Puissances 3ème : exposants et règles de calcul

Les puissances en 3ème permettent d'écrire et de transformer des produits répétés. Le chapitre ajoute les exposants négatifs, utiles pour représenter de très petits nombres et pour simplifier des quotients sans écrire de longues fractions.

Les règles ne s'appliquent pas parce que deux puissances se ressemblent. Elles dépendent d'une structure précise : même base, même exposant ou puissance élevée à une puissance. Savoir nommer cette structure est le meilleur moyen d'éviter une règle utilisée au mauvais endroit.

Table des Matières

Lire une puissance : base, exposant et parenthèses

Puissance d’exposant entier positif

Pour un nombre $a$ et un entier $n\geq1$ , $a^n$ est le produit de $n$ facteurs tous égaux à $a$ . Le nombre $a$ est la base et $n$ l'exposant.

(-3)^4=(-3)\times(-3)\times(-3)\times(-3)=81,\qquad -3^4=-81.

Dans la seconde écriture, la puissance porte seulement sur 3 ; le signe moins est appliqué après. Les parenthèses décident donc si le signe appartient à la base.

Erreur fréquente : une puissance n'est pas une multiplication de la base par l'exposant : $5^3=125$ , pas 15.

Comprendre les exposants zéro et négatifs

La suite des puissances conserve une régularité. Quand l'exposant diminue de 1, on divise par la base. À partir de $2^3=8$ , on obtient $2^2=4$ , $2^1=2$ , puis $2^0=1$ . Le pas suivant donne $2^{-1}=\frac12$ .

Exposant négatif

Pour tout nombre $a\neq0$ et tout entier positif $n$ , $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ . Un exposant négatif indique un inverse ; il ne donne pas automatiquement un résultat négatif.

5^{-2}=\frac1{25},\qquad (-2)^{-3}=\frac1{(-2)^3}=-\frac18.

Produit et quotient de puissances de même base

Même base

Pour $a\neq0$ et des entiers $m,n$ , $a^m\times a^n=a^{m+n}$ et $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ . Les exposants s'additionnent dans un produit et se soustraient dans un quotient.

3^{-4}\times3^7=3^3=27,\qquad \frac{7^2}{7^5}=7^{-3}=\frac1{343}.

Erreur fréquente : on ne peut pas remplacer $2^3\times5^3$ par $10^6$ . Ici les exposants sont identiques : la règle correcte donne $(2\times5)^3=10^3$ .

Puissance d’une puissance et puissance d’un produit

Dans $(a^m)^n$ , le bloc $a^m$ est répété $n$ fois. Il contient donc $m\times n$ facteurs $a$ , ce qui explique $(a^m)^n=a^{mn}$ . En revanche, une puissance distribue sur un produit ou un quotient, pas sur une somme.

Structure	Transformation	Exemple
Puissance d'une puissance	$(a^m)^n=a^{mn}$	$(x^3)^4=x^{12}$
Puissance d'un produit	$(ab)^n=a^nb^n$	$(2x)^3=8x^3$
Puissance d'un quotient	$(a/b)^n=a^n/b^n$	$(3/5)^2=9/25$

Erreur fréquente : en général, $(a+b)^2\neq a^2+b^2$ . Le carré d'une somme sera développé avec une identité remarquable.

Déterminer le signe avant de calculer

Avec une base positive, toute puissance est positive. Avec une base négative entre parenthèses, la parité de l'exposant décide : un exposant pair associe les signes moins par paires, un exposant impair laisse un facteur négatif.

(-4)^{12}\gt 0,\qquad (-4)^{11}\lt 0.

Cette décision peut être prise sans calculer les valeurs énormes. Elle prolonge la règle des signes étudiée avec les nombres relatifs en 4ème.

Simplifier une expression en observant sa structure

Considérons $C=\frac{(2^3)^2\times2^{-5}}{2^{-1}}$ . Toutes les puissances ont la même base. On transforme d'abord la puissance de puissance, puis on rassemble les exposants.

C=2^{3\times2-5-(-1)}=2^{2}=4.

Le signe moins devant $-1$ vient du quotient : soustraire l'exposant du dénominateur. Une vérification numérique est possible, mais la forme exponentielle révèle mieux les erreurs de règle.

Astuce : entourer mentalement les bases. Si elles ne sont pas identiques, chercher plutôt un exposant commun ou factoriser avant d'appliquer une identité.

Priorités opératoires et contrôle de vraisemblance

Les puissances sont calculées avant les multiplications, divisions, additions et soustractions. Dans $2-3\times(-2)^4$ , on calcule $(-2)^4=16$ , puis le produit, et enfin la soustraction : le résultat vaut $-46$ .

Pour contrôler un exposant négatif, vérifier que l'ordre de grandeur va dans le bon sens : si $|a|\gt 1$ , alors $a^{-n}$ a une distance à zéro inférieure ou égale à 1. La calculatrice de puissances peut servir à vérifier une valeur après avoir établi la transformation exacte.

Réécrire les bases avant d’appliquer une règle

Deux bases différentes peuvent parfois être exprimées avec une même base. Dans $4^3\times2^{-4}$ , écrire $4=2^2$ donne $2^6\times2^{-4}=2^2=4$ . Cette transformation est utile lorsque les nombres sont des puissances de 2, 3, 5 ou 10.

À l'inverse, un même exposant permet de regrouper les bases : $6^5/3^5=(6/3)^5=2^5$ . Le diagnostic porte donc sur ce qui est commun : la base ou l'exposant.

Expression	Point commun	Transformation
$8^2\times2^3$	base 2 après réécriture	$2^6\times2^3=2^9$
$15^4/5^4$	exposant 4	$(15/5)^4=3^4$
$3^2+3^5$	aucune règle de somme	$3^2(1+3^3)$

La dernière ligne rappelle qu'une somme ne combine pas directement les exposants. Une factorisation peut cependant faire apparaître une puissance commune, puis la valeur se calcule sans inventer de règle.

Écriture fractionnaire et exposants négatifs

Pour transformer un quotient en puissance, on peut faire apparaître un exposant négatif. Par exemple, $1/5^3=5^{-3}$ . Avec une fraction élevée à une puissance négative, on inverse d'abord la fraction puis on rend l'exposant positif.

\left(\frac23\right)^{-4}=\left(\frac32\right)^4=\frac{81}{16}.

Le signe de l'exposant agit sur l'inversion, pas sur le signe du résultat. Une base positive reste positive ; une base négative dépend encore de la parité de l'exposant.

Puissances 3ème : l’essentiel à retenir

Une puissance se traite en reconnaissant d'abord sa structure. Même base : on additionne ou soustrait les exposants. Puissance d'une puissance : on les multiplie. Exposant négatif : on prend l'inverse. Les parenthèses et la parité déterminent le signe lorsque la base est négative.

Le contenu respecte les repères annuels de progression de mathématiques pour le cycle 4 et prépare directement la notation scientifique ainsi que le calcul littéral.