aux carrés consécutifs connus.
Voir le corrigé
\(\sqrt{49}=7\), \(\sqrt{121}=11\) et \(\sqrt{169}=13\). Comme \(64<70<81\), on a \(8<\sqrt{70}<9\). Comme \(225<250<256\), on a \(15<\sqrt{250}<16\).
Encadrer et comparer des racines
La fonction carré conserve l’ordre sur les nombres positifs, ce qui autorise des comparaisons sans valeur décimale.
Exercice 3 : Encadrements successifs
Moyen
Encadrer \(\sqrt{30}\), \(\sqrt{95}\) et \(\sqrt{180}\) entre deux entiers consécutifs.
- Trouver l’encadrement de \(\sqrt{30}\).
- Trouver celui de \(\sqrt{95}\).
- Trouver celui de \(\sqrt{180}\).
- Vérifier chaque réponse avec les carrés des bornes.
Indication
Cherchez deux carrés parfaits consécutifs qui entourent le nombre sous la racine.
Voir le corrigé
- \(25<30<36\), donc \(5<\sqrt{30}<6\).
- \(81<95<100\), donc \(9<\sqrt{95}<10\).
- \(169<180<196\), donc \(13<\sqrt{180}<14\).
- Les bornes au carré redonnent bien les trois encadrements initiaux.
Exercice 4 : Comparaisons sans calculatrice
Moyen
Comparer \(\sqrt{58}\) à \(7{,}5\), \(\sqrt{120}\) à \(11\), puis \(\sqrt{48}\) et \(\sqrt{50}\).
- Comparer \(\sqrt{58}\) et \(7{,}5\).
- Comparer \(\sqrt{120}\) et \(11\).
- Comparer les deux dernières racines.
Indication
Les nombres comparés sont positifs ; comparez leurs carrés.
Voir le corrigé
- \(7{,}5^2=56{,}25<58\), donc \(7{,}5<\sqrt{58}\).
- \(11^2=121>120\), donc \(\sqrt{120}<11\).
- \(48<50\), donc \(\sqrt{48}<\sqrt{50}\).
Exercice 5 : Approximation contrôlée
Difficile
Une calculatrice donne \(\sqrt{37}\approx6{,}08276253\).
- Donner l’arrondi au dixième.
- Donner l’encadrement au centième.
- Vérifier l’encadrement en comparant \(6{,}08^2\) et \(6{,}09^2\) à \(37\).
- Expliquer pourquoi écrire \(\sqrt{37}=6{,}08\) est faux.
Indication
Une valeur arrondie utilise le symbole \(\approx\), tandis qu’un encadrement conserve deux bornes.
Voir le corrigé
- \(\sqrt{37}\approx6{,}1\) au dixième.
- \(6{,}08<\sqrt{37}<6{,}09\).
- \(6{,}08^2=36{,}9664<37\) et \(6{,}09^2=37{,}0881>37\).
- \(6{,}08\) n’est pas la valeur exacte : son carré n’est pas \(37\). Il faut écrire une approximation ou un encadrement.
Éviter les confusions de notation
Le radical porte sur tout ce qui se trouve sous sa barre ; une somme ou un signe extérieur change donc l’expression.
Exercice 6 : Une somme sous le radical
Moyen
Comparer \(A=\sqrt{9+16}\) et \(B=\sqrt9+\sqrt{16}\).
- Calculer \(A\) et \(B\).
- Décider si \(\sqrt{a+b}=\sqrt a+\sqrt b\) est une règle valable.
- Donner un autre contre-exemple simple.
Indication
Calculez exactement les deux expressions avant de conclure sur la règle générale.
Voir le corrigé
- \(A=\sqrt{25}=5\), tandis que \(B=3+4=7\).
- La prétendue règle est fausse, puisque \(5\neq7\).
- Par exemple, \(\sqrt{1+4}=\sqrt5\), alors que \(\sqrt1+\sqrt4=3\).
Exercice 7 : Carré d’une racine
Facile
Simplifier \((\sqrt{13})^2\), \(\sqrt{17^2}\) et \(\sqrt{(-8)^2}\).
- Simplifier les trois expressions et expliquer le rôle de la valeur absolue dans la dernière.
Indication
\(\sqrt{x^2}\) est la distance de \(x\) à zéro, donc une valeur non négative.
Voir le corrigé
\((\sqrt{13})^2=13\), \(\sqrt{17^2}=17\) et \(\sqrt{(-8)^2}=\sqrt{64}=8\). La dernière valeur n’est pas \(-8\), car une racine carrée est toujours non négative : \(\sqrt{x^2}=|x|\).
Relier racine carrée et géométrie
Une aire carrée ou une diagonale conduit naturellement à une longueur exprimée par une racine.
Exercice 8 : Côté d’un carré
Moyen
Un carré a une aire de \(72\ \mathrm{cm}^2\).
- Exprimer exactement la longueur de son côté.
- Encadrer cette longueur entre deux entiers.
- Donner une approximation au dixième.
- Vérifier l’unité de la réponse.
Indication
Si \(c\) est le côté, alors \(c^2=72\), donc \(c=\sqrt{72}\).
Voir le corrigé
- Le côté mesure \(\sqrt{72}\) cm.
- Comme \(64<72<81\), \(8<\sqrt{72}<9\).
- \(\sqrt{72}\approx8{,}5\) cm au dixième.
- Une aire en centimètres carrés conduit bien à une longueur en centimètres.
Exercice 9 : Diagonale d’un écran carré
Difficile
Un écran carré a un côté de \(18\) cm. Sa diagonale \(d\) vérifie \(d^2=18^2+18^2\).
- Calculer \(d^2\).
- Exprimer \(d\) exactement.
- Encadrer \(d\) entre deux entiers.
- Donner une approximation au dixième.
- Contrôler que la diagonale est plus longue qu’un côté mais plus courte que deux côtés.
Indication
Additionnez les deux carrés, puis cherchez les carrés parfaits qui entourent le résultat.
Voir le corrigé
- \(d^2=324+324=648\).
- \(d=\sqrt{648}\) cm.
- \(25^2=625<648<676=26^2\), donc \(25
- \(d\approx25{,}5\) cm.
- On a bien \(18<25{,}5<36\), ce qui est géométriquement cohérent.
Résoudre une équation géométrique
La racine carrée intervient lorsque l’inconnue positive est élevée au carré.
Exercice 10 : Bordure autour d’un carré
Difficile
Un carré de côté \(x\) a une aire de \(180,\text{cm}^2\).
- Écrire l’équation vérifiée par \(x\).
- Donner la valeur exacte de \(x\).
- Encadrer \(x\) entre deux dixièmes consécutifs.
- Calculer le périmètre au millimètre près.
Indication
La longueur \(x\) est positive et \(x^2=180\).
Voir le corrigé
- \(x^2=180\).
- \(x=\sqrt{180}=6\sqrt5\) cm.
- \(13{,}4^2=179{,}56\) et \(13{,}5^2=182{,}25\), donc (13{,}4
- \(4x\approx53{,}7\) cm, soit \(537\) mm au millimètre près.